體驗歸納猜想，踐行核心素養(yǎng)
——“等比數(shù)列”教學(xué)案例分析

◎殷 濤 (南京市金陵中學(xué),江蘇 南京 210005)

引 言

等比數(shù)列這一章節(jié)的內(nèi)容是高中數(shù)學(xué)的重點和難點.等比數(shù)列章節(jié)知識主要包括等比數(shù)列的概念、定義以及前n項和的求解公式等內(nèi)容.為了降低學(xué)習(xí)的難度，教師往往從學(xué)生較為熟悉的內(nèi)容入手，采用多媒體視頻或者數(shù)學(xué)趣味小故事來導(dǎo)入課程.學(xué)生在驗證數(shù)學(xué)趣味小故事的時候，會不斷靠近等比數(shù)列的學(xué)習(xí)內(nèi)容，在猜想、歸納和總結(jié)中得出等比數(shù)列的公式.這種方法不僅可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，還可以將數(shù)學(xué)與生活整合在一起，踐行數(shù)學(xué)的應(yīng)用性特點，對于學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)有著促進作用.

一、教學(xué)設(shè)計思想

(一)設(shè)計理念

隨著新課程改革的不斷深入，教師要秉持著因材施教的理念，在設(shè)計課堂教學(xué)過程中要面向全體同學(xué)，以達到“想學(xué)習(xí)的人均可以獲得數(shù)學(xué)知識”的目的.在設(shè)計前期，教師需要將三維教學(xué)目標與核心素養(yǎng)內(nèi)容進行整合，邀請學(xué)生一起互動，培養(yǎng)他們良好的情感、態(tài)度和價值觀，進而幫助學(xué)生樹立正確的數(shù)學(xué)觀.在教學(xué)時，教師需要引導(dǎo)學(xué)生從簡單內(nèi)容的學(xué)習(xí)過渡到核心知識上.在這個過程中，學(xué)生在頭腦之中會對知識結(jié)構(gòu)進行重組，數(shù)學(xué)思維得到激發(fā).在引用例子的時候，教師往往會聯(lián)系生活實際，讓學(xué)生感到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義，從而培養(yǎng)他們的社會意識，明確生活化數(shù)學(xué)的科學(xué)合理性.

(二)設(shè)計背景

傳統(tǒng)的課堂教學(xué)以學(xué)生數(shù)學(xué)知識和解題能力提升為主，很少涉及核心素養(yǎng)內(nèi)容，導(dǎo)致學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)枯燥乏味，數(shù)學(xué)與日常生活相互獨立，不利于學(xué)生綜合能力的提升以及核心素養(yǎng)的培養(yǎng).新課程標準理念需要教師重新認識數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價值，充分研讀高中數(shù)學(xué)課程大綱，深入理解核心素養(yǎng)的內(nèi)涵，突破傳統(tǒng)的教學(xué)方式，創(chuàng)新教學(xué)的方式，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).這就需要教師既要幫助學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識，還要幫助他們在學(xué)習(xí)的過程中學(xué)會歸納總結(jié)和自主探究，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力.

二、教學(xué)目標

(一)知識目標

1.引導(dǎo)學(xué)生掌握等比數(shù)列的定義，會根據(jù)定義判斷某數(shù)列是否屬于等比數(shù)列；掌握等比數(shù)列的前n項和公式，并應(yīng)用等比數(shù)列的前n項和公式靈活解題.

2.引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會等比數(shù)列的表示方法，靈活運用通項公式求等比數(shù)列的首項、公比以及指定項；引導(dǎo)學(xué)生掌握前n項和的推導(dǎo)過程.

3.通過通項公式認識等比數(shù)列的性質(zhì)，運用前n項和公式來解決生活中的某些實際問題.

(二)能力目標

通過對等比數(shù)列概念、通項公式的學(xué)習(xí)，逐步培養(yǎng)學(xué)生觀察、類比、歸納、猜想等思維品質(zhì)，并在前n項和公式的推導(dǎo)過程中體會分類討論的思想方法.

(三)情感態(tài)度價值觀

通過學(xué)習(xí)等比數(shù)列的概念，培養(yǎng)學(xué)生嚴密的思維習(xí)慣以及實事求是的科學(xué)態(tài)度；通過對等比數(shù)列的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生認識到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的應(yīng)用價值，幫助他們樹立正確的價值觀.

三、教材分析

(一)知識結(jié)構(gòu)

等比數(shù)列與等差數(shù)列是高中教材中的重點內(nèi)容.在教材結(jié)構(gòu)安排上，教師往往是帶領(lǐng)學(xué)生進行等差數(shù)列的學(xué)習(xí)，然后采用類比的方法，歸納出等比數(shù)列的定義，推導(dǎo)出相關(guān)的公式.同時，等比數(shù)列的前n項和又是另外一個學(xué)習(xí)的重點，其內(nèi)容要比通項公式復(fù)雜得多.在等比數(shù)列前n項和的學(xué)習(xí)中，往往采用分類討論的思想來思考不同條件下的前n項和公式，這有利于培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)思維.

(二)重點、難點分析

1.教學(xué)重點

等比數(shù)列的定義；通項公式；等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)、證明以及應(yīng)用.

2.教學(xué)難點

等比數(shù)列通項公式及前n項和公式的推導(dǎo)以及靈活應(yīng)用.

四、教學(xué)過程

(一)創(chuàng)設(shè)情境，由生活問題向?qū)W習(xí)內(nèi)容貼近

教師為學(xué)生創(chuàng)設(shè)問題情境.

在很久以前，古希臘國王發(fā)現(xiàn)了64格棋盤的趣味性，決定要大大嘉獎發(fā)明它的宰相，并允許其說出想要的獎品.宰相的賞賜要求很簡單，即在棋盤的第一格子內(nèi)放一粒麥子，第二個格子內(nèi)放兩粒麥子，此后每個格子的麥粒數(shù)目都是上一個格子的二倍，他就要這64格棋盤上擺滿的麥粒.國王一聽，認為這個賞賜太簡單，便隨口答應(yīng)了下來.那么問題來了，這64格棋盤究竟可以放多少麥粒呢，國王是否會真正的答應(yīng)他呢？

師：同學(xué)們你們?nèi)绾蝸碛嬎氵@道趣味數(shù)學(xué)題目呢？

生：(思考之后)這相當于求1+2+22+23+24+…+263，化簡的結(jié)果為264-1，通過計算機可以發(fā)現(xiàn)其結(jié)果約為1.84×1019，那么這么多麥粒到底有多重呢？我們可以將抽象的數(shù)字細化為生活中常見的重量單位.一千粒麥子的重量約為40克，那么這堆麥粒的總重量大約為7000億噸，為此國王應(yīng)該不會同意宰相的要求.

【設(shè)計意圖】通過創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)問題情境，可以將枯燥乏味的數(shù)學(xué)知識與生活實際內(nèi)容緊密地聯(lián)系起來，讓學(xué)生真正地意識到數(shù)學(xué)來源于生活，又應(yīng)用于生活.從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生積極地投入到教學(xué)活動之中.

(二)在小組合作探究中，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

師:剛才我們解決了麥粒問題，如果將20、21、22、23…264排列在一起，可以發(fā)現(xiàn)這是一個等比數(shù)列，而那個相加的公式便是等比數(shù)列的前64項求和公式.從這個特殊的案例，我們是否可以嘗試推導(dǎo)一下常規(guī)情況下的等比數(shù)列前n項和公式呢？

生1：我知道這是運用了類比的方法，根據(jù)特殊情況來類推常規(guī)情況.我們可以觀察麥粒求和的公式來發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列的前n項和公式.

師:這位同學(xué)說得非常對，我們可以利用麥粒求和算式來類推等比數(shù)列的前n項求和公式，大家以小組為單位，嘗試一下能否推導(dǎo)出來這個公式呢？

小組以前后桌為單位開展了小組合作學(xué)習(xí)，運用集體的智慧來推導(dǎo)求和公式.教師在這個過程中巡視，并對學(xué)生們在討論過程中遇到的問題進行適當?shù)狞c撥.當所有的小組討論結(jié)束后，教師邀請一名同學(xué)上臺演示推導(dǎo)過程.

【設(shè)計意圖】新課程改革背景下，教師要引導(dǎo)學(xué)生開展小組探究合作，來幫助學(xué)生相互學(xué)習(xí)、優(yōu)勢互補，不僅可以提升數(shù)學(xué)教學(xué)的質(zhì)量，還可以培養(yǎng)學(xué)生的合作意識以及探究精神，達到培養(yǎng)核心素養(yǎng)的目的.

(三)學(xué)以致用，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力

教師利用多媒體課件為學(xué)生出示例題1.

教師邀請兩名學(xué)生上臺進行演示，其他學(xué)生在下面利用草稿紙進行計算.

【設(shè)計意圖】在上面的教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師剛剛帶領(lǐng)學(xué)生推導(dǎo)出公式，學(xué)生的印象比較深刻，正所謂趁熱打鐵，教師立刻為學(xué)生布置較為簡單的例題，來幫助他們鞏固基礎(chǔ).同時，教師還可以幫助學(xué)生糾正錯誤，并強調(diào)書寫的規(guī)范性，以此來提高學(xué)生的計算能力，培養(yǎng)他們良好的計算習(xí)慣.

教師為學(xué)生出示例題2.

某大型商場為了增加營業(yè)額，籌備了某方案，方案之中預(yù)計今年要銷售計算機5000臺，假設(shè)此后每年的銷售量均比上一年增加10個百分點.問：從今年開始，大約幾年可以使總銷售量達到30000臺.(結(jié)果精確到個位)

教師引導(dǎo)學(xué)生分析問題，可以發(fā)現(xiàn)基數(shù)是5000，增長的比例為10%，最終銷售的總量是30000.與本章節(jié)內(nèi)容相聯(lián)系，就可以發(fā)現(xiàn)利用這些數(shù)學(xué)元素可以構(gòu)建一個等比數(shù)列的關(guān)系式，所求解的n即為最終答案，通過帶入公式求得n的結(jié)果為10.為此，大約十年可以使銷售的總量達到預(yù)期的30000臺.

師：通過分析這道應(yīng)用題，我們可以總結(jié)出相應(yīng)的答題步驟.首先，閱讀題目，尋找數(shù)學(xué)元素，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型.然后，分析數(shù)學(xué)模型，利用數(shù)學(xué)知識解答相應(yīng)的實際問題.最后，將數(shù)學(xué)答案與實際問題所求的量進行對接，并結(jié)合實際情況思考答案是否正確.

【設(shè)計意圖】數(shù)學(xué)知識來源于生活，自然也要用來解決實際的問題.在平時的教學(xué)過程中，教師要善于尋找符合生活實際的例子，而不是直接以數(shù)字的形式呈現(xiàn)給學(xué)生，這樣可以幫助學(xué)生培養(yǎng)生活化的思維.同時，教師還要引導(dǎo)學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學(xué)問題，并選取合適的數(shù)學(xué)模型來解決數(shù)學(xué)問題，從而培養(yǎng)他們的解題能力，為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)奠定基礎(chǔ).

教師見到學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情比較高，于是給學(xué)生布置一道自主練習(xí)的題目：

窮人向地主借錢，吝嗇的地主竟然滿口答應(yīng)了下來，地主每天給窮人100塊錢，窮人從第一天開始還給富人一分錢，第二天還2分錢，此后每天所還錢數(shù)均為前一天的兩倍，約定期限為30天.問，最后窮人能否盈利.

學(xué)生自主思考問題，可以適當進行小組討論.教師巡視，觀看學(xué)生自主解題的成果.當大部分的學(xué)生解答完問題之后，教師邀請一名同學(xué)上臺分享自己的解題思路和解題過程.

生：首先要計算地主總共給了窮人多少錢，即T=100×30=3000元.然后計算窮人還給富人多少錢，即a1=1,q=2，單位為分，將其帶入到等比數(shù)列的前n項和公式中，換算之后可以得出S=10737418.23元，最后通過對比可以發(fā)現(xiàn)窮人最后虧了上千萬元.

師:這位學(xué)生做得非常好，這道題表面是一道比大小的問題，但是如果將數(shù)學(xué)元素找出來，并進行數(shù)學(xué)建模，可以發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)是等比數(shù)列前n項和的應(yīng)用案例，同學(xué)們可以細細感悟一下這種思想轉(zhuǎn)化法的運用.

【設(shè)計意圖】布置這種數(shù)學(xué)問題的核心目的是鞏固等比數(shù)列前n項和的知識，輔助目的則是提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)積極性以及自信心，從而構(gòu)建高效的數(shù)學(xué)課堂，培養(yǎng)學(xué)生們的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

四、教后反思

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)并非借助某一節(jié)課程就可以培養(yǎng)成功，但是教師需要將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)容細化到每一節(jié)課中，甚至細化到每一個環(huán)節(jié)之中.在教學(xué)前期，教師要制定與核心素養(yǎng)相關(guān)的教學(xué)目標.然后深挖教材，制定科學(xué)合理的教學(xué)計劃，在各個環(huán)節(jié)融入核心素養(yǎng).從本節(jié)課的教學(xué)情況來看，我主要講解等比數(shù)列中的一小節(jié),即等比數(shù)列前n項和的推導(dǎo)與求解.在教學(xué)方法上，我利用情境教學(xué)法、生活化教學(xué)法、多媒體教學(xué)法等多種方法來豐富數(shù)學(xué)課堂，不僅幫助學(xué)生理解并掌握了相關(guān)的知識，更重要的是提高了他們的數(shù)學(xué)綜合能力，培養(yǎng)了他們的核心素養(yǎng)，這既符合新課標的要求，也是高中數(shù)學(xué)教學(xué)改革發(fā)展的必然舉措.

五、結(jié)論

通過上面的分析，我們可以發(fā)現(xiàn)高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)是一項長期的任務(wù)，任重而道遠.在應(yīng)試化教育思想的影響下，高中數(shù)學(xué)教師想要改進自己的教學(xué)方法存在一定的難度.但是教師應(yīng)該認識到核心素養(yǎng)的價值，通過培訓(xùn)、網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)等手段提升自身的專業(yè)素質(zhì)以及教學(xué)能力，探索培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的更優(yōu)方法，從而提高高中數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量.正所謂“路漫漫其修遠兮，吾將上下而求索”.盡管現(xiàn)階段高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)尚且存在著問題，但是我們要始終堅信，在教師、學(xué)校以及學(xué)生的共同努力下，高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)任務(wù)定然會取得較大的突破.