復合圓曲線散索鞍設計位置的改進算法

鄧小康，鄧恒耀

(武漢科技大學 汽車與交通工程學院，湖北 武漢 430081)

0 引 言

索鞍是懸索橋的重要構件，分為主索鞍和散索鞍。其中：散索鞍是主纜進入錨碇之前的最后一個支承構件，設置在錨碇支架處，主要起支承轉向和分散主纜束股使之便于錨固的作用[1-3]。對地錨式懸索橋而言，為更好適應主纜在錨跨的受力，其散索鞍的鞍座多設計為復合圓曲線。散索鞍位置的安放準確度對懸索橋線形和結構受力會產(chǎn)生重大影響[4-7]。同時索鞍設計位置的確定，也是索鞍處主纜無應力長度進行修正的必要前提[8-10]。

對懸索橋鞍座設計位置的計算，學界進行了大量的研究。文獻[11]利用主纜與索鞍的力學特性和幾何特性進行求解分析，得出單圓曲線索鞍的計算方法，但未提出復合圓曲線索鞍位置的算法；文獻[12]將單圓曲線索鞍位置計算推廣到復合圓曲線索鞍，但需通過牛頓-拉斐森法求解方程組且對鞍座設計位置約束條件和迭代初值有較高要求，求解過程較為繁瑣。

基于此，筆者提出了一種復合圓曲線散索鞍設計位置的改進算法。該算法從索鞍與主纜力學和幾何關系出發(fā)，利用索鞍和主纜幾何條件建立方程，采用二分法求解即可得到復合圓曲線散索鞍的位置，該算法具有計算過程簡便，收斂性好等特點。

1 坐標系建立及主纜線形分析

筆者在前期研究過程中，提出了以全橋主纜線形為基礎的坐標系Ⅰ和以索段線形為基礎的坐標系Ⅱ，并由此重新推導了懸索橋主纜線形的統(tǒng)一懸鏈線方程[13]。

1.1 坐標系建立

坐標系Ⅰ下的索段示意如圖1。圖1中：最低點A將跨徑為L的主纜劃分為左、右兩部分，左邊s-1個吊桿將主纜分為s個索段，右邊t-1個吊桿將主纜分為t個索段。任意索段i承受沿索長均布的自重荷載q和兩端吊桿傳來的集中力P[14]。取最低點A為原點建立坐標系Ⅰ，其中左半邊x軸水平指向左邊，右半邊x軸水平指向右邊，y軸豎直向上。

圖1 坐標系Ⅰ下的索段劃分示意Fig. 1 Schematic diagram of cable section division in system Ⅰ

坐標系Ⅱ下的索段示意如圖2。圖2中：對任意索段i，取索段曲線上斜率等于0的點為原點，并建立坐標系Ⅱ，x、y軸的方向同坐標系Ⅰ。此時，索段i將發(fā)生平移，平移大小取決于吊桿力引起的主纜斜率改變量。

圖2 坐標系Ⅱ下的索段示意Fig. 2 Schematic diagram of cable section in system Ⅱ

1.2 主纜線形分析

對索段i進行線形分析。定義其上任一點斜率為z，無應力狀態(tài)下沿索長均布的自重荷載為q，主纜截面面積為A，彈性模量為E，主纜索力的水平分力為H。

筆者推導出坐標系Ⅱ下的索段線形方程[13]如式(1)、(2)：

(1)

(2)

2 復合圓曲線散索鞍設計位置計算

筆者將設計基準溫度下成橋狀態(tài)索鞍兩側主纜切點順延懸鏈線的交點定義為懸索橋理論頂點(IP點)[15]，并以此為基礎討論復合圓曲線散索鞍設計位置確定的問題。

復合圓曲線散索鞍示意如圖3。復合圓曲線散索鞍的鞍座由半徑為R1、R2、…、Rn的n段圓曲線組成，各段圓弧對應的圓心角分別為α1、α2、…、αn，索鞍首段圓曲線起始點與該段圓心連線水平角為α0。(為方便描述，圖3取復合圓曲線的段數(shù)為3段，即n=3)。坐標系Ⅰ(見圖1，即實橋成橋狀態(tài)下)中：已知主纜在散索鞍處IP點的坐標為(x0，y0)，錨跨(右側)主纜索力的水平分力為H1，邊跨(左側)主纜索力的水平分力為H2，錨跨側主纜在IP點的斜率為z′0，邊跨側主纜在IP點的斜率為z″0，要求主纜曲線與索鞍在錨跨側的切點(記為右切點)坐標(x1，y1)，邊跨側的切點(記為左切點)坐標(x2，y2)，鞍座與主纜在錨跨邊切點所在圓弧段圓心的坐標(x3，y3)。主纜的橫截面面積為A，彈性模量為E，主纜沿索長均布的自重集度為q。

圖3 復合圓曲線散索鞍示意Fig. 3 Schematic diagram of composite circular curve splay saddle

記右切點位于第m段圓曲線上，左切點位于第k段圓曲線上，此時應有k≥m。記從右切點到所在圓曲線段圓心的水平距離為Lm，第m段圓曲線圓心到第m+1段圓曲線圓心的水平距離為為Lm+1，第m+1段圓曲線圓心到第m+2段圓曲線圓心的水平距離為為Lm+2；以此類推，直至第k-2段圓曲線圓心到第k-1段圓曲線圓心的水平距離為為Lk-1，第k-1段圓曲線圓心到第k段圓曲線圓心的水平距離記為Lk。

記從左切點到第k段圓曲線圓心的豎直距離為hk，第k段圓曲線圓心到第k-1段圓曲線圓心的豎直距離記為hk-1；以此類推，直至第m+2段圓曲線圓心到第m+1段圓曲線圓心的豎直距離記為hm+1，第m+1段圓曲線圓心到第m段圓曲線圓心的豎直距離記為hm。

記首段圓曲線起始點與該段圓心連線同過該圓心的鉛垂線夾角為β1，第2段圓曲線起始點與該段圓心連線同過該圓心的鉛垂線夾角為β2；以此類推，第n段圓曲線起始點與該段圓心連線同過該圓心的鉛垂線夾角為βn。

記右切點與所在圓曲線圓心連線同過該圓心的鉛垂線的夾角為θ1，左切點與所在圓曲線圓心連線同過該圓心的鉛垂線的夾角為θ2。

計算第一步應為確定左、右切點分別位于哪一圓弧段上，考慮到懸索橋復合圓曲線索鞍圓弧段并不會太多，筆者采取對所有圓弧段試算的方法來確定左、右切點位置。分成m=1：k=3，2，1；m=2：k=3，2；m=3：k=3共6種情況，計算出左、右切點斜率后再看其是否包含在假定圓弧段內，若滿足即為真解，在主纜下方的真解有且只有一組[7]。

筆者以n=3時，m=1：k=3的計算為例來說明其計算過程。

由左、右切點與所在圓弧曲線的關系有式(3)：

tanθ1=z1，tanθ2=z2

(3)

由三角運算得式(4)、(5)：

(4)

(5)

對角度之間的幾何關系有式(6)～(8)：

β1=90°-α0

(6)

β2=90°-α0-α1

(7)

β3=90°-α0-α1-α2

(8)

由三角函數(shù)關系可得式(9)～(11)：

L1=R1sinθ1

(9)

L2=(R2-R1)sinβ2

(10)

L3=(R3-R2)sinβ3

(11)

將z1代入式(6)可得右切點在右邊坐標系Ⅱ下的橫坐標，如式(12)：

(12)

則IP點到右切點的水平距離如式(13)：

(13)

將z2代入式(6)可得左切點在左邊坐標系Ⅱ下的橫坐標，如式(14)：

(14)

則IP點到左切點的水平距離如式(15)：

(15)

有幾何關系可得式(16)：

Δx1+Δx2=L1+L2+L3-R3·sinθ2

(16)

將式(4)、(7)～(11)、(13)、(15)代入式(16)可得式(17)：

(17)

分析式(17)可知：其中僅z1、z2為未知數(shù)，對給出的z1(給出的z1應大于錨跨最低點斜率，并小于z′0)，取z2的求解區(qū)間為[邊跨主纜最低點的斜率，邊跨主纜最高點的斜率]，二分法求式(17)即可得z2。

上述式(17)是由水平方向幾何條件得到的，筆者接下來對豎直方向進行分析。

由三角函數(shù)關系可得式(18)～(20)：

h3=R3cosθ2

(18)

h2=(R3-R2)cosβ3

(19)

h1=(R2-R1)cosβ2

(20)

將z1代入式(7)可得右切點在右邊坐標系Ⅱ下的縱坐標，有式(21)：

(21)

IP點和右切點的高差有式(22)：

(22)

將z2代入式(7)可得左切點在左邊坐標系Ⅱ下的縱坐標，如式(23)：

(23)

IP點和左切點的高差有式(24)：

(24)

有幾何關系可得式(25)：

Δy1+Δy2=h3-h2-h1-R1cosθ1

(25)

將式(5)、(7)、(8)、(18)～(22)代入式(24)可得式(26)：

(26)

式(26)中z2可用z1來表示，如式(17)。其余參數(shù)均為常數(shù)，故式(26)可看為關于z1的一元非線性方程。前面已經(jīng)求出錨跨主纜最高點和最低點斜率，采用二分法求解式(26)時z1的求解范圍，可取為[錨跨主纜最低點斜率，錨跨主纜最高點斜率即z′0]。

求出z1、z2后，由式(3)計算θ1、θ2，判斷右切點是否位于第1個圓弧段，左切點是否位于第3個圓弧段，如滿足則說明假設正確，求得的z1、z2即為準確值。若不滿足，則進入下一工況計算，計算過程和上面類似，僅計算起始位置和終止位置不同，筆者不再贅述。

上述方法最后一次的迭代過程還求出了理論頂點(IP點)到左切點的水平距離為Δx2，垂直距離為Δy2；到右切點的水平距離為Δx1，垂直距離為Δy1，則左切點的坐標為(x0-Δx2,y0+Δy2)，右切點的坐標為(x0+Δx1,y0-Δy1)。

索鞍與主纜在錨跨邊切點所在圓弧段圓心的坐標如式(27)、(28)：

(27)

(28)

如此復合圓曲線散索鞍的鞍座位置即已求出。

3 算 例

3.1 算例1

某懸索橋散索鞍的理論頂點(IP點)坐標為(0.0 m，27.0 m)，主纜橫截面面積A1=A2=0.152 1 m2，主纜自重集度q1=q2=39 kN/m，彈性模量E=190 000 MPa。在成橋狀態(tài)線形計算中已計算出索鞍左、右兩邊主纜索力水平分力H1=38 590.080 15 kN，H2=51 788.210 58 kN，V1=42 537.129 89 kN，V2=24 831.088 38 kN。設索鞍圓弧段N=4，半徑R1=6.0 m，R2=5.0 m，R3=4.0 m，R4=3.0 m，α0=60°，α1=30°，α2=30°，α3=30°，α4=30°。

由z=V/H得，z′0=1.102 28(錨跨)，z″0=0.479 49(邊跨)。將H和z分別代入式(1)、(2)，可得理論頂點在錨跨坐標系Ⅱ下的坐標為(943.331 18 m，483.965 09 m)，在邊跨坐標系Ⅱ下的坐標為(615.684 20 m，145.032 65 m)。

采用筆者的方法計算出索鞍位置與文獻[12]進行比較，如表1。

表1 算例1的索鞍位置計算結果Table 1 Calculation results of saddle position in example 1 m

3.2 算例2

某懸索橋散索鞍的理論頂點(IP點)坐標為(9 670.0 m， 39.0 m)，主纜橫截面面積A1=A2=0.744 156 m2，主纜自重集度q1=q2= 116.02 kN/m，彈性模量E=200 000 MPa。在成橋狀態(tài)線形計算中已計算出索鞍左、右兩邊主纜索力水平分力H1= 833 210.26 kN，H2=994 935.83 kN，V1=42 537.129 89 kN，V2=24 831.088 38 kN。設索鞍圓弧段N=2，半徑R1=7.5 m，R2=10.0 m，α0=60°，α1=9°，α2=9°。

由z=V得，z′0=0.841 380 59(錨跨)，z″0= 0.444 093 49(邊跨)。將H和z分別代入式(1)、(2)，可得理論頂點在錨跨坐標系Ⅱ下的坐標為(943.331 18 m，483.965 09 m)，在邊跨坐標系Ⅱ下的坐標為(615.684 20 m，145.032 65 m)。

采用筆者的方法計算出索鞍位置與文獻[12]進行比較，如表2。

表2 算例2的索鞍位置計算結果Table 2 Calculation results of saddle position in example 2 m

通過算例1、2的結果可看出：筆者提出改進算法具有較高計算精度，同時整個計算過程無需任何初值，均可保證求解收斂。

4 結 語

對復合圓曲線散索鞍設計位置計算進行深入研究，提出了一種改進算法。算法以索鞍與主纜的力學、幾何關系研究為基礎，利用索鞍和主纜幾何相容條件建立方程，求解方程即可得到復合圓曲線鞍座設計位置的坐標，算例表明文中的改進算法具有較高的準確性。

文中改進算法計算復合圓曲線散索鞍設計位置時僅需采用二分法求解一元非線性方程即可得到精確解，筆者還給出了二分法求解非線性方程的求解區(qū)間，方法對于復合圓曲線散索鞍設計位置的求解均能保證收斂且無需任何初值。文中算法在求解復合圓曲線散索鞍設計位置的同時，還求出了主纜與索鞍切點的位置和斜率。