新高考數(shù)學(xué)開放性問題研究和教學(xué)對(duì)策

◎張耀雄 (佛山市順德區(qū)第一中學(xué),廣東 佛山 528300)

引 言

新課改背景下，傳統(tǒng)的教育教學(xué)方式正逐漸被創(chuàng)新性的方式取代，學(xué)生的學(xué)習(xí)方式也發(fā)生了改變.開放性教學(xué)作為一種新的教學(xué)模式，近幾年來成為教學(xué)中必不可少的一部分.試卷上的開放性試題也隨之增加，這對(duì)教學(xué)模式的創(chuàng)新應(yīng)用提出了更高的要求.因此,教師要根據(jù)新課標(biāo)教學(xué)要求、學(xué)生實(shí)際學(xué)情、高考考查方向,優(yōu)化教學(xué)策略.

一、新高考中開放性試題的特點(diǎn)

和傳統(tǒng)的條件完備、答案確定且唯一的數(shù)學(xué)題目不同，開放性試題并不是簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題，而是數(shù)學(xué)教育問題，在考查學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)掌握程度的同時(shí)，也在對(duì)學(xué)生進(jìn)行教育，從而使學(xué)生得到綜合性發(fā)展.從題目?jī)?nèi)容來看，其中大部分內(nèi)容源自實(shí)際生活，而且題型多樣，包含著豐富的數(shù)學(xué)思想；從結(jié)構(gòu)形式來看，開放性試題的組成要素具有不確定性、不完備性；從解題策略來看，開放性試題需要學(xué)生采用發(fā)散性、創(chuàng)新性等非常規(guī)的方式進(jìn)行思考；從問題答案來看，開放性試題的問題答案層次性較強(qiáng)，且問題形式具備可探索、可發(fā)展性，在解決問題的過程中，需要學(xué)生主動(dòng)參與其中.總的來說，新高考中的開放性試題內(nèi)容新穎，對(duì)學(xué)生的思維發(fā)散、思維創(chuàng)新能力有著較高的要求，并且需要學(xué)生主動(dòng)進(jìn)行思考、探索、發(fā)現(xiàn)，以此在解題的同時(shí)，強(qiáng)化學(xué)生的創(chuàng)新能力.

比如，在2019年高考數(shù)學(xué)北京卷中第17題就圍繞著移動(dòng)支付方式進(jìn)行了設(shè)計(jì).在給出了不同支付方式下，學(xué)生的支付金額后，在該題的第三問，設(shè)置了開放性問題：“已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化.現(xiàn)從樣本僅使用A的學(xué)生中，隨機(jī)抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元.根據(jù)抽查結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用A的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說明理由.”

試題分析：移動(dòng)支付是學(xué)生非常熟悉的內(nèi)容，該試題基于這一現(xiàn)實(shí)生活情境提出數(shù)學(xué)問題，主要考查了學(xué)生對(duì)離散型隨機(jī)變量分布列、數(shù)學(xué)期望等相關(guān)知識(shí)的應(yīng)用，同時(shí)考查了學(xué)生概率模型的應(yīng)用能力，讓學(xué)生能夠從統(tǒng)計(jì)規(guī)律中展開思考，對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行分析.總的來說，這道考題是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力及核心素養(yǎng)的考驗(yàn)，其中重點(diǎn)考查了建模能力、數(shù)據(jù)分析能力.開放性問題的設(shè)置，并不規(guī)定一種答案，只要理由充分均可得分.學(xué)生可以從不同的切入點(diǎn)闡述相應(yīng)的理由，思維的深度和廣度能夠進(jìn)一步擴(kuò)大.值得一提的是，這一問題也蘊(yùn)藏著一種方式，當(dāng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)思維思考這一問題時(shí)，金錢觀、消費(fèi)觀也會(huì)受到觸動(dòng)，有助于樹立正確的價(jià)值觀念.

二、新高考中開放性試題的難點(diǎn)

除了文中提及的題目，諸多高考開放性試題都為學(xué)生提供了一個(gè)展示的平臺(tái)，能夠讓學(xué)生充分發(fā)揮出自身的邏輯推理能力、空間想象能力.可以說，開放性試題從某種層面上讓高考的“選才”功能更加突出.開放性試題和傳統(tǒng)考查方式完全不同，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的主體性，讓學(xué)生自行探索解答路徑.

在解題的過程中，學(xué)生需要對(duì)自身的知識(shí)儲(chǔ)備進(jìn)行全面的檢索，發(fā)散自身思維、從綜合層面上解答問題，探究搜索不同的可能.但從目前來看，很多學(xué)生面對(duì)開放性試題時(shí)，沒有想法，不知道該從何處入手，無法將知識(shí)和問題聯(lián)系在一起，導(dǎo)致很多學(xué)生拿不到分?jǐn)?shù).比如2019全國(guó)Ⅰ卷第4題的“斷臂維納斯”的美,不是簡(jiǎn)單考知識(shí),雖然也可以用不等式解出范圍,但所需時(shí)間較長(zhǎng),若從對(duì)身高美的理解這一角度思考,則更容易得出切合實(shí)際的答案.

無法解答出開放性問題是因?yàn)榇蟛糠謱W(xué)生受到傳統(tǒng)教學(xué)模式的影響，依賴性強(qiáng)、思維固化、知識(shí)零散，沒有構(gòu)建并形成完善的數(shù)學(xué)邏輯結(jié)構(gòu).這就意味著，教師需要讓學(xué)生系統(tǒng)地掌握開放性試題的解題思路，能夠在面對(duì)此類試題時(shí)有的放矢，把握思考的關(guān)鍵.

從實(shí)際上看，新高考中開放性試題不僅答案不固定，問題也不固定，需要學(xué)生主動(dòng)思考、綜合運(yùn)用多種不同的解題方案，通過觀察、分析、歸納、推理，從多角度、多方位入手解決難題.解題的過程中，數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)都得到了鍛煉和培養(yǎng)，切實(shí)滿足了新課標(biāo)和新高考提出的“讓學(xué)生養(yǎng)成積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方式”“發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)”等要求.從新高考中開放性試題的題目特點(diǎn)、考查方向來看，在實(shí)際教學(xué)過程中，教師不僅要將正確的解題思路傳遞給學(xué)生，還要對(duì)日常的教學(xué)策略進(jìn)行優(yōu)化，以此使核心素養(yǎng)教學(xué)理念真正融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，確保學(xué)生能夠從容地面對(duì)開放性試題.

三、新高考中開放性試題的解題思路和教學(xué)策略

(一)解題思路

開放性試題需要學(xué)生具備創(chuàng)新性思維，因此教師在日常教學(xué)過程中，要讓學(xué)生養(yǎng)成舉一反三的解題習(xí)慣，強(qiáng)化求異思維.教師可以在不同的題目中引導(dǎo)學(xué)生用不同的方法，從不同的角度入手解決數(shù)學(xué)問題.學(xué)生要注重在日常做題中訓(xùn)練自身的創(chuàng)新性思維，從不同切入點(diǎn)解決問題，在面對(duì)開放性問題時(shí)，就能夠在最短時(shí)間內(nèi)發(fā)現(xiàn)其中的關(guān)鍵點(diǎn)，繼而逐步梳理知識(shí)線索，解決問題.

開放性試題需要學(xué)生具備自主探索能力，數(shù)學(xué)學(xué)科本身就較為特殊，需要學(xué)生真正地理解知識(shí)，才能夠在解題過程中應(yīng)用.在日常做題時(shí)，教師要給學(xué)生足夠的思考時(shí)間，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立自主地思考問題，從而對(duì)問題形成更深層次的理解，也可以讓學(xué)生在思考的過程中發(fā)現(xiàn)知識(shí)鏈上的缺失點(diǎn)，從而及時(shí)加以補(bǔ)充完善.只有在日常做題時(shí)養(yǎng)成良好的思考習(xí)慣，才能夠在面對(duì)開放性問題時(shí)有想法、有思路，不會(huì)出現(xiàn)一片空白的情況.教師必須認(rèn)識(shí)到過度的幫助會(huì)讓學(xué)生產(chǎn)生依賴性，久而久之，失去了自主思考的能力.

開放性試題類型較多，主要分為概念應(yīng)用、知識(shí)應(yīng)用、定理證明三大類，在不同的試題中需要學(xué)生采用的解題思路各不相同.以指數(shù)函數(shù)概念為例，教師可以結(jié)合數(shù)學(xué)史引導(dǎo)學(xué)生展開思考，切實(shí)提高學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).而在定理證明類試題中，教師可以讓學(xué)生自主推導(dǎo)定理，讓學(xué)生明確掌握定理被證明的過程和結(jié)論，這個(gè)過程中，教師還要鼓勵(lì)學(xué)生從不同角度入手，真正掌握這一結(jié)論內(nèi)容.知識(shí)應(yīng)用是開放性試題中最為常見的一種，教師在日常教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生借助生活中已有的經(jīng)驗(yàn)展開相應(yīng)的思考，以此也可以進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，在探究生活問題的同時(shí)，掌握知識(shí)，了解知識(shí)規(guī)律.比如，2019新高考北京卷第12題，要求學(xué)生根據(jù)線面基本關(guān)系判斷命題的真假，考查的是學(xué)生直觀想象能力和創(chuàng)新能力，本題需將基本的知識(shí)應(yīng)用在實(shí)際中，綜合多方面信息展開分析.考查層次豐富，形式新穎.2020新高考山東卷第12題，融入了新定義類判斷，通過創(chuàng)設(shè)新的定義，讓學(xué)生理解其中的關(guān)鍵性特征，這就需要學(xué)生具備信息提取、信息處理等能力，從而正確解答題目.

(二)教學(xué)策略

數(shù)學(xué)開放性試題之所以越來越受到重視，是因?yàn)樗蛡鹘y(tǒng)問題相比，滿足了新課標(biāo)中提出的核心素養(yǎng)的培養(yǎng)要求，對(duì)促進(jìn)學(xué)生綜合發(fā)展具有重要作用.另外，教師在指導(dǎo)學(xué)生解決開放性試題時(shí)，不能盲目地按照應(yīng)試思路，追求短期目標(biāo)，而是要從開放性試題入手打造出開放性課堂，真正提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力.

第一，教師要主動(dòng)設(shè)計(jì)開放性教學(xué)情境.在開放性的教學(xué)情境下，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題.例如，2020新高考山東卷第17題，需要學(xué)生從三個(gè)條件中任選其一，補(bǔ)充在題干里，然后對(duì)問題加以求解或證明.這一開放性分析考查的就是學(xué)生自主思考能力，只有真正掌握了解三角形的有關(guān)定理，才能快速選好解題策略，從而更快地完成這一道題的解答.因此教師在日常授課的過程中，可以給出一些條件不完備的題目,讓學(xué)生以小組為單位，選擇不同的條件展開思考，在不同的解題途徑下，找到相應(yīng)的答案.又或者可以給出多個(gè)條件，讓學(xué)生隨機(jī)選擇出其中的幾個(gè)條件，推理證明得到相應(yīng)的結(jié)論.通過平時(shí)的開放性教學(xué)情境可以更好地激發(fā)學(xué)生主動(dòng)展開思考，預(yù)測(cè)多種可能的解題路徑，并能從中優(yōu)選出最適合的路徑，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)形成更深刻的認(rèn)識(shí).

第二，教師要回歸教材本身，充分挖掘教材中的內(nèi)容.新高考中除了試題綜合性、開放性增強(qiáng)，還有另一個(gè)特點(diǎn)十分突出，就是很多試題來源于教材.在教學(xué)改革的同時(shí)，教材的版本也在不斷地革新，其中的內(nèi)容都是經(jīng)過了反復(fù)斟酌后使用的，很多環(huán)節(jié)之間都具有關(guān)聯(lián)性.教材中練習(xí)題和教學(xué)內(nèi)容之間的關(guān)聯(lián)性較強(qiáng)，而且教材中也包含了大量的開放性問題，充分借助教材展開教學(xué)活動(dòng)，更有助于鍛煉學(xué)生思維，從而使學(xué)生在遇到開放性問題時(shí)，能夠想到和問題有關(guān)的知識(shí)內(nèi)容.比如，2018年高考北京卷13題考查的就是函數(shù)單調(diào)性內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生開放性思考，對(duì)其中的批判性思維和創(chuàng)新意識(shí)進(jìn)行調(diào)動(dòng).這就需要學(xué)生真正理解教材中的函數(shù)模型，在教材中也出現(xiàn)了類似的函數(shù)證明，在日常教學(xué)中進(jìn)行鍛煉，能夠使學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)和創(chuàng)新能力得到鞏固和提高.

第三，教師要打造出生活化的教學(xué)情境.生活化、實(shí)際性是新高考數(shù)學(xué)的一大特點(diǎn)，也是開放性試題的特色，因此教師可以在教學(xué)過程中，借助生活中的真實(shí)情境展開教學(xué)，利用學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，聯(lián)系數(shù)學(xué)知識(shí)，解決實(shí)際問題，對(duì)學(xué)生解決開放性試題具有極大的促進(jìn)作用.比如，在課堂導(dǎo)入階段，教師可以結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，參考新高考中的開放性試題，給學(xué)生提供一定的社會(huì)數(shù)據(jù)材料，打造出開放性話題，引導(dǎo)學(xué)生以小組為單位展開討論.在這個(gè)過程中，學(xué)生的信息提取、分析、處理能力都會(huì)得到提高，再遇到開放性試題時(shí)也會(huì)更加從容.需要注意的是，在聯(lián)系社會(huì)熱點(diǎn)的同時(shí)，問題的設(shè)置要具備數(shù)學(xué)性，真正強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，切實(shí)提高學(xué)科精神和學(xué)科核心素養(yǎng).

除此之外，教師還要拉近師生關(guān)系，讓學(xué)生敢于表達(dá)、敢于質(zhì)疑，在不斷的辯論中形成完善的數(shù)學(xué)邏輯，能夠?qū)W會(huì)傾聽、交流、反思，理性地處理問題.

總結(jié)：數(shù)學(xué)在高考中是十分關(guān)鍵的一科，新課改、新高考背景下，學(xué)生需要面對(duì)全新的試題，傳統(tǒng)的教學(xué)模式、解題思路都需要進(jìn)行創(chuàng)新.開放性試題作為新高考中的創(chuàng)新性題目類型之一，很多學(xué)生對(duì)此都感到困惑，在解題時(shí)不知該如何處理.這就需要教師在日常教學(xué)中、在解題過程中，有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的能力，強(qiáng)化學(xué)生的發(fā)散性思維，提升學(xué)生的核心素養(yǎng).