從Jaynes-Cummings模型到Rabi模型穩(wěn)態(tài)糾纏的絕熱制備

呂東燕,鄧瑞浩,周原

(湖北汽車工業(yè)學(xué)院理學(xué)院,湖北 十堰 442002)

0 引言

自從1935年薛定諤貓態(tài)這一奇妙的物理概念-量子糾纏問世以來,作為量子信息處理的最基本資源,量子糾纏一直牽動著當今量子信息科技發(fā)展的最前沿[1]。一直以來,基于不同的體系和方案來制備高品質(zhì)的量子糾纏態(tài)都是量子光學(xué)和量子信息領(lǐng)域最重要的研究課題之一[2,3]?？v觀量子糾纏的研究和發(fā)展歷程,已經(jīng)涌現(xiàn)諸多杰出的研究成果[4-6]。2000年,Zheng和Guo[7]提出了利用腔QED方案來制備雙原子糾纏的理論方案,該理論方案是基于腔QED動力學(xué)過程制備量子糾纏的代表性方案,對后續(xù)基于腔QED類體系執(zhí)行量子信息處理具有基礎(chǔ)指導(dǎo)意義。近年來,超導(dǎo)技術(shù)的蓬勃發(fā)展極大地加快了超導(dǎo)類量子糾纏發(fā)展的步伐,2017年潘建偉團隊和2019年朱詩堯團隊利用超導(dǎo)量子電路分別實現(xiàn)了10 bits和20 bits糾纏態(tài)的制備和操控[8,9]。雖然利用不同體系來制備糾纏態(tài)的方案多種多樣,但是在實際的物理體系中制備更高品質(zhì)的糾纏仍然存在很大的研究空間?；诂F(xiàn)有的研究基礎(chǔ)提出一些制備糾纏的新的理論方案是一個有趣的問題[10-17]。

本文提出了一種利用基態(tài)絕熱轉(zhuǎn)化來制備穩(wěn)態(tài)糾纏的新的理論方案。首先,基于Rabi模型和Jaynes-Cummings(JC)模型的基本物理性質(zhì),從旋轉(zhuǎn)波近似、本征能量和動力學(xué)演化規(guī)律這三個方面來比較和闡述這兩者之間的異同[10];其次,借鑒參量放大法增強耦合這一物理思想,通過引入二階非線性驅(qū)動,在新的壓縮表象下,不僅可以增強原子與光子之間的相干耦合強度,還可以將原有的JC模型轉(zhuǎn)變?yōu)橛行У腞abi模型;最后,利用本方案構(gòu)建一個從JC模型到Rabi模型的高效的量子絕熱通道,通過該通道可以將初始的原子-光子的非糾纏基態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榉€(wěn)定的薛定諤貓態(tài)。不僅如此,如果對演化末態(tài)的原子進行選擇性測量,還可以將光子制備成穩(wěn)態(tài)的奇(偶)相干態(tài)。由于其基態(tài)絕熱性,這一方案將具有更好的抗噪性和可操作性。

1 JC模型和Rabi模型的對比研究

1.1 旋轉(zhuǎn)波近似

考慮一個由二能級原子或者人工原子構(gòu)建的單個量子比特,其上下能級的量子態(tài)定義為基態(tài)|g〉和激發(fā)態(tài)|e〉,能級間隔為ω1。假設(shè)單模電磁模式ω2與這個二能級體系發(fā)生共振耦合,則系統(tǒng)所滿足的哈密頓量可以表示為(取普朗克常量?=1)

在相互作用繪景下,(1)式和(2)式分別可以表示為

在共振或者近共振且滿足弱耦合的前提條件下(|ω1-ω2|＜g且|ω1+ω2|?g)兩個模型是等價的,且Rabi模型滿足旋波近似,退化為更簡潔的JC模型。令Δ=ω1-ω2,可得

相反,如果耦合強度滿足的是強耦合甚至是超強耦合,即g≈ω1,2或g＞ω1,2,在Rabi模型中的反旋波項不能被忽略,因此

1.2 本征能量比較

從本征能譜的角度也可以比較這兩個模型。電磁模式的空間截斷且假設(shè)電磁場模式的本征矢量被限定在子空間{|n-1〉,|n〉},二能級原子的量子態(tài)基矢空間為{|g〉,|e〉}。根據(jù)(1)式,對角化哈密頓量HRabi,得到其本征能量為

在相同的基矢空間下對角化HJC,也可以得到其本征能量為

不失一般性,假設(shè)Δ=ω1-ω2=0,g/ω1=k,n=10,兩種模型的本征能量曲線如圖1所示。從圖1可以看出,在弱耦合條件下,特別是在耦合強度滿足k＜0.2時,如圖(b),即圖(a)中虛線圓框所標注的區(qū)域,Rabi模型和JC模型的本征能量是完全重合的,即在該區(qū)域范圍JC模型與Rabi模型是完全等價的;隨著耦合強度的繼續(xù)增加,Rabi模型的本征能量曲線與對應(yīng)的開始出現(xiàn)分離,且隨著耦合強度的增加其偏差越來越大,但是與的本征能量曲線始終是重合的,這與(7)和(8)式所計算的結(jié)果一致;隨著耦合強度進一步增強到強耦合甚至超強耦合區(qū)域時,如圖(a)所示,當k≥5時,Rabi模型開始出現(xiàn)雙重簡并現(xiàn)象,即而且始終與這兩條簡并曲線重合。

圖1 Rabi模型和JC模型本征能量曲線比較圖。耦合強度變化范圍是(a)g/ω1∈[0,10],(b)g/ω1∈[0,1]時的本征能量曲線Fig.1 Comparisons of the Eigen energies between the Rabi model and JC model.Curves for the Eigen energies varying with the coupling strength(a)g/ω1∈ [0,10]and(b)g/ω1∈ [0,1]

1.3 動力學(xué)比較

考慮到實際腔量子電動力學(xué)(C-QED)理論,綜合考慮系統(tǒng)的實際耗散、退相干等不利因素,不管是Rabi模型還是JC模型,都可以用量子主方程來刻畫這兩個不同的動力學(xué)過程,即

系統(tǒng)的初態(tài)設(shè)為|ψ(0)〉=|0〉|e〉,即原子處于激發(fā)態(tài)且電磁模式處于真空態(tài),考慮到實際耦合強度的增強過程,兩種不同模型的動力學(xué)平均值和的演化圖樣如圖2所示,橫坐標對應(yīng)的是時間自由度的演化坐標,縱坐標對應(yīng)的則是耦合強度這個自由度的變化規(guī)律。在弱耦合區(qū)域,即k＜1區(qū)間,Rabi模型和JC模型的動力學(xué)演化規(guī)律具有一致性,這充分說明了旋波近似的有效性;但是隨著耦合強度的進一步增強,Rabi模型的動力學(xué)演化明顯區(qū)別于JC模型,即Rabi模型的演化過程中,會出現(xiàn)多光子躍遷的現(xiàn)象,然而JC模型的演化則滿足單光子共振躍遷。

圖2 JC模型和Rabi模型的動力學(xué)比較圖。(a)平均光子數(shù)和(c)自旋z方向的平均值在JC模型下的動力學(xué)演化規(guī)律;(b)平均光子數(shù)和(d)自旋z方向的平均值在Rabi模型下的動力學(xué)演化規(guī)律Fig.2 Dynamical comparison between the JC model and Rabi model.(a)and(c)represent the JC type dynamical averages of photon number and spin in z direction respectively,(b)and(d)the corresponding average values in Rabi model,respectively

2 絕熱制備薛定諤貓態(tài)

最近的研究發(fā)現(xiàn):通過利用參量放大的物理方法,不僅可以在壓縮表象下實現(xiàn)耦合強度指數(shù)倍的增強,還可以實現(xiàn)系統(tǒng)的哈密頓量從最初的弱耦合JC模型轉(zhuǎn)變?yōu)閺婑詈系腞abi模型,即

式中:δ1和δ2為失諧量為Rabi模型的耦合強度。在δ1=0且≥δ2的條件下,考慮(10)式的對稱性,原子和電磁模式可以被制備成σ?x表象下的糾纏基態(tài)。而對于原來無參量放大的JC模型,根據(jù)量子基態(tài)的定義式可得即非糾纏基態(tài)。利用這種參量放大的方法,如果可以實現(xiàn)緩慢地改變壓縮參數(shù)r,在系統(tǒng)從JC模型到Rabi模型的轉(zhuǎn)變過程中,由于保持其演化過程的絕熱性,系統(tǒng)將會一直停留在其對應(yīng)的基態(tài),因此就可以實現(xiàn)糾纏基態(tài)的絕熱制備?？紤]單個原子與電磁模式的相互作用的哈密頓量為

式中:χ(t)是二階非線性驅(qū)動項的振幅,而且該振幅是一個含時的緩變參量,ωp則是二階非線性驅(qū)動的驅(qū)動頻率,為了簡化解析過程,假定ω1=ωp。相較于原來的JC模型,在原JC模型的基礎(chǔ)上引入了一個額外的二階非線性相互作用,即(11)式的最后一項。定義自由哈密頓量在這個新的旋轉(zhuǎn)坐標系表象中,引入幺正變換來對角化電磁模式,壓縮參數(shù)r滿足:tanhr= χ/(ω2-ωp)= χ/δ2,且 χ ＜ δ2。在新的壓縮表象下可以得到有效的Rabi模型,即

式中:|β〉屬于壓縮表象下電磁模式的相干態(tài);|±〉x則代表x表象下的激發(fā)態(tài)和基態(tài),且滿足表象變化關(guān)系式 |±〉x=(|e〉± |g〉)/。設(shè)定相關(guān)參數(shù)為可通過求解主方程來驗證方案的可行性。

另外,在對角化哈密頓量(11)的過程中,實際上得到的總哈密頓量為

圖3 絕熱制備薛定諤貓態(tài)的動力學(xué)演化曲線。在壓縮坐標系下,(a)目標態(tài)的保真度在總的哈密頓量和有效的Rabi哈密頓量(t)分別作用下的動力學(xué)演化對比曲線;(b)有效耦合強度geff(t)和自由哈密頓量的系數(shù)Δm(t)隨時間的演化規(guī)律Fig.3Dynamical evolution curves for adiabatic preparation of Schrdinger cat state.(a)Comparison of dynamical fidelity for the target state governed by the total Hamiltonianand the effective Rabi Hamiltonian(t);(b)Dynamical curves for the effective coupling geff(t)and the free-Hamiltonian coefficient Δm(t)

3 方案的可行性分析

所提出方案具有較為普遍的適用性,如利用光學(xué)諧振腔與原子(或人工原子)之間的電偶極相互作用系統(tǒng)、量子超導(dǎo)電路系統(tǒng)、固態(tài)電子自旋等都可以實現(xiàn)。由于近年來超導(dǎo)技術(shù)的發(fā)展日新月異,以超導(dǎo)量子電路作為執(zhí)行該方案的基本平臺[19]。以超導(dǎo)量子比特耦合傳輸線微波諧振腔為例,可通過電容調(diào)節(jié)等方法,在微波諧振腔的電磁本征模式中引入二階非線性驅(qū)動,從而實現(xiàn)壓縮參量放大[20]。考慮本方案的具體實施并結(jié)合當今實驗相關(guān)進展情況,將本方案所對應(yīng)的相關(guān)實驗參數(shù)設(shè)定為如表1所示。考慮到單個超導(dǎo)比特的相干時間可以達到毫秒量級[19,20],對于絕熱的緩慢演化過程,考慮到其演化時間周期為τ≈5/g≈16 ns,故本絕熱方案的相干時間足夠。

表1 相關(guān)參數(shù)的設(shè)定[19]Table 1 List of the relevant parameters in this scheme[19]

4 結(jié)論

從旋轉(zhuǎn)波近似、本征能量和動力學(xué)演化這三個方面比較研究了量子Rabi模型和JC模型的異同,發(fā)現(xiàn)在弱耦合條件下,Rabi模型完全等價于JC模型;隨著耦合強度增加,Rabi模型與JC模型之間存在顯著的差異?；贘C模型和Rabi模型的量子基態(tài),利用電磁參量放大使原有的JC弱耦合模型轉(zhuǎn)變?yōu)橹笖?shù)倍增強的Rabi強耦合模型,在這個轉(zhuǎn)變過程中找到了一條特殊的基態(tài)絕熱通道。利用該絕熱通道實現(xiàn)了高保真度的薛定諤貓態(tài)的穩(wěn)態(tài)制備。另外,還可以利用制備成功的薛定諤貓態(tài)來進一步產(chǎn)生奇(偶)相干態(tài),如果對該貓態(tài)在表象下進行選擇性測量,若測量結(jié)果為|g〉態(tài)(或|e〉態(tài)),則會得到相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)的奇(偶)相干態(tài)。由于該制備方案是基態(tài)制備且滿足量子絕熱性,該研究在量子態(tài)操控和制備、量子糾纏等領(lǐng)域具有一定的研究意義和應(yīng)用價值。