淺析高中數(shù)學(xué)中平面向量的應(yīng)用

【摘 要】平面向量不管是在數(shù)學(xué)還是科學(xué)領(lǐng)域中都有著廣泛的應(yīng)用，其不僅是連接三角、幾何與代數(shù)的重要橋梁，還是研究力學(xué)、電學(xué)和相關(guān)自然學(xué)科的關(guān)鍵工具。近幾年來，平面向量已經(jīng)成為數(shù)學(xué)高考的重點考查知識。筆者就高中數(shù)學(xué)中平面向量的應(yīng)用問題進(jìn)行簡要分析，旨在探索向量在各種題型解題中的有效應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);平面向量;應(yīng)用

【中圖分類號】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2021）28-0014-03

平面向量已經(jīng)成為高考數(shù)學(xué)的重要考點。相關(guān)題型的考查方向主要為平面向量的綜合應(yīng)用，這就為教師日常教學(xué)提供了方向，即要高度重視平面向量的工具性，及其與其他知識點的交融性。研究平面向量命題規(guī)律的過程其實就是探索平面向量綜合應(yīng)用的過程。

1? ?向量在現(xiàn)代教學(xué)中的重要性

從19世紀(jì)開始，數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家就將向量作為了重點研究內(nèi)容，其被引入中學(xué)數(shù)學(xué)的時間是20世紀(jì)初，高中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中正式引入向量是在1996年，當(dāng)下新課標(biāo)中也反復(fù)強調(diào)了向量教學(xué)的要求。向量知識的重要性不單單體現(xiàn)于數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，在其他學(xué)科中也有廣泛的應(yīng)用。很多數(shù)學(xué)難題通過向量都能夠很快地解決，在具體使用過程中，向量幾乎不受其他因素限制，是重要的代數(shù)運算工具與幾何解題工具[1]。除了在數(shù)學(xué)難題計算上的優(yōu)勢，向量還能直觀且精準(zhǔn)地表示空間立體圖形體積與幾何法線，甚至還能應(yīng)用到叉乘和點乘方面。物理學(xué)科中將向量稱之為“矢量”，其在具體的公式計算中往往表示速度、位移和力。

2? ?高中數(shù)學(xué)中向量的應(yīng)用

2.1? 平面向量與平面幾何的綜合應(yīng)用

就幾何角度來說，高中階段的平面向量概念知識以及平面向量運算知識都有明顯的幾何特征。所以，綜合平面向量和平面幾何屬于常見的數(shù)學(xué)問題，這類題型一方面能考查學(xué)生對向量幾何意義的掌握與理解，還能考查學(xué)生靈活運用平面向量解決問題的能力[2]。

例1：已知?ABC平面中的一個點O，且該點滿足=，則?ABC為（ ）。

A.等腰三角形? ? B.等邊三角形

C.直角三角形? ? D.等腰直角三角形

解析：此題的解答需要運用向量的減法法則，進(jìn)一步簡化題中的等式，得出=，然后再得出等式=，由此可判斷出，以AB、AC為鄰邊的平行四邊形是矩形，推理出?ABC的形狀是直角三角形，因此選擇C。

點評：題中給出了向量等式，考查的重點放在了平面向量的減法法則、加法法則以及模的幾何意義上，整個命題的重點偏向向量和向量運算。

2.2? 平面向量與解析幾何的綜合應(yīng)用

平面向量本身還有一個明顯的坐標(biāo)形式特征，所以在幾何問題解析中也適用。很多時候通過向量能夠更加簡潔地表達(dá)幾何問題中的條件，將幾何問題的解析過程轉(zhuǎn)換成運算向量坐標(biāo)。

例2：已知橢圓C：（a>b>0）的短軸長等于，的離心率，A、B是分別位于橢圓C上的上、下頂點。

（1）求解橢圓C的方程。

（2）設(shè)P為直線 y=4上不同于點（0，4）的任意一點，若直線AP、BP分別和橢圓相交異于A、B的點M、N，請證明∠MAN為鈍角。

解析：

（1）先根據(jù)已知的條件將有關(guān)a、b、c的方程列出來，通過解方程組來得到橢圓C的方程：。

（2）設(shè)P（t，4）（t≠0），求出=，

，再基于=>0，得出∠PAN為銳角，又因為∠MAN與∠PAN屬于互補關(guān)系，因此∠MAN為鈍角。

點評：就分析本題的題干而言，其中并未有任何向量的標(biāo)記，但是向量夾角計算公式卻適用于本題，簡化了解題環(huán)節(jié)，在幾何運算中充分體現(xiàn)了向量法的作用與魅力。從本題中不難得知，合理利用向量法能大大減少解析幾何運算量。所以一定要在幾何問題解析中提高對向量應(yīng)用的重視度。

2.3? 平面向量與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用

教材必修4中不僅包含了函數(shù)知識點，也涉及很多平面向量內(nèi)容，關(guān)于兩角和余弦公式的推導(dǎo)就借助了平面向量運算。由此可以看出三角函數(shù)和平面向量之間有著密切的聯(lián)系[3]。這兩者之間的關(guān)系在歷年高考中都是以解答題的形式考查的，往往還會延伸性地涉及三角函數(shù)性質(zhì)、三角恒等變、平面向量運算以及解三角形的知識點，屬于綜合性較高的解答題題型。

例3：已知A、B、C是?ABC的三個內(nèi)角，向量=（cosB，sinB?2sinC），=（2cosC+cosB，sinB），且

⊥。

（1）求A。

（2）若BC=，求AB+AC的取值范圍。

解析：

（1）由⊥，得出·=0，

則cosB（2cosC+cosB）+（sinB?2sinC）sinB=0，

則2（cosBcosC?sinBsinC）+（cos2B+sin2B）=0，

即2cos（B+C）+1=0，故cos（B+C）=?。

又B+C∈（0，π），所以B+C=，所以A=。

（2）由于A=，BC=，因此通過正弦定理可得出===2。

所以AB=2sinC，AC=2sinB=2sin（?C）。

所以AB+AC=2sinC+2sin（?C）

=2sinC+2（cosC+sinC）

=3sinC+cosC

=（sinC+cosC）

=（C+）。

其中C∈（0，），則C+∈（，），

所以sin（C+）∈（，1]，sin（C+）∈（，]。

所以AB+AC的取值范圍是（，]。

點評：該題的解題背景主要是平面向量的數(shù)量積運算，考查三角形綜合問題、正弦定理、向量垂直條件、三角函數(shù)性質(zhì)等。就本質(zhì)而言，解三角形、三角函數(shù)和平面向量這三個知識點之間存在緊密的聯(lián)系[4]。這類題型只是將平面向量用作一種“外包裝”，其考查重點還是三角問題。

2.4? 向量在不等式證明中的應(yīng)用

不等式證明一直以來就是高中數(shù)學(xué)中有一定難度的基礎(chǔ)性知識，常常讓很多學(xué)生感到頭疼。如若將向量知識巧妙引入其中進(jìn)行輔助證明，就可以化難為簡。

例4：假設(shè)a、b、c、d∈R，求證（a3c+b3）2<（a6+b6）（c2+d2）。

證明過程如下：

首先設(shè)向量和，其中=（a3+b3），=（c，d），再將和這兩個向量的夾角設(shè)為θ，

則（·）2

=[（a3+b3）·（c，d）]2

=（a3c+b3d）2

=（）2<（）2

=

=[（a3）2+（b3）2][（c2+d2）]，

即可表明（a3c+b3）2<（a6+b6）（c2+d2）。

點評：關(guān)于不等式的證明，常用的解題技巧包含了綜合法、分析法和作差法等，相對而言證明過程復(fù)雜[5]。向量中數(shù)量積定義的合理應(yīng)用即可有效簡化整個證明過程，大大提高解題效率。

2.5? 平面向量在最值中的應(yīng)用

幾何與代數(shù)之間重要的聯(lián)系紐帶就是向量坐標(biāo)，這是平面向量中最為關(guān)鍵的要素，在求解函數(shù)最值問題中以向量坐標(biāo)來表示具體內(nèi)容會取得意想不到的效果[6]。

例5：有函數(shù)，求其最大值。

解析：設(shè)置向量和，其分別為（3，4）和（，）。

·

=3+4≤

=

=5。

取等號的情況存在且只存在于與平行時，即=（k>0）

由此解得x==4.36（滿足4≤x≤5）。

因此這一函數(shù)的最大值為5。

點評：針對本題的解答，如若使用三角函數(shù)設(shè)元或者柯西不等式等傳統(tǒng)且常規(guī)的方法，其實是不適用于全體學(xué)生的，尤其是對一些基礎(chǔ)水平相對較差的學(xué)生來說難度較大。但易懂、易上手的向量坐標(biāo)法就能讓問題變得簡潔明了，從而讓學(xué)生快速得出答案。

作為一種探索和解答數(shù)學(xué)問題的工具，平面向量的有效應(yīng)用能讓很多數(shù)學(xué)問題得以簡化處理。本文通過總結(jié)平面向量在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，展示解題思路的形成過程，引導(dǎo)學(xué)生一步步地掌握解題方法，提升學(xué)生分析和解決問題的能力。

【參考文獻(xiàn)】

[1]張鑫，于興江.探究式教學(xué)在高中數(shù)學(xué)課堂中的應(yīng)用研究——以一道平面向量數(shù)量積試題為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，

2019（4）.

[2]金貴燕，劉詠梅.基于“學(xué)—思—行”的高中平面向量教學(xué)思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2019（1）.

[3]李煒，張玉輝.平面向量等和線在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].語數(shù)外學(xué)習(xí)：數(shù)學(xué)教育，2019（5）.

[4]王建宇.高中數(shù)學(xué)解題中平面向量方法的應(yīng)用分析[J].當(dāng)代家庭教育，2019（18）.

[5]姚洪兵.高中數(shù)學(xué)解題中平面向量方法運用探究[J].名師在線，2020（11）.

[6]方志平.數(shù)學(xué)競賽中含雙參數(shù)的平面向量問題求解策略[J].數(shù)學(xué)通訊，2019（3）.

【作者簡介】

劉兆磊（1987～），男，漢族，山東淄博人，本科，初級教師。研究方向：高中數(shù)學(xué)教學(xué)。