面向變精度仿真數(shù)據(jù)建模分析的多任務(wù)學(xué)習(xí)方法比較研究＊

吳 鍇 王曉放 邊 超 劉海濤

（大連理工大學(xué)能源與動(dòng)力學(xué)院）

0 引言

機(jī)器學(xué)習(xí)模型，又稱代理模型，是一種數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的學(xué)習(xí)預(yù)測(cè)模型，能夠自動(dòng)從數(shù)據(jù)中挖掘輸入輸出的非線性映射關(guān)系，實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)量的快速預(yù)測(cè)。相比于傳統(tǒng)的單任務(wù)學(xué)習(xí)，多任務(wù)學(xué)習(xí)（multi-task learning，MTL）[1]是機(jī)器學(xué)習(xí)中一個(gè)極具前景的研究方向，其目標(biāo)是利用多個(gè)相關(guān)或部分相關(guān)的學(xué)習(xí)任務(wù)中包含的共享信息來(lái)構(gòu)建更準(zhǔn)確的學(xué)習(xí)模型。

例如，Bonilla 等人提出了高斯過(guò)程（Gaussian process，GP）背景下的多任務(wù)學(xué)習(xí)，即多任務(wù)高斯過(guò)程（multi-task Gaussian process，MTGP）[2]，僅基于任務(wù)標(biāo)簽和每個(gè)任務(wù)的觀察數(shù)據(jù)來(lái)學(xué)習(xí)任務(wù)間的依賴關(guān)系。Kennedy 和O’Hagan[3]提出的自回歸Kriging 方法適用于多精度場(chǎng)景，在推斷高精度模型時(shí)使用包含低精度模型的協(xié)方差，而這正是推導(dǎo)CoKriging 模型的依據(jù)。此外，根據(jù)Park和Harftka等人[4]的介紹，我們可以通過(guò)簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)融合框架將單精度模型組合成多精度模型，例如，基于 Kriging 模型的簡(jiǎn)單差異框架（simple discrepancyframe work by Kriging，SDK）是其中的典型代表。

多（單）任務(wù)學(xué)習(xí)模型在工程設(shè)計(jì)中的應(yīng)用非常廣泛。例如，冀春俊等[5]采用基于Kriging模型的遺傳算法對(duì)壓縮機(jī)離心葉輪輪盤形狀優(yōu)化設(shè)計(jì)，優(yōu)化后的葉輪質(zhì)量更輕，摩擦端面變形量更小。陳陽(yáng)等[6]基于BP（Back-Propagation）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建了預(yù)測(cè)系列化軸流風(fēng)機(jī)的效率和全壓的學(xué)習(xí)模型，結(jié)果表明模型的預(yù)測(cè)值與實(shí)驗(yàn)值的一致性較好。劉佳雯等[7]提出了基于期望改進(jìn)的Kriging模型來(lái)處理隨機(jī)模糊和放大因子之間復(fù)雜的非線性關(guān)系，并以一個(gè)集總參數(shù)的葉片盤為例，說(shuō)明該方法在精度上優(yōu)于常用的多項(xiàng)式響應(yīng)面法。KUYA 等[8]使用CoKriging 模型對(duì)機(jī)翼高度、攻角（自變量）和截面下壓力（目標(biāo)量）進(jìn)行建模，分析地面效應(yīng)下帶渦發(fā)生器倒翼的氣動(dòng)性能，并探討了不同取樣方法對(duì)目標(biāo)值誤差的影響。陳夢(mèng)羽等[9]提出一種利用BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的多目標(biāo)遺傳算法，設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)風(fēng)機(jī)進(jìn)氣道畸變的翼型，減小了葉型損失及其對(duì)入射角的靈敏度。韓忠華等[10]通過(guò)Euler 數(shù)值模擬和RANS 數(shù)值模擬分別得到低精度和高精度樣本，使用一種改進(jìn)的CoKriging 模型對(duì)RAE2822 翼型性能進(jìn)行預(yù)測(cè)分析。Bonfiglio等[11]使用多精度高斯過(guò)程回歸和貝葉斯優(yōu)化等機(jī)器學(xué)習(xí)工具，基于粘性仿真求解器來(lái)構(gòu)建多精度預(yù)測(cè)框架，對(duì)超空化水翼的外形進(jìn)行優(yōu)化改進(jìn)，結(jié)果使超空化水翼的性能得到了有效的提升。還有李增聰?shù)萚12]對(duì)多級(jí)加筋殼使用多精度模型，提高了對(duì)多級(jí)加筋殼后屈曲特性的預(yù)測(cè)精度并節(jié)約了計(jì)算成本。

從上述文獻(xiàn)回顧可以發(fā)現(xiàn)，不同的多（單）任務(wù)模型在不同應(yīng)用場(chǎng)景下各有優(yōu)劣。因此有必要對(duì)比不同應(yīng)用場(chǎng)景下典型多任務(wù)學(xué)習(xí)模型的表現(xiàn)，為多任務(wù)模型在工程機(jī)械設(shè)計(jì)分析中的應(yīng)用提供一定的經(jīng)驗(yàn)指導(dǎo)。

本文對(duì)比研究的多任務(wù)模型包括多任務(wù)高斯過(guò)程[2]、CoKriging 模型[13]以及SDK 模型[4]，并選擇單任務(wù)的Kriging模型[13]作為對(duì)比基準(zhǔn)。本文首先，基于典型的多精度數(shù)值算例對(duì)比不同模型的特點(diǎn)和表現(xiàn)；再針對(duì)實(shí)際的機(jī)翼翼型設(shè)計(jì)問(wèn)題，將有關(guān)翼型氣動(dòng)系數(shù)的多精度數(shù)據(jù)視為“多任務(wù)”，通過(guò)共享多精度數(shù)據(jù)構(gòu)建多任務(wù)學(xué)習(xí)模型以準(zhǔn)確預(yù)測(cè)翼型氣動(dòng)系數(shù)。最后，給出本文的研究結(jié)論。

1 單（多）任務(wù)模型簡(jiǎn)介

1.1 Kriging模型

Kriging 模型發(fā)端于地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)，是一種依據(jù)協(xié)方差函數(shù)對(duì)隨機(jī)過(guò)程或隨機(jī)場(chǎng)進(jìn)行空間建模和預(yù)測(cè)的回歸算法。它能夠在特定的隨機(jī)過(guò)程中給出最優(yōu)線性無(wú)偏估計(jì)（best linear unbiased prediction，BLUP）。若協(xié)方差函數(shù)的形式等價(jià)，且建模對(duì)象是平穩(wěn)高斯過(guò)程，那么Kriging 等效于高斯過(guò)程回歸（Gaussian process regression，GPR）[14]。

1.2 MTGP模型

高斯過(guò)程是一種隨機(jī)過(guò)程，代表一系列服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量在一指數(shù)集內(nèi)的組合。高斯過(guò)程由其數(shù)學(xué)期望和協(xié)方差函數(shù)完全確定，并繼承了正態(tài)分布的諸多性質(zhì)。而多任務(wù)高斯過(guò)程同時(shí)對(duì)多個(gè)相關(guān)變量進(jìn)行高斯過(guò)程建模，由此產(chǎn)生的多任務(wù)模型可以學(xué)習(xí)多個(gè)信號(hào)之間的相關(guān)性，共享多個(gè)變量的信息，從而提高建模精度。

給出訓(xùn)練樣本集X，定義M個(gè)任務(wù)的響應(yīng)集y=(y11,…,yN1,…,y12,…,yN2,…,y1M,…,yNM)T，其中是指第l個(gè)任務(wù)在第i個(gè)點(diǎn)x(i)上的響應(yīng)。

這里為了敘述方便，假設(shè)各任務(wù)的訓(xùn)練樣本集x一樣。但是注意，MTGP 模型允許各任務(wù)的訓(xùn)練樣本集{ Xi}1≤i≤m不一樣。

給定M個(gè)任務(wù)的訓(xùn)練數(shù)據(jù){X,y}，以學(xué)習(xí)各任務(wù)的關(guān)聯(lián)性以實(shí)現(xiàn)跨任務(wù)知識(shí)共享和遷移[2]。因此，MTGP 模型使用如下交叉核函數(shù)來(lái)表征各任務(wù)之間的相關(guān)性。

其中，表示任務(wù)l和任務(wù)j之間的相似性；k*是各輸入之間的協(xié)方差函數(shù)?？梢赃M(jìn)一步提高M(jìn)TGP 模型的表達(dá)能力，包括使用更多的潛函數(shù)來(lái)捕捉不同尺度的特征[15]，疊加任務(wù)特有的潛函數(shù)以降低負(fù)遷移[16]，使用卷積過(guò)程構(gòu)造更強(qiáng)大的多任務(wù)核函數(shù)[17]等。

MTGP 模型一個(gè)非常重要的特征是它沒(méi)有考慮多精度數(shù)據(jù)的非對(duì)稱性[18]。如果假設(shè)各個(gè)任務(wù)是有序的，那么半正定矩陣就需要構(gòu)建一個(gè)塊對(duì)角化的結(jié)構(gòu)，如下文介紹的CoKriging模型。

1.3 CoKriging模型

CoKriging 模型可以視為多精度場(chǎng)景下MTGP 模型的擴(kuò)展。MTGP模型假設(shè)各任務(wù)同等重要，這顯然與多精度數(shù)據(jù)的特點(diǎn)不匹配。因此，CoKriging 模型特別考慮了多精度數(shù)據(jù)的非對(duì)稱性，重點(diǎn)提高高精度模型的預(yù)測(cè)精度。本文考慮使用高/低兩個(gè)精度級(jí)別構(gòu)建的CoKriging 模型[13]。假設(shè)Xe和Xc分別代表高低精度樣本點(diǎn)，構(gòu)成樣本集

特別地，一般認(rèn)為高精度樣本是低精度樣本的子集Xe?Xc，這種情況可以解耦CoKriging 模型，降低計(jì)算復(fù)雜度[19]。此外，Ye和Yc分別是Xe和Xc對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值，構(gòu)成響應(yīng)值的集合

CoKrigng模型可以表達(dá)為

其中，Ze(·) 和Zc(·) 分別表示高低精度對(duì)應(yīng)的高斯過(guò)程，ρ是縮放因子，Zd(·) 表示殘差高斯過(guò)程。類似于Kriging 模型對(duì)協(xié)方差的構(gòu)建，CoKriging 模型需要構(gòu)建各精度高斯過(guò)程之間的協(xié)方差，完整表示為

其中Ψc是指用低精度核函數(shù)刻畫的樣本點(diǎn)之間的相關(guān)矩陣，Ψd表示用殘差核函數(shù)刻畫的相關(guān)矩陣。我們一般需要通過(guò)最大似然估計(jì)（maximum likelihood estimate，MLE）得到超參數(shù)θc，θd，pc，pd以及縮放因子ρ。

注意CoKriging的預(yù)測(cè)表達(dá)式包含高精度預(yù)測(cè)和低精度預(yù)測(cè)兩部分，一般會(huì)更關(guān)心高精度的數(shù)據(jù)，故上式給出的是CoKriging的高精度預(yù)測(cè)，其中

1.4 基于Kriging模型的簡(jiǎn)單差異框架

SDK模型借助橋函數(shù)[20](x) 構(gòu)造多精度模型，表達(dá)式為

其中，(x)表示使用低精度樣本集構(gòu)建的Kriging模型在點(diǎn)x 處的預(yù)測(cè)值；(x)表示點(diǎn)x 處高低精度響應(yīng)的殘差預(yù)測(cè)值；ρ為縮放因子，用于最小化高精度樣本值(x)與低精度替代項(xiàng)(x)的差異。注意，為了構(gòu)建殘差模型(.)，需要先在高低精度樣本的公共點(diǎn)計(jì)算殘差δ(xcom)

其中，xcom∈Xcom=Xe∩Xc是高低精度樣本公共點(diǎn)，ye(xcom)和yc(xcom)分別是公共點(diǎn)處的高低精度樣本值。所有δ(xcom)構(gòu)成差值集Δ(Xcom)，通過(guò)Xcom和Δ(Xcom)構(gòu)建Kriging模型(·) 。

2 數(shù)值算例

本節(jié)首先在一個(gè)一維多精度數(shù)值算例和一個(gè)六維多精度數(shù)值算例上比較分析了多（單）任務(wù)模型的特點(diǎn)和表現(xiàn)，然后將它們應(yīng)用到一個(gè)真實(shí)的翼型升阻力系數(shù)多精度預(yù)測(cè)分析問(wèn)題。注意，考慮到計(jì)算復(fù)雜度，這里我們使用只有一個(gè)潛函數(shù)的MTGP模型[2]。

2.1 一維數(shù)值算例

本算例將不同的代理模型應(yīng)用于一維數(shù)值函數(shù)的預(yù)測(cè)。使用的高精度函數(shù)為fe(x)=(6x-2)2sin(12x-4)，x∈[0,1]，低精度函數(shù)為fc(x)=Afe+B(x-0.5) -C，其中A=0.5，B=10，C=5 以近似高精度函數(shù)[21]。在fe的定義域[ 0,1]上每隔0.05 取一個(gè)點(diǎn)，共20 個(gè)點(diǎn)作為低精度樣本，為降低CoKriging模型的計(jì)算復(fù)雜度，令高精度樣本是低精度樣本子集，選定高精度樣本集Xe={0,0.4,0.6,1} 。另外，在定義域[0,1]上每隔0.01取一個(gè)點(diǎn)作為測(cè)試集，共100個(gè)點(diǎn)。其中單任務(wù)的Kriging模型僅通過(guò)高精度樣本集建模預(yù)測(cè)，而多任務(wù)模型將使用高低精度樣本集協(xié)同預(yù)測(cè)，以驗(yàn)證多任務(wù)學(xué)習(xí)共享知識(shí)提高預(yù)測(cè)精度的特點(diǎn)。

圖1 四種模型的預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比Fig.1 Comparison of prediction results of the four models

表1 不同模型預(yù)測(cè)誤差Tab.1 RMSE results of different model

根據(jù)圖1和表1的比較結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)Kriging模型預(yù)測(cè)誤差較多任務(wù)模型明顯更大，證明了多任務(wù)學(xué)習(xí)共享知識(shí)以提高預(yù)測(cè)精度的能力。CoKriging模型幾乎捕捉了高精度函數(shù)的所有特征，誤差最?。籑TGP 模型預(yù)測(cè)誤差較大，推測(cè)是由于MTGP模型建模時(shí)沒(méi)有考慮多精度數(shù)據(jù)的非對(duì)稱性，沒(méi)能對(duì)高精度模型進(jìn)行更為準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)；而SDK 模型較大的預(yù)測(cè)誤差是由于其建模時(shí)分別構(gòu)造高低精度模型和殘差模型，沒(méi)有考慮三者的相互關(guān)系，對(duì)多精度信息利用不足。

2.2 基于hartmann六維函數(shù)的數(shù)值算例

本節(jié)針對(duì)多任務(wù)模型，一方面研究當(dāng)樣本擴(kuò)充到高維，樣本數(shù)據(jù)量較大時(shí)，各模型的預(yù)測(cè)效果；另一方面研究高低精度樣本數(shù)對(duì)模型預(yù)測(cè)誤差的影響。為便于敘述，這里將多任務(wù)學(xué)習(xí)中獲取一組高低精度樣本所需的總成本稱為總預(yù)算，用高精度點(diǎn)數(shù)表示為ntotal；定義成本比（cost ratio，cr）為一個(gè)高精度樣本的計(jì)算開銷對(duì)應(yīng)cr個(gè)低精度樣本的計(jì)算開銷；定義高精度樣本數(shù)ne和低精度樣本數(shù)nc之比為尺寸比（size ratio，sr）[4]。其中成本比、總預(yù)算與高低精度樣本數(shù)的關(guān)系為

尺寸比與高低精度樣本數(shù)的關(guān)系為

為降低CoKriging 模型的計(jì)算復(fù)雜度，樣本選取原則與一維算例一致，即高精度樣本集是低精度樣本集的子集。為達(dá)到均勻取點(diǎn)的目的，采用拉丁超立方抽樣和最近鄰抽樣相結(jié)合[22]的采樣策略。選用定義在[0.1,1]6上的hartmann六維函數(shù)作為高精度函數(shù)，其表達(dá)式如下：

其中α={1 1.2 3 3.2}T為函數(shù)參數(shù)，A和P為常數(shù)矩陣

使用hartmann 六維函數(shù)的近似函數(shù)作為低精度函數(shù)：

其中，={0.5 0.5 2.0 4.0}T為函數(shù)參數(shù)，fexp(x)是由指數(shù)函數(shù)構(gòu)成的近似函數(shù)，

本算例固定總預(yù)算為28，成本比為30，在對(duì)比不同模型預(yù)測(cè)誤差的同時(shí)研究均方根誤差（root mean square error，RMSE）隨尺寸比的變化關(guān)系。選取ne∈[3,23]，取值間隔2，共計(jì)11個(gè)不同的高精度樣本數(shù)（即11個(gè)尺寸比值），而低精度樣本數(shù)隨高精度樣本數(shù)而變化，如式(12)。

圖2 在hartmann函數(shù)上各模型預(yù)測(cè)誤差隨尺寸比變化的誤差棒圖Fig.2 An error bar diagram of different models with size ratio on the hartmann case

如圖2 所示，1）MTGP 和CoKriging 預(yù)測(cè)的RMSE 隨尺寸比呈現(xiàn)先減小后增加的趨勢(shì)，尺寸比過(guò)大或過(guò)小都會(huì)影響其預(yù)測(cè)精度，在尺寸比為0.03～0.07的范圍內(nèi)，預(yù)測(cè)誤差普遍較??；2）當(dāng)尺寸比大于0.01 時(shí)，MTGP 表現(xiàn)最優(yōu)，SDK 模型表現(xiàn)最差，說(shuō)明在hartmann 六維函數(shù)場(chǎng)景的大多數(shù)尺寸比范圍內(nèi)，MTGP模型在幾種模型中最為準(zhǔn)確。當(dāng)尺寸比小于0.01時(shí)，MTGP模型誤差上升劇烈，說(shuō)明高精度數(shù)據(jù)的減少對(duì)MTGP 預(yù)測(cè)的影響很大；3）SDK 模型預(yù)測(cè)的RMSE 最大，且尺寸比對(duì)SDK 模型的影響弱于對(duì)MTGP 和CoKriging 的影響，可能是由于其線性加和的建模方式對(duì)多精度信息不夠敏感。但結(jié)果依然呈現(xiàn)出誤差隨尺寸比增加而逐漸變大的趨勢(shì)，證明高精度點(diǎn)過(guò)多會(huì)降低SDK模型預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性。

3 基于RAE2822翼型仿真的多任務(wù)學(xué)習(xí)

本節(jié)將MTGP 和CoKriging 模型應(yīng)用于RAE2822 翼型氣動(dòng)系數(shù)的預(yù)測(cè)，并將僅使用高精度樣本訓(xùn)練的單任務(wù)Kriging模型作為對(duì)比基準(zhǔn)。

3.1 翼型空氣動(dòng)力系數(shù)

根據(jù)翼型理論，翼型的空氣動(dòng)力系數(shù)主要用于衡量翼型的氣動(dòng)性能[23]，包括升力系數(shù)Cl，阻力系數(shù)Cd以及力矩系數(shù)Cm。將其作為多任務(wù)學(xué)習(xí)的目標(biāo)量，訓(xùn)練數(shù)據(jù)集通過(guò)fluent翼型仿真計(jì)算獲得。假設(shè)Lift是翼型所受升力，Drag是翼型所受阻力，來(lái)流速度為u∞，翼型攻角為αA，翼型弦長(zhǎng)為c，機(jī)翼（或葉片）受力面積為S，空氣密度為ρ∞，那么翼型的升力系數(shù)定義為

翼型的阻力系數(shù)定義為

圖3 翼型力矩系數(shù)計(jì)算示意圖[24]Fig.3 Schematic diagram of airfoil moment coefficient calculation

如圖3所示，將升阻力的作用點(diǎn)固定在0.25c處，由于阻力沿弦長(zhǎng)方向，故不會(huì)產(chǎn)生力矩，此時(shí)便只增加了升力從壓力中心平移到該點(diǎn)的附加力矩M，將翼型的力矩系數(shù)定義為

3.2 可靠性驗(yàn)證

表2 介質(zhì)屬性Tab.2 Dielectric properties

為校驗(yàn)fluent 仿真所得氣動(dòng)系數(shù)的準(zhǔn)確性，我們將RAE2822氣動(dòng)系數(shù)的仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值[25]比對(duì)。fluent翼型仿真包括建模、劃分網(wǎng)格、求解、后處理四個(gè)步驟[26]。仿真的幾何模型及網(wǎng)格如圖4和5所示。仿真的介質(zhì)屬性及邊界條件如表2和表3所示。

圖4 翼型建模圖Fig.4 The geometry model of studied airfoil

圖5 機(jī)翼仿真模型網(wǎng)格劃分（網(wǎng)格數(shù)42234）Fig.5 The meshes for computational model of airfoil(the number of meshes is 42234)

表3 流場(chǎng)及邊界條件Tab.3 Flow field and boundary conditions

機(jī)翼仿真模型求解部分選擇基于N-S方程的k-ω湍流模型。相比于常用的Spalart-Allmaras 模型，它在預(yù)測(cè)邊界層特征的細(xì)節(jié)方面更加準(zhǔn)確。

表4 翼型氣動(dòng)系數(shù)仿真值與實(shí)驗(yàn)值對(duì)比表Tab.4 Comparison of airfoil simulation results and experimental results

如表4 所示，Cl和Cd的仿真值相對(duì)于實(shí)驗(yàn)值的誤差均小于3%。說(shuō)明fluent翼型仿真具有較高的可靠度，可以通過(guò)fluent翼型仿真生成代理模型的訓(xùn)練集。

3.3 網(wǎng)格無(wú)關(guān)性驗(yàn)證

本實(shí)驗(yàn)中多任務(wù)模型所使用的高低精度樣本均是通過(guò)fluent 仿真獲得的，而樣本數(shù)據(jù)高低精度的區(qū)別依賴于網(wǎng)格數(shù)。如表5 所示，在一定網(wǎng)格數(shù)的范圍內(nèi)，翼型氣動(dòng)系數(shù)的仿真誤差隨網(wǎng)格數(shù)的增加（即網(wǎng)格分辨率的提高）而降低，當(dāng)網(wǎng)格數(shù)達(dá)到某一平臺(tái)階段時(shí)，仿真誤差將不受網(wǎng)格分辨率的影響，此時(shí)即達(dá)到網(wǎng)格無(wú)關(guān)。

表5 翼型仿真的網(wǎng)格無(wú)關(guān)性驗(yàn)證Tab.5 Mesh independence verification of airfoil simulation

根據(jù)以上網(wǎng)格無(wú)關(guān)性驗(yàn)證的結(jié)果，選取生成低精度數(shù)據(jù)的模型網(wǎng)格數(shù)為20827，生成高精度數(shù)據(jù)的模型網(wǎng)格數(shù)為52254。

表6 介質(zhì)屬性Tab.6 Dielectric properties

表7 流場(chǎng)及邊界條件Tab.7 Flow field and boundary conditions

3.4 單變量模型預(yù)測(cè)實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

本實(shí)驗(yàn)固定Ma不變，研究翼型升阻力系數(shù)隨攻角的變化情況。仿真模擬工況為6500m左右高空，空氣溫度為-27℃，大氣壓力為43765Pa，介質(zhì)屬性、流場(chǎng)及邊界條件如下：

圖6 翼型升力系數(shù)隨攻角變化曲線Fig.6 The variation curve of the lift coefficient of airfoil with the angle of attack

圖7 翼型阻力系數(shù)隨攻角變化曲線Fig.7 The drag coefficient of airfoil varies with the angle of attack

圖8 翼型升阻力系數(shù)曲線Fig.8 Polar curve of airfoil

確定Ma=0.2，攻角作為變量，其低精度樣本在[-5°，15°]上每隔1°取點(diǎn)，高精度樣本取{-5°，5°，15°}，并將25 個(gè)低精度點(diǎn)作為測(cè)試集，驗(yàn)證集通過(guò)高分辨率網(wǎng)格仿真計(jì)算得到。另外查閱資料[10]顯示，攻角較大時(shí)，升力系數(shù)會(huì)出現(xiàn)下降，所以在αA∈[11°，15°]上密集取點(diǎn)（間隔0.5°）以捕捉這一特征。

如圖6 所示，三種模型均捕捉到了Cl隨αA的上升過(guò)程，但多精度模型（尤其是CoKriging 模型）更加接近驗(yàn)證曲線，且捕捉了上升曲線末尾的平緩段。圖7中多精度模型的預(yù)測(cè)值與驗(yàn)證值幾乎一樣，而Kriging 模型則出現(xiàn)了較大誤差。這是因?yàn)橛?xùn)練集只有三個(gè)高精度點(diǎn)，影響了單精度模型的預(yù)測(cè)精度。圖8中多精度模型（尤其是CoKriging 模型）的預(yù)測(cè)曲線同樣遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于Kriging 模型的預(yù)測(cè)曲線，只是對(duì)Cl峰值的預(yù)測(cè)出現(xiàn)了一定偏差?？梢园l(fā)現(xiàn)，上述所有實(shí)驗(yàn)結(jié)果中，CoKriging模型預(yù)測(cè)精度均優(yōu)于MTGP 模型。這是因?yàn)镸TGP 在建模時(shí)未考慮多精度數(shù)據(jù)的非對(duì)稱性，因此其高精度預(yù)測(cè)略差于CoKriging模型。

3.5 雙變量模型預(yù)測(cè)實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

圖9 不同模型預(yù)測(cè)的升力系數(shù)隨攻角和馬赫數(shù)的變化Fig.9 The lift coefficients predicted by different models with the angle of attack and Mach number

圖10 不同模型預(yù)測(cè)的阻力系數(shù)隨攻角和馬赫數(shù)的變化Fig.10 The drag coefficients predicted by different models with the angle of attack and Mach number

圖11 不同模型預(yù)測(cè)的力矩系數(shù)隨攻角和馬赫數(shù)的變化Fig.11 The moment coefficients predicted by different models with the angle of attack and Mach number

本實(shí)驗(yàn)考慮兩個(gè)自變量，即來(lái)流馬赫數(shù)和攻角，其介質(zhì)屬性、流場(chǎng)及邊界條件同單變量實(shí)驗(yàn)，目標(biāo)量中加入力矩系數(shù)Cm。如圖9 所示，在Ma∈[0.1，0.5]且αA∈[-5°，7°]的范圍內(nèi)采用網(wǎng)格法取低精度樣本，共計(jì)nL=65，均勻取點(diǎn)以利于兩種模型預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確度；高精度樣本作為低精度樣本的子集，從低精度樣本中均勻選取nH=9 個(gè)樣本。測(cè)試集的攻角和馬赫數(shù)與低精度樣本一致，驗(yàn)證集通過(guò)高分辨率網(wǎng)格仿真計(jì)算得到。

圖12 Ma=0.2時(shí)升阻力系數(shù)曲線對(duì)比Fig.12 Comparison of the polar curves when Ma=0.2

圖13 Ma=0.2時(shí)力矩系數(shù)隨攻角的變化Fig.13 The change of moment coefficient with the angle of attack when Ma=0.2

圖14 Ma=0.4時(shí)升阻力系數(shù)曲線對(duì)比Fig.14 Comparison of the polar curves when Ma=0.4

圖15 Ma=0.4時(shí)力矩系數(shù)隨攻角的變化Fig.15 The change of moment coefficient with the angle of attack when Ma=0.4

圖9 和圖10 所示是各模型預(yù)測(cè)的Cl和Cd隨αA的變化，可以發(fā)現(xiàn)對(duì)于這兩個(gè)氣動(dòng)系數(shù)，各模型的預(yù)測(cè)結(jié)果差異不大；圖11 對(duì)比各模型對(duì)Cm的預(yù)測(cè)情況，CoKriging 模型更好地預(yù)測(cè)了Cm變化的波谷，MTGP 模型次之，而Kriging 模型預(yù)測(cè)情況較差，只預(yù)測(cè)出Cm的小幅波動(dòng)。

圖16 AOA=-3°時(shí)升阻力系數(shù)曲線對(duì)比Fig.16 Comparison of the polar curves when AOA=-3°

圖17 AOA=-3°時(shí)力矩系數(shù)隨攻角的變化Fig.17 The change of moment coefficient with the Mach number when AOA=-3°

圖18 AOA=5°時(shí)升阻力系數(shù)曲線對(duì)比Fig.18 Comparison of the polar curves when AOA=5°

圖19 AOA=5°時(shí)力矩系數(shù)隨攻角的變化Fig.19 The change of moment coefficient with the Mach number when AOA=5°

更進(jìn)一步，圖12～15 分別截取Ma=0.2 和Ma=0.4時(shí)的片層圖。通過(guò)圖12 可以觀察到，三種模型對(duì)升阻力系數(shù)的預(yù)測(cè)在不同取值段各有優(yōu)劣；圖13 反映出MTGP和CoKriging模型預(yù)測(cè)結(jié)果相近且更接近驗(yàn)證值；圖14顯示MTGP模型和Kriging模型對(duì)升阻力系數(shù)的預(yù)測(cè)接近，但精度較差，而CoKriging模型的預(yù)測(cè)結(jié)果最接近驗(yàn)證值；圖15 直觀地表明CoKriging 模型對(duì)力矩系數(shù)有更強(qiáng)的預(yù)測(cè)能力，MTGP 模型次之，Kriging 模型沒(méi)能得到較好的預(yù)測(cè)結(jié)果。

圖16～19分別截取攻角為-3°和5°時(shí)的片層圖。圖16 和圖18 反應(yīng)出CoKriging 模型對(duì)升阻力系數(shù)曲線的近似總體更為準(zhǔn)確，MTGP 和kriging 模型近似誤差較大。圖17的結(jié)果與之前稍有不同，MTGP模型的預(yù)測(cè)結(jié)果最為準(zhǔn)確，CoKriging 模型誤差稍大，kriging 模型預(yù)測(cè)誤差最大。圖19依然表明CoKriging模型的預(yù)測(cè)最為準(zhǔn)確，MTGP 模型次之，單精度的kriging 模型預(yù)測(cè)誤差最大。

可見(jiàn)，多精度模型借助關(guān)聯(lián)的低精度數(shù)據(jù)的確能夠提高高精度模型預(yù)測(cè)質(zhì)量。在上述雙變量實(shí)驗(yàn)結(jié)果中，CoKriging 模型預(yù)測(cè)精度總體上優(yōu)于MTGP 模型，同樣是因?yàn)镸TGP 處理多精度數(shù)據(jù)時(shí)采用的對(duì)稱結(jié)構(gòu)與數(shù)據(jù)特征不匹配。

4 結(jié)論

本文通過(guò)多精度實(shí)驗(yàn)充分對(duì)比分析了MTGP、CoKriging和SDK三種多任務(wù)模型以及單任務(wù)Kriging模型的特點(diǎn)及預(yù)測(cè)性能。比較結(jié)果表明，雖然各模型的預(yù)測(cè)結(jié)果受到成本比、尺寸比等樣本條件的影響，但無(wú)論是數(shù)值算例還是對(duì)翼型氣動(dòng)系數(shù)的預(yù)測(cè)，都表明多精度模型能夠借助相關(guān)聯(lián)的便宜、豐富的低精度數(shù)據(jù)提高對(duì)昂貴的高精度目標(biāo)的預(yù)測(cè)質(zhì)量。在工程實(shí)踐中，如果只有少量的高精度數(shù)據(jù)，那么我們可以通過(guò)仿真等手段獲取充足的低精度數(shù)據(jù)，應(yīng)用多任務(wù)學(xué)習(xí)方法提高對(duì)目標(biāo)量的預(yù)測(cè)精度。

在多數(shù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果中，CoKriging 對(duì)高精度目標(biāo)的預(yù)測(cè)結(jié)果更好，是因?yàn)?）SDK 模型線性加和的簡(jiǎn)單解耦建模方式未能捕捉充分的多精度關(guān)聯(lián)信息，2）MTGP模型在使用多精度數(shù)據(jù)時(shí)采取的對(duì)稱結(jié)構(gòu)未能對(duì)高精度模型做更好的預(yù)測(cè)。但是，hartmann 六維函數(shù)中MTGP的優(yōu)異表現(xiàn)說(shuō)明不同多任務(wù)模型在不同場(chǎng)景下預(yù)測(cè)效果各有優(yōu)劣。因此，在實(shí)際應(yīng)用中，選用哪一種多任務(wù)模型還需考慮問(wèn)題本身的特點(diǎn)。