雙勢作用下玻色-愛因斯坦凝聚孤子的操控

王 艷

(長治學院電子信息與物理系,山西 長治 046011)

0 引言

近年來,對于玻色-愛因斯坦凝聚體(BEC)研究的熱點之一就是量子操控,有關(guān)冷原子實驗技術(shù)的不斷提高實現(xiàn)了對各種不同形式的束縛外勢的調(diào)控[1,2],可通過調(diào)節(jié)BEC中原子間相互作用或外部囚禁勢阱來調(diào)控BEC的性質(zhì)[3-6],比如:可以通過控制原子間相互作用的強弱,實現(xiàn)對BEC雙孤子相互作用的操控[7]、通過調(diào)節(jié)周期性勢阱的驅(qū)動頻率和強度來控制孤子的位置[8]。另外還有利用超輻射散射實現(xiàn)對BEC動量的操控[9],以及通過調(diào)節(jié)原子有效質(zhì)量,可以在不改變雙阱勢的前提下操控凝聚體[10]。

本文考慮通過控制外勢場實現(xiàn)對BEC孤子的操控,關(guān)注的外勢是雙勢,對雙勢參數(shù)的調(diào)節(jié)可實現(xiàn)對其強度、寬度和位置等的改變。數(shù)值模擬研究發(fā)現(xiàn),BEC孤子在不同參數(shù)的雙勢中表現(xiàn)出不同的演化行為,因此可以通過控制雙勢實現(xiàn)對BEC孤子的操控。

1 理論基礎(chǔ)

當凝聚體的橫向尺寸與其修復長度具有相同數(shù)量級且比縱向長度小得多時,吸引的凝聚體孤子沿縱向的動力學可用一維的非線性薛定諤方程描述為

式中:ψ(t,x)是凝聚體波函數(shù),V(x)是外勢,這里考慮的是兩個高斯勢組成的雙勢,可以由兩束激光形成,具體形式為

式中:p是外勢的強度,參數(shù)a和b分別表示單個高斯勢的寬度和位置。當參數(shù)ε1=ε2=1時,外勢是雙勢壘;當ε1=ε2=-1時,外勢是雙勢阱;當ε1=ε2=±1時,外勢是混合勢。在方程(1)和(2)中引入了無量綱變量而是橫向諧振子長度,m是原子質(zhì)量,ω⊥是橫向諧振動角頻率,as是s波散射長度[11]。此處所考慮的是一個在諧振子磁勢阱中制備后被裝入激光場中的BEC,磁囚禁勢要遠小于光學勢,因此外勢只保留了起主導作用的光學勢。

2 數(shù)值模擬

2.1 單孤子在雙勢中的演化

考慮選取孤子形式為ψ(0,x)=ηsech[η(x-x0)]exp[iξ(x-x0)],其中η、x0、ξ分別表示孤子的振幅、中心位置和中心頻率。選定孤子的參數(shù)η=1、x0=0、ξ=0.1,研究單孤子在雙勢中的演化行為。

當孤子處于雙勢阱中時有比較復雜的演化行為,其演化與雙勢阱的各參數(shù)密切相關(guān),選取雙勢阱中單個勢阱寬度的參數(shù)a=1,勢阱強度參數(shù)p取不同的值時孤子的演化情況如圖1～5所示,當p=0.1時,孤子能越過勢阱,發(fā)生遂穿現(xiàn)象,結(jié)果顯示在圖1中;當p=0.2時,孤子會被單個勢阱俘獲,在被俘獲的勢阱內(nèi)其振幅會有波動,使得孤子的演化過程呈現(xiàn)了很強的呼吸行為,孤子中心位置有小幅度波動,結(jié)果顯示在圖2中,可以通過改變勢阱的位置參數(shù)b來控制孤子的位置;當p=1.5時,孤子在兩勢阱之間擺動,結(jié)果顯示在圖3中;當p=1.7時,孤子又越過了勢阱,發(fā)生遂穿現(xiàn)象,與p=0.1時不同的是勢阱最深的區(qū)域是孤子的禁區(qū),孤子在穿越勢阱時是一種“幽靈式”的遂穿,結(jié)果顯示在圖4中;當p=2.5時,孤子又能被勢阱俘獲,與p=0.2時不同的是勢阱最深處是孤子的禁區(qū),BEC孤子被分裂成兩組分,而且孤子的演化過程呈現(xiàn)了一定的呼吸行為,結(jié)果顯示在圖5中。外勢參數(shù)a既表示高斯勢的寬度也表示勢阱壁的陡峭程度,當a越大時勢阱壁越平緩,孤子越容易越過勢阱,發(fā)生遂穿現(xiàn)象;當a越小時勢阱越窄,孤子也越容易越過勢阱,發(fā)生遂穿現(xiàn)象,如圖6所示。

圖1 雙勢中BEC孤子的演化,其中參數(shù)為:η=1,x0=0,ξ=0.1,p=0.1,ε1= ε2=-1,a=1,b=6Fig.1 Evolution of the BEC soliton in double potentials,here the parameters are as follows:η =1,x0=0,ξ=0.1,p=0.1,ε1= ε2=-1,a=1,b=6

圖2 雙勢中BEC孤子的演化,其中參數(shù)為:η=1,x0=0,ξ=0.1,p=0.2,ε1=ε2=-1,a=1,b=6。(a)等高線圖;(b)三維曲面圖Fig.2 Evolution of the BEC soliton in double potentials,here the parameters are as follows:η=1,x0=0,ξ=0.1,p=0.2,ε1= ε2=-1,a=1,b=6.(a)Contour plot;(b)3D surface

圖3 雙勢中BEC孤子的演化,其中參數(shù)為:η=1,x0=0,ξ=0.1,p=1.5,ε1=ε2=-1,a=1,b=6Fig.3 Evolution of the BEC soliton in double potentials,here the parameters are as follows:η=1,x0=0,ξ=0.1,p=1.5,ε1= ε2=-1,a=1,b=6

圖4 雙勢中BEC孤子的演化,其中參數(shù)為:η=1,x0=0,ξ=0.1,p=1.7,ε1=ε2=-1,a=1,b=6Fig.4 Evolution of the BEC soliton in double potentials,here the parameters are as follows:η=1,x0=0,ξ=0.1,p=1.7,ε1= ε2=-1,a=1,b=6

圖5 雙勢中BEC孤子的演化,其中參數(shù)為:η=1,x0=0,ξ=0.1,p=2.5,ε1=ε2=-1,a=1,b=6。(a)等高線圖;(b)三維曲面圖Fig.5 Evolution of the BEC soliton in double potentials,here the parameters are as follows:η=1,x0=0,ξ=0.1,p=2.5,ε1= ε2=-1,a=1,b=6.(a)Contour plot;(b)3D surface

圖6 雙勢中BEC孤子的演化,其中參數(shù)為:η=1,x0=0,ξ=0.1,p=0.2,ε1=ε2=-1。(a)a=0.05,b=20;(b)a=20,b=6Fig.6 Evolution of the BEC soliton in double potentials,here the parameters are as follows:η=1,x0=0,ξ=0.1,p=0.2,ε1= ε2=-1.(a)a=0.05,b=20;(b)a=20,b=6

考慮外勢強度參數(shù)p=0.2,當孤子處于雙勢壘中時,演化結(jié)果如圖7所示,孤子在雙勢壘之間擺動,從圖7與圖2和圖6的比較可知,與在雙勢阱中相比孤子更難穿越勢壘,當然如果雙勢壘的強度參數(shù)p比較小或者孤子的中心頻率參數(shù)ξ較大,孤子也能穿越勢壘,發(fā)生遂穿現(xiàn)象;在勢阱和勢壘組成的混合勢中,選擇合適的外勢寬度參數(shù)a=1,不論孤子參數(shù)ξ=0.1或ξ=-0.1,孤子都能被勢阱俘獲,結(jié)果如圖8所示,這樣更方便操控孤子的位置。

圖7 雙勢中BEC孤子的演化,其中參數(shù)為:η=1,x0=0,ξ=0.1,p=0.2,ε1=ε2=1。(a)a=0.05,b=20;(b)a=1,b=6;(c)a=20,b=6Fig.7 Evolution of the BEC soliton in double potentials,here the parameters are as follows:η=1,x0=0,ξ=0.1,p=0.2,ε1= ε2=1.(a)a=0.05,b=20;(b)a=1,b=6;(c)a=20,b=6

圖8 雙勢中BEC孤子的演化,其中參數(shù)為:η=1,x0=0,p=0.2,a=1。(a)ξ=0.1,b=6,ε1=-ε2=-1;(b)ξ=-0.1,b=6,ε1=-ε2=1Fig.8 Evolution of the BEC soliton in double potentials,here the parameters are as follows:η=1,x0=0,p=0.2,a=1.(a)ξ=0.1,b=6,ε1=-ε2=-1;(b)ξ=-0.1,b=6,ε1=-ε2=1

2.2 雙孤子在雙勢中的演化

考慮兩個等振幅且中心頻率為0的孤子形式ψ(0,x)=sech(x-x0)+sech(x+x0),其中2x0為孤子的初始間距。當雙孤子的初始間距2x0=20時,考慮外勢參數(shù)p=0.2、a=1的情況,在雙勢阱中的演化如圖9所示,兩孤子可能會被兩個勢阱各自俘獲;在雙勢壘中的演化如圖10所示,若兩孤子在雙勢壘的外側(cè),就會相互遠離,若兩孤子在雙勢壘的內(nèi)側(cè),就會發(fā)生相互作用。總之,勢阱吸引孤子,勢壘排斥孤子。

圖9 雙勢中兩個BEC孤子的演化,其中參數(shù)為:p=0.2,ε1=ε2=-1,x0=10,a=1。(a)b=6;(b)b=14Fig.9 Evolution of two BEC solitons in double potentials,here the parameters are as follows:p=0.2,ε1= ε2=-1,x0=10,a=1.(a)b=6;(b)b=14

圖10 雙勢中兩個BEC孤子的演化,其中參數(shù)為:p=0.2,ε1=ε2=1,x0=10,a=1。(a)b=6;(b)b=14Fig.10 Evolution of two BEC solitons in double potentials,here the parameters are as follows:p=0.2,ε1= ε2=1,x0=10,a=1.(a)b=6;(b)b=14

3 結(jié)論

操控和管理勢場中的BECs是BEC動力學中的重要問題,討論了在雙勢作用下BEC孤子的動力學演化。孤子在雙勢阱的作用下表現(xiàn)出比較復雜的演化行為,有擺動、遂穿、被勢阱俘獲;可以利用BEC孤子在勢阱和勢壘中不同的演化行為,設(shè)計出混合勢來操控BEC孤子,可準確控制其位置,為與BEC孤子操控相關(guān)的宏觀量子現(xiàn)象的應用提供依據(jù)。