淺說(shuō)“教學(xué)與思維”

向書(shū)翠

中圖分類(lèi)號(hào)：G4 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

數(shù)學(xué)從它誕生那天起，就與思維結(jié)下了不解之緣。創(chuàng)造數(shù)學(xué)，構(gòu)造數(shù)學(xué)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，研究數(shù)學(xué)，都是思維的過(guò)程， 而且是較為純凈的思維過(guò)程。很顯然 數(shù)學(xué)與思維有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，本文的目的 就是想從歷史的角度，以數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、研究解決問(wèn)題的結(jié)果來(lái)闡明“二者”的關(guān)系

一、數(shù)學(xué)與邏輯思維

邏輯思維，又稱抽象思維，它是舍棄認(rèn)識(shí)對(duì)象及具體形象，通過(guò)語(yǔ)言表達(dá)反映客觀事物本質(zhì)和內(nèi)部規(guī)律性的思維。它是人們?cè)谡J(rèn)識(shí)過(guò)程中借助概念、判斷、推理等思維反映現(xiàn)實(shí)的過(guò)程，具有抽象概括、間接反映、借助語(yǔ)言等特征。在數(shù)學(xué)活動(dòng)的過(guò)程中，邏輯思維常常成為其主線。下面我們以歐幾里得《原本》誕生前后的思維進(jìn)程，來(lái)展示數(shù)學(xué)與邏輯思維的關(guān)系。

1、歷史演變告知的結(jié)論

希波克拉底（Hippocrates of Chios） 的《原本》是公元前450 年左右的作品，而且，在這前后，還有其他《原本》問(wèn)世。亞里士多德的邏輯學(xué)是公元前350年左右的作品。歐幾里得的 《原本》則產(chǎn)生于公元前300 年左右，這說(shuō)明了亞里斯多德的邏輯學(xué)是楊棄在它之前的幾何學(xué)中的幾何兒術(shù)語(yǔ)，通過(guò)邏輯思維而產(chǎn)生的。歐幾里得的《原本》則是自覺(jué)地運(yùn)用邏輯學(xué)處理幾何概念的結(jié)果。

2.歐幾里得《原本》體系的邏輯思維歐

歐幾里得《原本》第1卷列了23條定義;5條公設(shè)：5 條公理;接著便是48個(gè)命題，往后的第11卷至（）卷有108條定義和417個(gè)命題，形成了龐大的《原本》體系?！对尽分须m然歐幾里得發(fā)明了一些命題和證明，但這部著作的主要功績(jī)還在與對(duì)命題的巧妙選擇和把它們排列成一個(gè)合乎邏輯的序列。當(dāng)然，歐幾里得《原本》在邏輯結(jié)構(gòu)上也存在許多缺陷。一是《原本》論述中作了許多默認(rèn)的假定，這些假定是他的公設(shè)所不承認(rèn)的。二是存在這些邏輯缺陷中，也許是嚴(yán)重的。比如順著缺陷的思路走下去，會(huì)導(dǎo)致與該體系的某個(gè)證明了的命題相矛盾的命題。例如：“證明任何三角形是等腰的”、“證明直角等于鈍角，證明從一點(diǎn)到一線有兩條垂線”?！斑@幾何學(xué)上的三個(gè)恃論。

二、數(shù)學(xué)與形象思維

仔細(xì)考察數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)活動(dòng)的具體過(guò)程，會(huì)發(fā)現(xiàn)形象思維在數(shù)學(xué)中起著很大的作用。數(shù)學(xué)中的形象思維激勵(lì)著人們的想象力和創(chuàng)造性，常常導(dǎo)致重要的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)。下面我們來(lái)看一個(gè)形象思維實(shí)例。射影幾何中著名的帕斯卡 “神秘的六線形”定理”：如果一個(gè)六邊形內(nèi)接于一圓錯(cuò)曲線，則其三對(duì)對(duì)邊的交點(diǎn)共線，并且，其逆命題成立。由這條定理引出的推論很多，并且引人人勝。對(duì)這個(gè)構(gòu)形作過(guò)的探討，幾乎多到難以相信的地步。由圓錐曲線上的六個(gè)點(diǎn)形成的六邊形有60種。并且根據(jù)帕斯卡定理，每一六邊形對(duì)應(yīng)有一帕斯卡線。這60 條帕斯卡線每三條有一公共點(diǎn)，共20 個(gè)點(diǎn)，這些點(diǎn)被稱做史坦納點(diǎn)，它們又四個(gè)四個(gè)地在15 條線上，這些線被稱做普呂克線。帕斯卡線還依另一種點(diǎn)的集合三條三條地共點(diǎn)，它們被稱做克科門(mén)點(diǎn)，共有60 個(gè)。對(duì)應(yīng)于每一史坦納點(diǎn)，有三個(gè)克科門(mén)點(diǎn)，這使得所有四點(diǎn)在同一線上，這些線被稱做凱利線。有20 條凱利線，它們四條四條地過(guò)15 個(gè)點(diǎn)，這些點(diǎn)被稱做薩蒙點(diǎn)。此構(gòu)形還有許多進(jìn)一步的擴(kuò)展和性質(zhì)：并且，對(duì)“神秘六線形”本身曾提出的不同證明多得不計(jì)其數(shù)。

從猜想到證明，再?gòu)牟孪氲酵普摚@條定理是一個(gè)典型的形象思維的過(guò)程。關(guān)于這種形象思維的特征，帕斯卡在《思想錄》中講得很透徹，他指出：“習(xí)慣于依據(jù)感覺(jué)進(jìn)行判斷的人，對(duì)于推理的東西毫不理解，因?yàn)樗麄兿胍谎劬湍茔@透而不習(xí)慣于探索種種原則。反之，那些習(xí)慣于依據(jù)原則進(jìn)行推論的人則對(duì)于感覺(jué)的東西也毫不理解，他們?cè)谀抢锾剿髟瓌t. 卻不能一眼看出，也就是說(shuō)：以對(duì)于形象的感覺(jué)為基礎(chǔ)展開(kāi)推理的翅膀，才能自由翱翔。

三、數(shù)學(xué)與直覺(jué)思維

直覺(jué)思維，又稱頓悟思維.在數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)活動(dòng)中，也占有頗為重要的位置。下面以龐加菜關(guān)于富克斯群的富克斯函數(shù)理論的研究為例來(lái)談?wù)勵(lì)D悟思維。

起初，龐加菜對(duì)富克斯函數(shù)真思苦想了整整兩個(gè)星期，企圖證明它不存在，但這個(gè)想法以后被證明是錯(cuò)誤的。

后來(lái)“一天晚上”，龐加菜說(shuō)：”與往常不同.我喝了濃咖啡，因而鑲轉(zhuǎn)反側(cè)，難以人眠，眾多的思緒蜂擁而來(lái)，我感到它們?cè)诓粩嗟貨_突和碰撞……直到最后，它們一一相聯(lián)，也就是說(shuō).形成了一個(gè)穩(wěn)定的組合體?！睂?duì)此，龐加菜還作了心理學(xué)的剖析，他說(shuō)：“在這種情況下，我們似乎處于自身的無(wú)意識(shí)工作狀態(tài)，雖然也部分地感到有某些超興奮的有意識(shí)的思維成分 ，但總的來(lái)說(shuō).并不能改變無(wú)意識(shí)的特征。于是，我們就只能含含糊糊地領(lǐng)略到兩種思維機(jī)制的區(qū)別。

下一步的工作就是企圖找到函數(shù)的表達(dá)式。龐加菜回憶道：“我想要把·這類(lèi)函數(shù)表示成兩個(gè)級(jí)數(shù)之商. 這個(gè)思想是非常自然和有明確目標(biāo)的. 這時(shí)我想起了類(lèi)似于此的橢圓函數(shù)的情形。我就設(shè)想，如果這兩個(gè)級(jí)數(shù)存在，它們會(huì)有什么樣的性質(zhì)呢？循此向前.并沒(méi)有遇到什么困難，我構(gòu)造出了這兩個(gè)級(jí)數(shù)，并稱之為Q-富克斯”，就在此時(shí)，我離開(kāi)了我所居住的地方卡昂.在礦業(yè)學(xué)院的資助下.開(kāi)始了地質(zhì)考察的旅行生活。旅途中的許多事使我忘掉了數(shù)學(xué)工作。到了康斯坦茨湖，我們乘一輛馬車(chē)到其他地方去，就在我把腳放到馬車(chē)踏板上的一剎那，一個(gè)思想突然閃現(xiàn)在我腦海中，而在此之前，我還從來(lái)沒(méi)有想到過(guò)。這個(gè)思想就是我用以定義富克斯函數(shù)的變換與非歐幾何的變換是等價(jià)的。當(dāng)時(shí)我并沒(méi)有馬上去證明這個(gè)思想. 因?yàn)楫?dāng)時(shí)沒(méi)有時(shí)間去考慮這件事，我繼續(xù)和馬車(chē)?yán)锏穆冒楹ｉ熖炜盏卣務(wù)撝渌虑?，然而我能感覺(jué)得到剛才所獲得的這個(gè)思想是完全正確的。 在旅行結(jié)束回到我所居住的卡昂之后. 為了能問(wèn)心無(wú)傀，我還是抽空給出了這個(gè)思想的證明。

“此后我就把注意力轉(zhuǎn)移到與此有關(guān)的一些算術(shù)運(yùn)算問(wèn)題上去，但沒(méi)取得什么成功.并且看起來(lái)也不象與我以前的研究工作有什么聯(lián)系。由于對(duì)失敗感到厭煩，我到海邊去度過(guò)了幾天，并且考慮了一些其他的事情。有一天早上.當(dāng)我正在懸崖上面散步時(shí)，一種新的思想在我的腦海中又同樣地突然閃現(xiàn)出來(lái)，而且同樣是一種簡(jiǎn)潔而確定的思想。這個(gè)思想就是：不定三元二次型的算術(shù)變換與非歐幾何變換是等價(jià)的. ”

這兩個(gè)結(jié)果讓龐加菜認(rèn)為： 肯定存在著另外的富克斯群，也還存在著與他那個(gè)不眠之夜所遇到的不同富克斯函數(shù)。以前找到的只是一類(lèi)特殊情況，接下來(lái)的事情應(yīng)該是研究一般情況。

從這個(gè)事例中，我們得到的最重要的啟示是什么呢？研究數(shù)學(xué)所需要的第一是激情.第二是激情，第三還是激情。有了激情才能使頓悟（直覺(jué)思維）頻繁出現(xiàn)。努力地去鍛煉自己的思維，也努力去培養(yǎng)自己的激情吧！