諧波傳動(dòng)系統(tǒng)齒廓優(yōu)化設(shè)計(jì)與側(cè)隙控制補(bǔ)償

李武超，梅 杰，陳 鵬,，郭 政，陳定方，張慧明，吳俊峰

(1.武漢理工大學(xué)物流工程學(xué)院，湖北 武漢，430063；2.湖北科峰智能傳動(dòng)股份有限公司，湖北 黃岡，438000)

諧波減速器具有輕量化、傳動(dòng)比高等優(yōu)點(diǎn)，在醫(yī)療器械、航空航天、機(jī)器人等精密傳動(dòng)領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用。我國(guó)對(duì)諧波減速器的研究起步較晚，雖然近幾年國(guó)內(nèi)企業(yè)經(jīng)過(guò)經(jīng)驗(yàn)積累和技術(shù)沉淀，已經(jīng)逐步獲得國(guó)際市場(chǎng)認(rèn)可，但是國(guó)內(nèi)企業(yè)生產(chǎn)的諧波減速器在傳動(dòng)精度、傳動(dòng)效率、平均壽命等方面與國(guó)外企業(yè)仍有一定差距，目前我國(guó)在精密減速機(jī)領(lǐng)域主要依賴進(jìn)口[1]。

諧波減速器的柔輪在運(yùn)動(dòng)時(shí)會(huì)發(fā)生空間變形，將其視為剛體進(jìn)行設(shè)計(jì)得到的剛輪齒廓在傳動(dòng)過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生嚙合干涉或嚙合不足等情況，同時(shí)，考慮到實(shí)際工作中齒側(cè)間隙存在的必要性，為了能夠兼顧傳動(dòng)精度以及潤(rùn)滑散熱的需要，有必要對(duì)剛輪齒廓進(jìn)行進(jìn)一步優(yōu)化。目前關(guān)于齒側(cè)間隙的計(jì)算大多是建立在對(duì)共軛齒廓的形狀及其相對(duì)位置研究的基礎(chǔ)上，研究的重點(diǎn)主要是通過(guò)改進(jìn)計(jì)算方法從而提高結(jié)果的精度方面[2]。為此，本文基于ANSYS有限元仿真數(shù)據(jù),采用包絡(luò)法對(duì)諧波減速器的剛、柔輪共軛齒廓進(jìn)行設(shè)計(jì)和初步優(yōu)化;在對(duì)剛輪空間齒廓進(jìn)一步優(yōu)化時(shí),在剛輪與柔輪齒廓之間設(shè)定一個(gè)齒側(cè)間隙常數(shù)，建立諧波傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，采用PID控制補(bǔ)償方法對(duì)諧波傳動(dòng)系統(tǒng)的齒側(cè)間隙誤差控制補(bǔ)償進(jìn)行研究，以期為諧波傳動(dòng)系統(tǒng)綜合性能的提高提供參考。

1 諧波傳動(dòng)共軛齒廓設(shè)計(jì)

1.1 諧波傳動(dòng)平面幾何運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

在不影響諧波傳動(dòng)性能的情況下，對(duì)諧波齒輪嚙合系統(tǒng)進(jìn)行簡(jiǎn)化處理，做出如下平面運(yùn)動(dòng)學(xué)假設(shè)[3]：(1)柔輪中線形狀與波發(fā)生器一致，且周長(zhǎng)始終不變；(2)波發(fā)生器在運(yùn)動(dòng)時(shí)始終不產(chǎn)生變形；(3)柔輪和剛輪的輪齒形狀始終不變；(4)柔輪中線和特征圓始終保持等距關(guān)系。

本文將波發(fā)生器簡(jiǎn)化為余弦凸輪，在波發(fā)生器塞入柔輪之后，柔輪的中性層曲線變化情況如圖1中的實(shí)線所示。

圖1 柔輪中性層變形曲線

柔輪中性層曲線對(duì)應(yīng)的變化方程為：

ρ(φ)=rm+w0cos2φ

(1)

式中，rm為柔輪中性層曲率半徑，mm；w0為柔輪最大徑向變形量，mm；φ為柔輪輸出端轉(zhuǎn)角,rad。

根據(jù)文獻(xiàn)[3]可得，在塞入余弦凸輪之后，柔輪產(chǎn)生的變形可以分為以下三個(gè)部分。

(1)柔輪徑向變形量(w)：

w=w0cos2φ

(2)

(2)柔輪周向變形量(v)：

(3)

(3)柔輪法向轉(zhuǎn)角變形量(μ)：

(4)

1.2 柔輪齒廓設(shè)計(jì)

采用公切線式雙圓弧齒廓作為柔輪齒廓，其基本齒形曲線如圖2所示。從圖2中可以看出，該齒形由凸圓弧AB、凹圓弧CD以及連接二者的一段公切線BC組成[4]。

圖2 公切線式雙圓弧齒廓的齒形曲線

參考文獻(xiàn)[4]，以弧長(zhǎng)(s)作為變量建立柔輪的齒形方程分別為：

(1)凸齒廓AB的曲線方程

(5)

式中，s∈(0,l1)；α=sin-1[(ha+e1)/r1]；xo1=-c1；yo1=hf+ds-e1；l1=r1(α-δ)。

(2)公切線段齒廓BC的曲線方程

(6)

(3)凹齒廓CD的曲線方程

(7)

上述公式中柔輪齒形參數(shù)取值如表1所示。將表1中的參數(shù)值代入公式(5)、公式(6)和公式(7)，計(jì)算得到柔輪齒形如圖3所示。由于輪齒在工作時(shí)總是繞著原點(diǎn)做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，因此在進(jìn)行完整齒廓繪制時(shí)，可以按照平面坐標(biāo)系下點(diǎn)繞原點(diǎn)的變換公式進(jìn)行計(jì)算，即：

(8)

表1 柔輪齒形參數(shù)取值

式中，θ為點(diǎn)(x,y)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)(x＇，y＇)所經(jīng)過(guò)的角度。

圖3 柔輪齒形

由公式(8)計(jì)算得到柔輪完整齒廓如圖4所示。

圖4 柔輪完整齒廓

1.3 基于包絡(luò)法的剛輪平面齒廓設(shè)計(jì)

圖5 諧波傳動(dòng)機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖

基于包絡(luò)理論求解剛輪齒廓時(shí)，具體可分為以下三個(gè)步驟。

第一步，轉(zhuǎn)換坐標(biāo)系。根據(jù)圖5，可將柔輪齒形坐標(biāo)數(shù)據(jù)通過(guò)轉(zhuǎn)換矩陣M轉(zhuǎn)化到剛輪坐標(biāo)系下[6]。包絡(luò)理論共軛方程為：

Xg=MXr

(9)

其中，柔輪齒廓方程為：

Xr=[xr(s,φ)yr(s,φ) 1]T

(10)

剛輪齒廓方程為：

Xg=[xg(s,φ)yg(s,φ) 1]T

(11)

剛?cè)彷喿鴺?biāo)變換矩陣為：

(12)

式中，γ為φ1與φ2之間的夾角,rad。

在柔輪坐標(biāo)系中，柔輪齒形的參數(shù)方程為：

(13)

根據(jù)圖5中的幾何關(guān)系，可以得到：

(14)

γ=φ1-φ2

(15)

考慮傳動(dòng)比可以得到：

(16)

由中線不伸長(zhǎng)假設(shè)可以得到：

(17)

第二步，繪制曲線族。對(duì)柔輪運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)角φ進(jìn)行離散化處理，可以繪制出不同轉(zhuǎn)角對(duì)應(yīng)的柔輪齒廓在剛輪坐標(biāo)系中的位置變化圖，如圖6所示。

(a)局部圖

(a)剛輪單個(gè)齒廓線

2 諧波減速器剛輪空間齒廓建立

2.1 ANSYS有限元分析

本文所研究的諧波傳動(dòng)系統(tǒng)傳動(dòng)比為50，柔輪齒數(shù)為100，剛輪齒數(shù)為102，余弦凸輪的最大徑向變形量為0.50 mm。首先，根據(jù)上述所設(shè)計(jì)的柔輪齒廓線，使用SolidWorks軟件分別建立柔輪和余弦凸輪的三維模型，柔輪與余弦凸輪的裝配體如圖8所示。在實(shí)際裝配過(guò)程中，余弦凸輪依靠外力塞入柔輪時(shí)，會(huì)導(dǎo)致柔輪發(fā)生彈性變形，內(nèi)部產(chǎn)生預(yù)應(yīng)力，而使用SolidWorks建立的三維模型不存在預(yù)應(yīng)力，直接裝配會(huì)使余弦凸輪和柔輪發(fā)生干涉[7]，因此，考慮到柔輪和余弦凸輪均為對(duì)稱(chēng)模型，各取其二分之一進(jìn)行裝配，使余弦凸輪外表面和柔輪內(nèi)表面接觸但不重疊。在余弦凸輪截面與柔輪截面之間添加平行配合，使用SolidWorks裝配體視圖中的測(cè)量工具，測(cè)量可得兩截面之間的距離為4.69 mm。

圖8 柔輪與余弦凸輪的裝配體

柔輪和余弦凸輪的網(wǎng)格劃分如圖9所示。在ANSYS Workbench軟件中，使用掃掠劃分方法對(duì)余弦凸輪進(jìn)行網(wǎng)格劃分，掃掠單元大小設(shè)置為1 mm，使用自動(dòng)劃分方法對(duì)柔輪進(jìn)行網(wǎng)格劃分，最終得到的網(wǎng)格模型節(jié)點(diǎn)數(shù)為108 619，單元數(shù)為54 832，單元最小邊長(zhǎng)為0.134 260 mm。

圖9 柔輪和余弦凸輪的網(wǎng)格劃分

設(shè)余弦凸輪與柔輪內(nèi)表面的接觸為摩擦接觸，設(shè)摩擦系數(shù)為0.1。在柔輪截面處添加法向位移約束，在法蘭處添加固定約束；對(duì)余弦凸輪添加一個(gè)Y軸方向大小為4.69 mm的位移，以此來(lái)模擬余弦凸輪塞入柔輪的過(guò)程。使用在柱坐標(biāo)系上建立路徑的方法，得到柔輪輪齒前端和后端中性層曲線的位移云圖如圖10所示。從圖10中可以看出，前端中性層曲線位移的最大值為0.53756 mm，后端中性層曲線位移的最大值為0.49105 mm。柔輪輪齒前端和后端中性層曲線位移變化趨勢(shì)相同，最大變形量與余弦凸輪的最大徑向變形理論值0.50 mm接近，柔輪輪齒的前端最大變形量略大于后端最大變形量。

(a) 柔輪輪齒前端中性層曲線1

2.2 仿真數(shù)據(jù)的提取和函數(shù)擬合

(a) 徑向變形

借助Matlab中的CFtool工具箱，對(duì)仿真得到的曲線1和曲線2位移變形曲線進(jìn)行函數(shù)擬合，得到其徑向位移和周向位移變化方程，其中，曲線1和曲線2徑向變形擬合方程w1和w2分別為：

(18)

曲線1和曲線2周向變形擬合方程v1和v2分別為：

(19)

與理論變形方程公式(2)和公式(3)相比，仿真得到的輪齒前后端中性層曲線的變形方程公式(18)和公式(19)更加貼合實(shí)際，更好地反映了柔輪前后端中性層曲線的變化差異。

2.3 剛輪空間齒廓建立

根據(jù)擬合仿真得到的輪齒前后端中性曲線變形方程，繪制出剛輪輪齒前端和后端的齒廓如圖12所示。

圖12 調(diào)整后剛輪輪齒前端和后端齒廓

通過(guò)更改柱坐標(biāo)系上路徑的位置，采用同樣的數(shù)據(jù)處理方法，可以得到剛輪輪齒前、后端之間各個(gè)截面處的齒廓，擬合可得修正后的剛輪空間完整齒廓模型如圖13所示。采用包絡(luò)法求解共軛齒廓，初步優(yōu)化后的剛輪齒廓與柔輪運(yùn)動(dòng)軌跡能夠較好貼合，從而使剛輪和柔輪的嚙合率大幅提升，但是這樣設(shè)計(jì)的齒輪在實(shí)際使用過(guò)程中，剛輪齒廓與柔輪齒廓之間難以存儲(chǔ)潤(rùn)滑油，會(huì)加劇輪齒的磨損，同時(shí)輪齒容易因摩擦發(fā)熱而出現(xiàn)膨脹卡死的現(xiàn)象，因此，在上述齒廓設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上，還應(yīng)該考慮齒側(cè)間隙在整個(gè)傳動(dòng)系統(tǒng)中的影響。

圖13 剛輪空間齒廓模型

3 考慮側(cè)隙的諧波齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型建立

齒側(cè)間隙是指可能接觸的嚙合齒面上點(diǎn)對(duì)間的最小間隙，通常以周向側(cè)隙表示[8]。如果側(cè)隙為零，則諧波減速器運(yùn)動(dòng)傳遞精確，但是存在磨損大、散熱難的問(wèn)題，而側(cè)隙過(guò)大，又會(huì)加大諧波傳動(dòng)系統(tǒng)的誤差，影響系統(tǒng)穩(wěn)定性。為了解決這個(gè)矛盾，對(duì)諧波減速器的剛輪空間齒廓進(jìn)行改進(jìn)，在剛輪齒廓與柔輪齒廓之間設(shè)定一個(gè)側(cè)隙常數(shù)，對(duì)其進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模，然后使用PID調(diào)整器進(jìn)行誤差補(bǔ)償。齒側(cè)間隙會(huì)影響柔輪的彈性變形，進(jìn)而影響到傳動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)傳遞?？紤]彈性變形和扭轉(zhuǎn)剛度在傳動(dòng)系統(tǒng)中的作用，建立諧波齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)力學(xué)模型[9]如圖14所示。圖14中，θs(t)為電機(jī)輸出端轉(zhuǎn)角，rad ;Ts為輸入端轉(zhuǎn)矩，N·m;Id為電機(jī)轉(zhuǎn)子連同波發(fā)生器的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，kg·m2;θi(t)為減速器輸出端理想轉(zhuǎn)角，rad;Δe(t)為減速器彈變扭轉(zhuǎn)角，rad;K為減速器扭轉(zhuǎn)剛度，N·m/rad;Tz為減速器輸出端轉(zhuǎn)矩，N·m;Iz為減速器輸出端負(fù)載的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，kg·m2;θ0(t)為減速器輸出端實(shí)際轉(zhuǎn)角,rad。

圖14 諧波齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)力學(xué)模型

系統(tǒng)的傳動(dòng)誤差E=θi(t)-θ0(t)，為了更好地反映諧波傳動(dòng)過(guò)程中的動(dòng)力傳遞情況，將Ts折算到輸出軸上記為T(mén)i，Id折算到輸出軸上記為Ii，Tgi記為輸入端集中質(zhì)量的慣性力矩，Tg0記為輸出端集中質(zhì)量的慣性力矩，Tp(t)記為彈變扭矩，建立諧波齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)力矩平衡模型如圖15所示。

圖15 諧波齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)力矩平衡模型

根據(jù)力矩平衡關(guān)系，可列出減速器傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為：

(20)

式中，Tp(t)為減速器彈變扭矩，N·m，表示為：

Tp(t)=KΔe(t)

(21)

針對(duì)從電動(dòng)機(jī)到負(fù)載的整個(gè)傳動(dòng)系統(tǒng)，可建立減速器彈變扭轉(zhuǎn)角Δe(t)的數(shù)學(xué)模型：

Δe(t)=

(22)

式中，jt為齒側(cè)間隙常數(shù)，μm。

4 諧波齒輪系統(tǒng)傳動(dòng)誤差的補(bǔ)償控制

將PID控制模塊引入諧波傳動(dòng)系統(tǒng)，以達(dá)到對(duì)齒側(cè)間隙引起的傳動(dòng)誤差進(jìn)行控制補(bǔ)償?shù)哪康?。PID調(diào)整器通過(guò)比較實(shí)際值與設(shè)計(jì)值得到系統(tǒng)偏差，然后將偏差通過(guò)比例、積分、微分的組合進(jìn)行調(diào)整，從而得到補(bǔ)償量。PID調(diào)節(jié)的微分方程式為：

(23)

式中，u(t)為補(bǔ)償量，rad；e(t)為系統(tǒng)彈變扭轉(zhuǎn)角的偏差值，rad；kp為比例系數(shù)；Ti為積分系數(shù)；Td為微分系數(shù)。

4.1 系統(tǒng)控制方框圖

將公式(21)代入公式(20)中，可得：

(24)

由此得到減速器傳動(dòng)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

(25)

圖16 不包含補(bǔ)償?shù)南到y(tǒng)方框圖

在圖16中添加PID控制模塊之后的方框圖如圖17所示。

圖17 加入補(bǔ)償后的系統(tǒng)方框圖

4.2 傳動(dòng)誤差仿真分析

本文所研究的諧波傳動(dòng)模型輸出端轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為0.000 19 kg·m2，輸入軸轉(zhuǎn)速為2000 r/min，輸入轉(zhuǎn)矩為24 N·m，負(fù)載力矩為50 N·m，扭轉(zhuǎn)剛度為55000 N·m/rad，經(jīng)查齒輪側(cè)隙表，側(cè)隙應(yīng)設(shè)置為105 μm。

將公式(21)代入公式(20)中的第二式可得：

(26)

根據(jù)公式(22)和公式(26)，結(jié)合圖16中的系統(tǒng)方框圖，對(duì)補(bǔ)償前傳動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行simulink仿真。用斜坡輸入代表減速器輸出端理想角位移函數(shù)，該函數(shù)以時(shí)間為自變量、角位移值為因變量，由減速器輸入軸轉(zhuǎn)速(n)和減速器的傳動(dòng)比(i)可得：

(27)

本次仿真中的諧波減速器處于單向勻速轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)，設(shè)置仿真時(shí)間為4 s，斜坡輸入函數(shù)圖像如圖18所示。

圖18 斜坡輸入函數(shù)圖像

仿真時(shí)用Dead Zone模塊表示側(cè)隙模型，計(jì)算側(cè)隙對(duì)應(yīng)的弧度，設(shè)置Dead Zone參數(shù)范圍為[-0.0021,0.0021]，其輸出即為彈變扭轉(zhuǎn)角Δe(t)，仿真模型及仿真結(jié)果如圖19所示。從圖19中可以看出，在0～4 s內(nèi)，傳動(dòng)誤差在-0.010～0.010 rad范圍內(nèi)變化，且有逐漸增大的趨勢(shì)。

(a)未加PID模塊的simulink仿真模型

設(shè)置PID控制器中的控制系數(shù)分別為：Proportional(P)=1、Integral(I)=1、Derivative(D)=0.005，得到控制補(bǔ)償之后的傳動(dòng)誤差變化曲線如圖20所示。從圖20中可以看出，PID補(bǔ)償模塊能夠較好地調(diào)節(jié)傳動(dòng)誤差，在0～0.2 s內(nèi)，誤差范圍明顯縮小，在0.2～1.5 s內(nèi)，誤差逐漸向0值靠攏，之后在0值附近做小幅度擺動(dòng)。

(a) 加入PID模塊的simulink仿真模型

5 結(jié)論

(1)在對(duì)諧波減速器的剛、柔輪共軛齒廓進(jìn)行設(shè)計(jì)和初步優(yōu)化時(shí)，將ANSYS有限元仿真數(shù)據(jù)代入剛輪空間齒廓設(shè)計(jì)中，能得到與柔輪空間變形相一致的剛輪齒廓，進(jìn)而改善剛輪與柔輪局部嚙合干涉和嚙合不足的情況。

(2)與未加PID控制模塊的諧波傳動(dòng)系統(tǒng)相比，PID控制補(bǔ)償方法能在1.5 s內(nèi)使誤差趨近于0，該方法對(duì)齒側(cè)間隙造成的系統(tǒng)誤差具有較好的調(diào)節(jié)作用。

(3)相比于通過(guò)改進(jìn)計(jì)算方法以提高傳動(dòng)精度的方法，在進(jìn)行齒廓設(shè)計(jì)時(shí)預(yù)留一定數(shù)值的齒側(cè)間隙，然后通過(guò)PID調(diào)整器進(jìn)行側(cè)隙誤差補(bǔ)償?shù)姆椒軌驅(qū)X側(cè)間隙從未知變?yōu)榇_定，從而提高諧波傳動(dòng)系統(tǒng)模型建立的準(zhǔn)確性，有利于提高諧波系統(tǒng)的傳動(dòng)精度。