對偶的混合對稱Chernoff型不等式及其穩(wěn)定性

徐珂，仇恒方，梅靜芳

（淮北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北 235000）

0 引言

設(shè)Rn為n維歐氏空間.如果Rn中的有界閉凸集具有非空內(nèi)部，則稱其為n維凸體.特別地，歐氏平面R2中的凸體稱為凸域［1］.設(shè)C2={K?R2|K為凸域}，Φ:C2→R為實值函數(shù).形如Φ(K)≥0的不等式是常見的一類幾何不等式，如經(jīng)典的等周不等式，Ros不等式等.

設(shè)K是面積為A，寬度函數(shù)為ω(K,θ)的凸域.Chernoff［2］證明了等 周型不等式，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)K為圓盤.隨后，Ou等［3］定義了凸域K的k階寬度函數(shù)ωk(K,θ)，即

其中H(K,θ)為K的支撐函數(shù).由k階寬度函數(shù)ωk(K,θ)，得到了Chernoff-Ou-Pan不等式

等號成立當(dāng)且僅當(dāng)K為圓盤.緊接著，關(guān)于兩個凸域的混合等周型不等式受到了廣大學(xué)者的極大關(guān)注［4-8］.文獻(xiàn)［9］證明了凸域K和L的廣義混合寬度不等式

并且等號成立當(dāng)且僅當(dāng)K和L均為圓盤.在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)［10］進(jìn)一步推廣了兩個凸域的Chernoff-Ou-Pan不等式，得到了兩個凸域的混合對稱Chernoff型不等式

等號成立當(dāng)且僅當(dāng)K和L均為圓盤.

受Ou等啟發(fā)，對于平面星體P（見定義1），Zhang等［11］引入了k階徑向函數(shù)ρk(P,θ)：

其中ρ(P,θ)為P的徑向函數(shù).借助于k階徑向函數(shù)ρk(P,θ)，Zhang等得到了對偶的Chernoff-Ou-Pan不等式

等號成立當(dāng)且僅當(dāng)P的徑向函數(shù)為

同樣地，對于兩個平面星體P和Q，Mao等［9］也得到了對偶的廣義混合徑向不等式

等號成立當(dāng)且僅當(dāng)P和Q的徑向函數(shù)均為

在文獻(xiàn)［9］和［10］的基礎(chǔ)上，本文首先研究得到平面星體P和Q的對偶的混合對稱Chernoff型不等式，即

利用星體間的對偶L2度量得到上式的一個穩(wěn)定性估計.

1 預(yù)備知識

本節(jié)主要介紹凸幾何分析中一些相關(guān)概念，更多更詳細(xì)的相關(guān)知識可以參見文獻(xiàn)［12-14］.

定義1［12］設(shè)P為Rn中的一個緊子集.若P是關(guān)于原點的一個星形體，對任意的u∈Sn-1（其中Sn-1為Rn中的n-1維單位球面），則P的徑向函數(shù)ρ(P,u)定義為

如果ρ(P,u)是連續(xù)且為正的，則稱P為星體.特別地，當(dāng)n=2時，P又被稱為平面星體.

由于u通?？梢杂蓌軸到u的有向角θ決定，不妨記u=(cosθ,sinθ)，用ρ(P,θ)來代替ρ(P,u).顯然，ρ(P,θ)是一個連續(xù)的且以2π為周期的函數(shù).

設(shè)A(P)為平面星體P的面積，由Green公式有

由于ρ(P,θ)總是連續(xù)有界的，且以2π為周期，所以ρ(P,θ)可以展開成如下形式的Fourier級數(shù)（見文獻(xiàn)［9，11］），即

其中

利用式（2）及Parseval恒等式，可以得到

定義2［15］設(shè)P為平面星體，如果其徑向函數(shù)

為證明平面星體的對偶的混合對稱Chernoff型不等式，需要引入文獻(xiàn)［10］中的一個重要的結(jié)論.

引理1［10］設(shè)f(θ)和g(θ)是以2π為周期的連續(xù)有界函數(shù).對于k∈Z+且k≥2，有

其中

2 主要結(jié)果

首先證明兩個平面星體的對偶的混合對稱Chernoff型不等式，這是本文的重要結(jié)果之一.

定理1設(shè)P,Q為平面星體.記A(P),A(Q)分別為P,Q的面積.對于k∈Z+且k≥2，有以下不等式成立：

等號成立當(dāng)且僅當(dāng)P,Q的徑向函數(shù)均為

證明由引理1可得

再根據(jù)Schwartz不等式和式（1），有

等號成立當(dāng)且僅當(dāng)i=1,2,…,k時，

其中r1,r2為常數(shù).從而有

因此r1r2=1，也就是說，P和Q的徑向函數(shù)滿足

結(jié)合式（2）可知，i=1,2,…,k時，

當(dāng)n≠kl,l∈Z+時，an=bn=0.故等號成立當(dāng)且僅當(dāng)P,Q的徑向函數(shù)均為

事實上，式（5）左端可以用徑向函數(shù)的Fourier級數(shù)表示出來.

引理2設(shè)P,Q為平面星體，則有下式成立：

證明首先由引理1有

利用式（2），可以得到

同理，

從而，

進(jìn)而有

再結(jié)合式（7）可得

當(dāng)n≠kl時，.那么

故

因此，

設(shè)P,Q為平面星體.記ρ(P,θ),ρ(Q,θ)分別表示P,Q的徑向函數(shù).P和Q之間的對偶L2度量［15］定義為.顯然，δ2(P,Q)=0當(dāng)且僅當(dāng)P=Q.

下面將利用星體P,Q的k相關(guān)星體（見定義2）來刻畫平面星體的對偶的混合對稱Chernoff型不等式（5）的穩(wěn)定性.

定理2設(shè)P,Q為平面星體.記A(P),A(Q)分別為P,Q的面積，分別是P,Q的k相關(guān)星體，則k∈Z+且k≥2時，有

若P,Q為圓盤，則等號成立.

證明首先根據(jù)式（3），可以得到P,Q的面積分別為

又由引理2的式（6）有

再根據(jù)對偶L2度量的定義及Parseval恒等式，可以得到

因此，

若P,Q為圓盤，顯然等號成立.