初始角度對平板自由下落運動的影響

梁 彬, 張石玉, 付增良

(中國航天空氣動力技術(shù)研究院, 北京 100074)

引 言

氣動力和運動耦合作用、 以及非定常流動現(xiàn)象的存在, 使得平板的自由下落成為一個經(jīng)典的流體力學-動力學耦合問題, 一直以來都有相關(guān)的研究. 由于下落過程中常常出現(xiàn)運動的不確定性, 該問題也是一個典型的非線性問題. Maxwell[1]最早定性解釋和描述了紙片的自由翻滾下落運動. Anderson等[2]和Pesavento等[3]結(jié)合實驗和計算方法, 針對二維平板的下落問題建立力學模型, 解釋了其中的非定常氣動力機制, 并分析了實驗和計算結(jié)果之間存在差別的原因. Belmonte等[4]、 Assemat 等[5]都詳細研究了二維平板自由下落中不同的非定常運動軌跡, 并研究了影響運動軌跡的參數(shù). Wan等[6], Tian等[7-8]、 Kubota等[9]詳細研究了平板自由下落中的流動渦結(jié)構(gòu)和發(fā)展過程. Belmonte等[4]、 周琪[10]、 蔡琛芳等[11]還獲取了二維平板不同下落運動之間, 如翻滾和擺動兩種規(guī)律性運動間的轉(zhuǎn)變臨界參數(shù). 蔡琛芳等[11]研究了不同質(zhì)心位置對平板下落運動軌跡的影響. 同時, 平板的自由下落問題也是植物種子散播[12-14]、 紙片、 葉片飄落、 氣泡上升[15]、 昆蟲飛行[16]、 仿生撲翼飛行器[17-18]等自然現(xiàn)象和工程應(yīng)用的簡化物理模型以及基本原理體現(xiàn), 具有一定的研究價值.

無論采用實驗還是數(shù)值計算模擬方法, 上述以往的研究都集中在下落過程的周期性振蕩, 對下落過程中出現(xiàn)的非線性現(xiàn)象研究很少, 一般采用同一初始狀態(tài)、 或是簡單對比幾個初始狀態(tài)的影響后選取一個開展研究. 而平板下落作為一個非線性系統(tǒng), 初始狀態(tài)的改變是否會影響下落過程的發(fā)展路徑以及最終的現(xiàn)象還不清楚. 本文在上述研究的基礎(chǔ)上, 以二維平板自由下落問題為對象, 采用基于動網(wǎng)格技術(shù)的數(shù)值模擬方法, 深入研究了初始角度對下落運動的影響. 希望通過研究發(fā)現(xiàn)非線性運動何時出現(xiàn)、 非線性運動如何演化、 以及周期性運動會在何時出現(xiàn).

1 方法

1.1 坐標系和參數(shù)

本文定義了固連于地球的慣性坐標系(x,y)描述平板的運動和姿態(tài). 如圖1所示, 坐標原點位于初始狀態(tài)時平板質(zhì)心,x為水平方向, 指向右側(cè);y為垂直方向, 指向下方. 定義u,v分別為平板運動速度在x,y軸上的兩個分量;ω為平板轉(zhuǎn)動角速度, 逆時針為正;θ為平板轉(zhuǎn)動角度, 即平板與水平面的夾角, 逆時針為正. 定義Fx,Fy分別為x,y軸上的氣動力分量;M為氣動力矩, 逆時針為正;m為平板質(zhì)量;I為平板轉(zhuǎn)動慣量;g為重力加速度； 平板寬度為L, 厚度為h.

圖1 坐標系和狀態(tài)變量示意圖Fig. 1 Definition of the state variables and sketch of the reference frame

1.2 運動方程和流體力學方程

根據(jù)前文慣性坐標系和動力學參數(shù)定義, 二維平板在慣性坐標系下的運動方程可描述如下

(1)

求解運動方程(1)還須已知其中的氣動力和氣動力矩部分, 氣動力和氣動力矩是由流體力學方程所控制的, 如下

(2)

(3)

(4)

(5)

1.3 模擬方法和計算網(wǎng)格

本文采用的剛性動網(wǎng)格、 流體力學方程的數(shù)值求解方法、 流體力學方程和運動學方程耦合求解方法與文獻[11]相同, 不再贅述. 計算模擬方法在文獻[11]中通過與實驗結(jié)果Andersen[2]的對比, 得到了較好的驗證. 采用的平板模型與文獻[2]和[11]一致, 即寬厚比為14的二維平板, 平板邊角處進行了倒角處理, 便于網(wǎng)格生成. 平板外形和計算網(wǎng)格如圖2所示.

圖2 平板外形和計算網(wǎng)格Fig. 2 Plate shape and computational grids

1.4 分析方法

之前的研究結(jié)果表明[11], 平板的自由下落過程在氣動力和慣性力的共同作用下可呈現(xiàn)周期性的翻滾或擺動, 為非保守自洽非線性系統(tǒng). 針對其運動特點, 本文采用相平面法和頻譜分析方法分析和描述了平板的自由下落運動.

為了準確描述平板下落過程中不同下落狀態(tài)的頻域特征, 本文還采用了頻譜分析方法分析平板角度的周期性變化, 有關(guān)頻譜分析和Fourier變換原理見文獻[20].

2 初始角度對擺動運動的影響

基于之前的研究基礎(chǔ)[11], 當平板轉(zhuǎn)動慣量較小(I+<0.95)時, 下落時呈規(guī)律擺動, 擺動周期隨轉(zhuǎn)動慣量增加而增大. 為了研究初始角度對擺動運動的影響, 選擇了無量綱轉(zhuǎn)動慣量I+<0.95時幾種擺動運動進行模擬, 其他參數(shù)分別為: 寬厚比L/h=14, 無量綱質(zhì)量m+=0.385 7,Re=2 094.

2.1 典型算例結(jié)果和討論

圖3顯示了I+=0.03時, 平板以不同初始角度釋放后自由下落的θ-ω+相軌跡和無量綱速度u+-v+曲線, 圖4以其中的初始角度20°, 60°和80°為例直觀顯示了平板自由下落軌跡, 圖5以過渡狀態(tài)較長的初始角度20°和80°為例給出了平板下落過程中角位移振蕩過程的頻譜分析結(jié)果. 可以看到, 在自由下落的初期, 不同初始角度下平板呈現(xiàn)不同的運動狀態(tài)和軌跡(見圖3中虛線部分, 圖4), 這一段狀態(tài)可稱為過渡下落狀態(tài). 經(jīng)過過渡下落狀態(tài)的運動過渡之后, 平板后期最終呈現(xiàn)規(guī)律的周期性擺動運動(見圖3中實線部分, 圖4), 且各個初始角度下最終的周期性擺動運動狀態(tài)和軌跡是一致的: 在u+-v+曲線上體現(xiàn)為重合的“∞”形軌跡, 在θ-ω+相軌跡上形成重合的穩(wěn)定極限環(huán)(見圖3中實線部分), 在頻譜分析結(jié)果中最終的周期性運動角位移振蕩主頻均為2.123 Hz(見圖5). 此時平板的運動是周期性的, 這一段狀態(tài)可稱為周期性下落狀態(tài). 因此, 平板的初始角度并不會改變平板最終的周期性擺動下落運動狀態(tài).

在初期過渡下落狀態(tài)中, 雖然平板的狀態(tài)與最終的周期性規(guī)律擺動運動并不相同, 但是是相似的, 仍然是一種擺動運動. 從圖3中虛線部分可以看到, 初期平板仍然按照“∞”形軌跡運動, 只是“∞”形軌跡并不對稱. 這一現(xiàn)象在平板下落軌跡圖中(見圖4)也得到直觀體現(xiàn). 其中, 一些初始角度下過渡狀態(tài)較長, 如20°時, 平板在過渡下落狀態(tài)進行了多次非規(guī)律性擺動(見圖3, 圖4), 擺動幅度較小而主頻高于周期性狀態(tài)(2.831 Hz, 見圖5); 一些初始角度下過渡狀態(tài)很短, 如60°時, 在下落軌跡圖中幾乎看不到過渡狀態(tài)和周期性擺動狀態(tài)的區(qū)別(見圖4), 只能在u+-v+曲線上看出下落初期“∞”形軌跡的不對稱(見圖3); 一些初始角度下過渡狀態(tài)較長, 但擺動次數(shù)較少, 如80°時, 平板經(jīng)歷了1次較長的擺動后進入周期性下落狀態(tài)(見圖4), 過渡期擺動幅度較大而主頻低于周期性狀態(tài)(1.415 Hz, 見圖5).

(a) Transitional falling stage at θ0=20°

(b) Periodic fluttering falling stage at θ0=20°

(c) Transitional falling stage at θ0=80°

(d) Periodic fluttering falling stage at θ0=80°圖5 頻譜分析結(jié)果(I+=0.03)Fig. 5 Result of spectrum analysis (I+=0.03)

初始角度為負值時, 平板初始姿態(tài)其實與初始角度為正值時一致, 只是對稱翻轉(zhuǎn)的關(guān)系. 自由下落過程中的過渡狀態(tài)和周期性狀態(tài)也呈翻轉(zhuǎn)、 相位相反的關(guān)系. 圖3中同時給出了初始角度為-40°和-60°(即140°和120°)時的結(jié)果, 可以看到其曲線分別與初始角度為40°和60°時為左右對稱翻轉(zhuǎn)關(guān)系. 初始角度為負值(或超過90°)時不再重復(fù)研究.

圖6以初始角度20°為例顯示了平板自由下落時的狀態(tài)變量隨時間變化曲線,t+<8時為過渡下落狀態(tài),t+>8為周期擺動下落狀態(tài).下落開始初期(t+=0～1), 平板在重力作用下向下運動, 運動使得指向左上的氣動力和順時針方向氣動力矩作用于平板, 氣動力和重力共同作用下導(dǎo)致平板進一步向左下運動并順時針轉(zhuǎn)動. 當平板角度轉(zhuǎn)為負值后(t+=1～3), 氣動力和力矩大小方向也發(fā)生了變化, 氣動力水平分量指向右側(cè), 氣動力矩變?yōu)槟鏁r針方向, 導(dǎo)致平板向左的水平速度減小并逐漸變?yōu)橄蛴摇?順時針轉(zhuǎn)動速度減小并逐漸變?yōu)槟鏁r針. 由于轉(zhuǎn)動角度為角速度的積分項, 慣性作用下氣動力矩的變化反映至轉(zhuǎn)動角度具有一定的滯后. 后續(xù)重復(fù)了上述變化過程, 直至過渡下落狀態(tài)過程(t+=0～8)后進入周期性擺動下落(t+>8).可見, 過渡下落狀態(tài)與周期性下落狀態(tài)的機理是相似的: 由于平板轉(zhuǎn)動慣量相對較小, 平板的轉(zhuǎn)動角度能夠較快地響應(yīng)氣動力矩變化, 形成不斷往復(fù)的周期性或非周期性擺動運動, 對應(yīng)其周期性擺動運動和過渡下落狀態(tài). 因此, 也解釋了模擬結(jié)果: 影響平板下落最終運動狀態(tài)的是轉(zhuǎn)動慣量等關(guān)鍵性參數(shù), 與初始角度無關(guān).

圖6 無量綱速度和氣動力變化曲線(I+=0.03,θ0=20°)Fig. 6 Dimensionless velocities and aerodynamic force components (I+=0.03,θ0=20°)

圖7給出了平板初始為水平或垂直放置時(即初始角度為0°或90°)的結(jié)果. 可以看到, 平板初始水平或垂直放置時, 經(jīng)過一段定常的運動后才進入過渡下落狀態(tài), 然后經(jīng)過較長的過程后才最終進入周期性擺動運動. 周期性擺動運動狀態(tài)和軌跡與其余初始角度是一致的: 在u+-v+曲線上為形狀相同的“∞”形軌跡, 相軌跡也為形狀相同的極限環(huán). 原因在于平板下落初期流場對稱, 平板未受到氣動力矩的作用使其轉(zhuǎn)動. 經(jīng)過一段時間的誤差和干擾積累后, 平板受微小氣動力矩作用產(chǎn)生轉(zhuǎn)動, 隨后姿態(tài)改變導(dǎo)致氣動力變化并逐漸進入過渡下落狀態(tài), 最終演化為周期性擺動下落. 因此, 平板初始姿態(tài)左右對稱時也不會影響最終形成周期性擺動下落運動狀態(tài).

(a) θ versus ω+

(b) u+ versus v+圖7 θ-ω+相軌跡和u+-v+曲線(I+=0.03, θ0=0°, θ0=90°)Fig. 7 θ versus ω+ and u+ versus v+(I+=0.03, θ0=0°, θ0=90°)

2.2 其他擺動運動結(jié)果

平板初始角度對擺動運動的影響的其他算例結(jié)果如圖8～11所示, 分別顯示了其他參數(shù)不變、 無量綱轉(zhuǎn)動慣量較小(I+=0.01)和較大(I+=0.5)時的θ-ω+相軌跡、 無量綱速度u+-v+曲線和自由下落軌跡.

(a) θ versus ω+

(b) u+ versus v+

(a) θ versus ω+

(b) u+ versus v+

圖10 平板自由下落運動軌跡(I+=0.01)Fig. 10 Trajectories of freely falling plates (I+=0.01)

圖11 平板自由下落運動軌跡(I+=0.5)Fig. 11 Trajectories of freely falling plates (I+=0.5)

由圖8～11的結(jié)果可以看到, 與前文典型算例相似: 在自由下落初期的過渡下落狀態(tài), 不同初始角度下平板呈現(xiàn)不同的運動狀態(tài)和軌跡, 但該運動和軌跡與周期性的擺動運動是相似的, 是一種不規(guī)律的擺動運動. 平板后期最終呈現(xiàn)規(guī)律的周期性擺動運動狀態(tài), 且各個初始角度下最終的周期性擺動運動狀態(tài)和軌跡是一致的. 其中的物理機制也是類似的, 不再贅述.

3 初始角度對翻滾運動的影響

平板轉(zhuǎn)動慣量較大(I+>0.95)時, 平板下落最終呈規(guī)律翻滾. 為研究初始角度對翻滾運動的影響, 選擇了無量綱轉(zhuǎn)動慣量I+=1.0和I+=5.0進行模擬.圖12給出了I+=1.0時不同初始角度釋放后的結(jié)果, 圖13直觀顯示了典型算例的平板運動軌跡.

(a) θ versus ω+

(b) u+ versus v+圖12 θ-ω+相軌跡和u+-v+曲線(I+=1.0)Fig. 12 θ versus ω+ and u+ versus v+(I+=1.0)

圖13 平板自由下落運動軌跡(I+=1.0)Fig. 13 Trajectories of freely falling plates (I+=1.0)

由圖12和13的結(jié)果可以看到, 與擺動運動的情況類似, 平板的初始角度并不會改變平板后期最終的周期性翻滾下落運動狀態(tài). 初期的過渡下落狀態(tài)中, 不同初始角度下平板呈現(xiàn)不同的運動狀態(tài)和軌跡(見圖12中虛線部分, 圖13), 但最終呈現(xiàn)規(guī)律的周期性翻滾運動狀態(tài), 且各初始角度下最終的周期性翻滾運動狀態(tài)和軌跡一致:θ-ω+相平面上體現(xiàn)為重合的穩(wěn)定軌跡;u+-v+曲線上體現(xiàn)為重合的“o”形軌跡.

與擺動運動不同之處在于, 翻滾運動的過渡下落可分為小幅翻滾和非規(guī)律性擺動兩種狀態(tài). 如初始角度≥50°時, 過渡下落狀態(tài)平板u+-v+曲線是比周期性翻滾運動稍小的“o”形軌跡, 相軌跡上也不存在ω+>0的點, 說明平板一直朝一個方向翻滾、 是一個小幅的翻滾運動, 在平板下落軌跡圖中(見圖13)也得到直觀體現(xiàn). 初始角度≤40°時, 過渡下落狀態(tài)是一種非規(guī)律性的擺動運動, 在u+-v+曲線上顯示為不對稱的“∞”形軌跡, 相軌跡呈現(xiàn)非閉軌擺動運動特征. 正是由于過渡下落階段這種非規(guī)律性擺動運動的存在, 使得平板最終周期性翻滾運動的翻滾方向存在差別, 如初始角度約50°～80°間最終周期性翻滾方向與過渡狀態(tài)小幅翻滾方向相同(順時針),u+-v+曲線上為左側(cè)“o”形軌跡,θ-ω+相軌跡位于下方; 初始角度10°時經(jīng)過過渡狀態(tài)3次擺動運動, 最終周期性翻滾方向為順時針,u+-v+曲線上為左側(cè)“o”形軌跡, 相軌跡位于下方; 初始角度為0°, 20°, 30°, 40°時經(jīng)過過渡狀態(tài)2次或多次擺動運動, 最終周期性翻滾方向為逆時針,u+-v+曲線上為右側(cè)“o”形軌跡, 相軌跡位于上方. 雖然翻滾方向相反, 但平板運動形式和狀態(tài)無本質(zhì)變化, 僅為左右對稱關(guān)系.

圖14 無量綱速度和氣動力變化曲線(I+=1.0,θ0=20°)Fig. 14 Dimensionless velocities and aerodynamic force components (I+=1.0,θ0=20°)

圖14給出了初始角度為20°時平板自由下落狀態(tài)變量隨時間變化曲線, 分割線左側(cè)為過渡下落狀態(tài), 分割線右側(cè)為周期翻滾下落狀態(tài). 圖14中可以看到, 自由下落初期過渡運動狀態(tài)中平板的受力和運動情況與無量綱轉(zhuǎn)動慣量較小時是類似的: 下落開始初期(t+=0～2), 平板在重力作用下向下運動, 運動產(chǎn)生的氣動力和力矩指向左上和順時針方向, 和重力共同作用下平板進一步左下運動并順時針轉(zhuǎn)動. 平板角度轉(zhuǎn)為負值后(t+=2～9.6), 氣動力和力矩方向隨之改變, 使平板向左的水平速度和順時針轉(zhuǎn)動速度減小并逐漸反向為向右和逆時針. 由于平板轉(zhuǎn)動慣量較大, 慣性作用明顯, 氣動力矩反向后經(jīng)過了較長的時間后平板轉(zhuǎn)動角度才逐漸減小, 氣動力矩作用的滯后現(xiàn)象明顯. 也正是因為上述原因, 平板轉(zhuǎn)動角度再一次反向后, 由于氣動力矩變化的作用滯后時間較長, 無法及時反映至平板轉(zhuǎn)動角度, 導(dǎo)致平板轉(zhuǎn)動角度增大至較大值后無法拉回, 在慣性作用主導(dǎo)下朝同一方向翻滾最終形成周期性翻滾下落運動. 因此, 當平板初始角度本身較大時, 如圖13中初始角度為60°時, 自由下落初期過渡運動狀態(tài)中就出現(xiàn)了初始角度較小時過渡狀態(tài)后期發(fā)展出的現(xiàn)象: 在慣性作用主導(dǎo)下直接朝同一方向翻滾形成周期性翻滾下落運動.

當轉(zhuǎn)動慣量很大、 慣性作用更加明顯, 更難以在過渡下落階段出現(xiàn)擺動運動. 當無量綱轉(zhuǎn)動慣量增大至I+=5.0時, 如圖15所示, 過渡下落階段發(fā)生擺動運動的范圍進一步縮小, 僅在初始角度≤30°時出現(xiàn)過渡的非規(guī)律性的擺動運動: 在u+-v+曲線上顯示為不對稱的“∞”形軌跡.

圖15 u+-v+曲線(I+=5.0)Fig. 15 u+ versus v+(I+=5.0)

綜上所述, 平板翻滾下落狀態(tài)中過渡狀態(tài)與周期性狀態(tài)的機理是相似的: 由于平板轉(zhuǎn)動慣量較大, 氣動力矩僅能起到減緩或增大平板轉(zhuǎn)動角速度的作用, 平板的轉(zhuǎn)動角度方向不隨氣動力矩方向變化而改變. 因此平板大部分情況下保持了翻滾的運動狀態(tài). 僅在轉(zhuǎn)動慣量稍小的情況下, 且初始角度較小、 處于臨界狀態(tài)附近時, 才會在過渡下落狀態(tài)中出現(xiàn)少次的不規(guī)律擺動運動. 同理, 也解釋了模擬結(jié)果: 影響平板下落最終運動狀態(tài)的是轉(zhuǎn)動慣量等關(guān)鍵性參數(shù), 與初始角度無關(guān).

4 結(jié)論

本文通過耦合求解N-S方程和運動方程, 從不同初始角度對平板自由下落狀態(tài)和軌跡的影響出發(fā), 開展了二維平板自由下落的非線性特征研究, 研究結(jié)果發(fā)現(xiàn):

(1)初始角度對平板的自由下落運動狀態(tài)和軌跡有影響, 但影響僅反映在自由下落初期2個周期內(nèi);

(2)不同初始角度造成平板自由下落初期運動不同的振蕩狀態(tài)、 振蕩頻率和幅值;

(3)平板的自由下落運動呈現(xiàn)兩個階段: 初期階段、 后期階段. 初期階段運動形態(tài)不同, 后期階段運動形態(tài)相同.