線性寬象限相依*下折現(xiàn)累積理賠尾概率的一致漸近估計(jì)

錢 歡，彭 千

（1.安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽合肥230601；2.安徽農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院，安徽合肥230036）

在保險(xiǎn)和金融領(lǐng)域，對(duì)折現(xiàn)累積理賠過程的研究具有重要意義，其尾概率估計(jì)可直接用于計(jì)算公司的破產(chǎn)概率。假定理賠額{Xi,i≥1}和理賠時(shí)間間隔{θi,i≥1}均為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，在不同條件下，文獻(xiàn)[1-2]得到了折現(xiàn)累積理賠或保險(xiǎn)公司破產(chǎn)概率的一致漸近估計(jì)。隨后，假定{Xi,i≥1}滿足某種相依結(jié)構(gòu)，或{Xi,i≥1}與{θi,i≥1}之間滿足某種相依結(jié)構(gòu)，文獻(xiàn)[3-4]研究了公司有限時(shí)間破產(chǎn)概率的一致漸近估計(jì)。本文旨在研究{Xi,i≥1}滿足線性寬象限相依*（LWQD*）時(shí)，公司折現(xiàn)累積理賠尾概率的一致漸近估計(jì)。

1 預(yù)備知識(shí)

考慮一個(gè)更新風(fēng)險(xiǎn)模型，理賠額{Xi,i≥1}與理賠時(shí)間間隔{θi,i≥1}均為隨機(jī)變量序列。定義理賠到達(dá)時(shí)間,n≥1，約定幾乎處處有0=τ0＜τ1＜τ2＜…，則到t時(shí)刻為止，理賠次數(shù)的更新計(jì)數(shù)，t≥0。當(dāng)0＜t＜∞時(shí)，過程為Nt=sup{n≥1,τn≤t},t≥0，其均值函數(shù)為E(Nt)＜∞；當(dāng)t=0時(shí)，E(N0)=0。通過上述均值函數(shù)來定義Λ={t＞0,E(Nt)＞0}={t＞0,P(τ1≤t)＞0}。令常數(shù)利息率r≥0，則到t時(shí)刻為止的折現(xiàn)累積理賠過程為

約定當(dāng)Nt=0時(shí)，上述求和的值恒為0。

定義1[5]設(shè){Xn,n≥1}為一列隨機(jī)變量，若存在一列正常數(shù)序列{gn,n≥1}，使得對(duì)所有的n≥2，x,y∈(-∞,∞)，以及任意正常數(shù)序列{an,n≥1}，有

則稱{Xn,n≥1}滿足線性寬象限相依*，其中{gn,n≥1}稱為控制系數(shù)。

不妨設(shè)對(duì)任意的n≥1，有g(shù)n≥1；若不然，則存在一列大于1的常數(shù)序列使上式仍然成立[5]。假定理賠額{Xi,i≥1}為一列LWQD*非負(fù)同分布隨機(jī)變量，且理賠額的分布屬于強(qiáng)次指數(shù)族，通過構(gòu)造LWQD*隨機(jī)變量加權(quán)和Kesten型不等式，證明折現(xiàn)累積理賠尾概率的一致漸近估計(jì)式，擴(kuò)展了文獻(xiàn)[6]的結(jié)果。

定義2[7]設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，函數(shù)F(x)=P(X≤x),-∞＜x＜∞稱為X的分布函數(shù)，記其尾分布為Fˉ(x)=1-F(x)。對(duì)于任意的分布函數(shù)，本文所有的極限關(guān)系均指x→∞。對(duì)于兩個(gè)正值函數(shù)f(·)和g(·)，有

當(dāng)a=b=1時(shí)，記作f(x)～g(x)；當(dāng)b=0時(shí)，記 作f(x)=o(g(x))；當(dāng)0＜a≤b＜∞時(shí)，記 作；當(dāng)b≤1時(shí)，記作f(x)?g(x)；當(dāng)a≥1時(shí)，記作f(x)?g(x)。對(duì)于兩個(gè)實(shí)數(shù)m和n，記m∨n=max{m,n}。另外，IA表示事件A的示性函數(shù)。

定義3[8]如果非負(fù)隨機(jī)變量X具有有限均值，且滿足，則稱非負(fù)隨機(jī)變量X（或其分布函數(shù)F）屬于強(qiáng)次指數(shù)族（S*族），記作X∈S*（或F∈S*）。

定義4[8]如果對(duì)于y∈(-∞,∞)，有，則稱實(shí)值隨機(jī)變量X（或其分布函數(shù)F）屬于長(zhǎng)尾族（?族），記作X∈?（或F∈?）。

注1由文獻(xiàn)[8]可知，長(zhǎng)尾分布族具有如下基本性質(zhì)：

若F∈?，則?(F)={h取值于[0,∞):h(x)↑∞,↓0,且。易證，對(duì)于任意的h(x)∈?(F)和任意固定的K＞0，有。

引理1[9]若F∈?，a、b為任意固定常數(shù)且0＜a≤b＜∞，則對(duì)任意的h(x)∈?(F)，對(duì)c∈[a,b]一致地有。

引理2[6]若F∈S*，a、b為任意固定常數(shù)，且0＜a≤b＜∞，則對(duì)任意的h(x)∈?(F)，ε＞0，以及充分大的x，對(duì)c∈[a,b]一致地有

引理3[6]如果{Xi,i≥1}為一列LWQD*非負(fù)隨機(jī)變量，共同分布F∈S*，a、b為任意固定常數(shù)且0＜a≤b＜∞，則對(duì)n≥1，i≥1以及充分大的x，對(duì)ci∈[a,b]一致地有

引理4若{Xi,i≥1}為一列LWQD*非負(fù)隨機(jī)變量，共同分布F∈S*，控制系數(shù)為{gi,i≥1}，令a、b為任意固定常數(shù)，且0＜a≤b＜∞，則對(duì)任意的ε＞0，存在一個(gè)僅依賴于ε、F、a、b，而與n無關(guān)的非負(fù)常數(shù)K，使得對(duì)所有的x≥0和n≥1，對(duì)(c1,c2,c3,…,cn)∈[a,b]n一致地有

證明為了方便，定義。當(dāng)x為整數(shù)時(shí)，利用數(shù)學(xué)歸納法可證明式（2）。當(dāng)n=1時(shí)，式（2）顯然成立。假設(shè)式（2）對(duì)n成立，下面證明對(duì)n+1也成立。記

由于F∈S*??，由注1可知，存在h(x)∈?(F)，于是

由引理1可知，存在充分大的A＞0，使得當(dāng)x＞A時(shí)，對(duì)-cn∈[a,b]n一致地有

同理，

由于[h(x)]≤h(x)，故，因此只需考慮h(x)取整數(shù)值情形即可。由LWQD*和αn的定義可知

故由F∈S*??以及引理2可知，對(duì)上述充分大的A＞0，當(dāng)x＞A時(shí)，對(duì)一致地有

將式（4）～（6）代入式（3），得當(dāng)x＞A時(shí)，對(duì)一致地有

另一方面，當(dāng)0≤x≤A時(shí)，對(duì)一致地有

由歸納假設(shè)，存在一僅依賴于ε、F、a、b，而與n無關(guān)的非負(fù)常數(shù)，使。結(jié)合式（7）和（8）有

其中，K=∨(3/ε)(1+ε/3+M)。由式（9）和gn≥1得，故式（2）對(duì)n+1成立。

當(dāng)x為非負(fù)整數(shù)時(shí)，記[x]為x取整數(shù)。由非增，x-1≤[x]≤x以及F∈S*??可知，

最后一步只對(duì)x充分大時(shí)成立。若x非充分大，則類似于式（8）中方法可證明結(jié)論成立。

2 主要定理及其證明

定理對(duì)于上述非標(biāo)準(zhǔn)更新風(fēng)險(xiǎn)模型，考慮折現(xiàn)累積理賠過程（1），若F∈S*，且存在ε＞0，有

則對(duì)任意的t∈Λ一致地有

證明為了方便，定義，對(duì)任意正整數(shù)N，有

對(duì)于J1(x,t,N)，以τ1,τ2,τ3,…,τn+1作為條件事件，由X1,X2,X3,…,Xn+1與τ1,τ2,τ3,…,τn+1相互獨(dú)立以及引理3可知，

對(duì)J11(x,t)交換求和順序，并由知，對(duì)任意的t∈Λ一致地有

由于幾乎處處有0＜τ1＜τ2＜…，所以對(duì)任意的t∈Λ一致地有

故由E(Nt)＜∞可知，當(dāng)N充分大時(shí)，對(duì)任意的t∈Λ一致地有

將式（14）（15）代入式（13），由δ的任意性，即得對(duì)任意的t∈Λ一致地有

對(duì)于J2(x,t,N)，以τ1,τ2,τ3,…,τn+1作為條件事件，由X1,X2,X3,…,Xn+1與τ1,τ2,τ3,…,τn+1相互獨(dú)立以及引理4知，對(duì)任意的t∈Λ一致地有

將式（16）（17）代入式（12），由δ的任意性，即得式（11）。

注2若對(duì)于控制系數(shù){gi,i≥1}存在充分大的常數(shù)C，使得||gi≤C,i≥1，則條件（10）自然成立[10]。

3 結(jié)論

本文主要研究了保險(xiǎn)公司的理賠額在滿足線性寬象限相依*的情況下，折現(xiàn)累積理賠尾概率的一致漸近估計(jì)。研究改善了理賠額獨(dú)立同分布這種過于理想化的情況，并且這類相依結(jié)構(gòu)是比較寬泛的，在該相依結(jié)構(gòu)下，構(gòu)造了隨機(jī)加權(quán)和Kesten型不等式解決了相關(guān)問題，為類似課題的研究提供了思路。不足之處是沒有考慮理賠額和理賠時(shí)間間隔之間存在相依結(jié)構(gòu)，理賠額服從的分布沒有推廣到更大的分布族，今后需繼續(xù)深入研究。