反證法在數(shù)學(xué)及實(shí)際生活中的應(yīng)用

羅抓西當(dāng)智

摘要 反證法是一種非常重要的數(shù)學(xué)方法，它在數(shù)學(xué)以及實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用.本文將從反證法解決問題的本質(zhì)出發(fā)分析出用反證法解決問題的步驟及類型，并例談反證法在數(shù)學(xué)及實(shí)際生活中的具體應(yīng)用.

關(guān)鍵詞 反證法;假設(shè);否定;矛盾;結(jié)論.

中圖分類號(hào)：G4 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

1? 引言

反證法是間接證法中的一種，是一種特殊的、重要的證明方法，反證法不僅可以用來證明數(shù)學(xué)命題，而且它在許多實(shí)際生活中也有許多應(yīng)用，反證法的思想遍及日常生活，是培養(yǎng)人的邏輯思維能力、逆向思維能力，發(fā)展智力最有效的推理方法之一.總而言之，反證法在人們的生活中是非常重要的，無論從數(shù)學(xué)的角度還是從其他角度看問題，人們都必須學(xué)習(xí)反證法.

2? 反證法的作用及概念

2.1? 反證法的作用

牛頓曾經(jīng)說過“反證法是數(shù)學(xué)家最精當(dāng)?shù)奈淦髦弧?最早在數(shù)學(xué)中引用反證法的是古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的希波克提斯，在歐幾里得的《幾何原本》中也有不少用反證法的范例.我國在五世紀(jì)時(shí)《張邱建算經(jīng)》中已有運(yùn)用.反證法是數(shù)學(xué)證明中的一種重要方法，當(dāng)正面不容易或者不能證明時(shí)，我們可以從命題的反面來思考問題，若能恰當(dāng)使用，往往可以收到較好的效果.特別是有些數(shù)學(xué)命題至今除了反證法還別無他法，因此，認(rèn)識(shí)和掌握反證法就顯得十分重要[1]。

2.2? 反證法的概念

在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中反證法成為最有用和最有效的解決問題的方法之一，但在現(xiàn)行的各種教材中沒有對(duì)反證法的概念給出系統(tǒng)的闡述，因此，我們有必要闡述一下反證法的概念.

反證法屬于間接證法，法國數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪在其所著《初等數(shù)學(xué)教程》中做了最準(zhǔn)確，最簡明的描述：“反證法在于表明，若肯定定理的假設(shè)而否定其結(jié)論，就會(huì)導(dǎo)致矛盾”.具體的講，就是有否定命題結(jié)論的正確性出發(fā)，根據(jù)題設(shè)條件、定義、法則、公理、定理，進(jìn)行一系列正確的邏輯推理，最后得到一個(gè)矛盾的結(jié)果.即就是結(jié)論的反面不能成立，從而肯定命題結(jié)論的正確性，這種駁倒命題結(jié)論反面的證法叫做反證法[1]。

3? 反證法的理論依據(jù)及本質(zhì)

3.1? 反證法的理論依據(jù)

我們知道，命題與其等價(jià)的命題是：原命題逆否命題.反證法就是利用證明與所要論證的命題的等價(jià)命題的真實(shí)性來說明所要論證的命題的真實(shí)性.一句話，反證法實(shí)質(zhì)上是由證明命題的逆否命題成立來說明原命題的正確性.即當(dāng)命題由題設(shè)結(jié)論，不易思考時(shí)，可改證它的逆否命題.

3.2? 反證法的本質(zhì)[3]

反證法的實(shí)質(zhì)就是通過證明與原來的命題的正確性來肯定原命題的真?zhèn)?也就是說反證法是從結(jié)論的反面入手，說明結(jié)論不容否定，從而證明結(jié)論的正確性.

4? 反證法的應(yīng)用類型

4.1? 在數(shù)學(xué)應(yīng)用中的類型[4]

一般來講，反證法常用來證明的題型有命題的結(jié)論以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“無限”形式出現(xiàn)的命題;或者直接證明難以下手的命題，而從反面可以使問題迎刃而解.

4.2? 在實(shí)際生活中應(yīng)用的類型

比如在演講比賽中，參賽者常常利用反證法的推理形式去論證某一論題的合理性、真實(shí)性.又比如在法庭上律師在為當(dāng)事人進(jìn)行辯護(hù)時(shí)，也常常采用反證法，以及有關(guān)問題的判斷、現(xiàn)象的解釋、歌詠比賽等許多實(shí)際生活中的實(shí)例都常常應(yīng)用反證法來證明問題的真實(shí)性.

5? 反證法解決問題的具體步驟[6]

第一步：是“假設(shè)命題的結(jié)論不成立”，亦可理解成假命題結(jié)論的反面成立.但此時(shí)，要考慮結(jié)論的反面可能出現(xiàn)的情況.如果結(jié)論的反面只有一種情況，那么只須否定這種情況就足以證明原結(jié)論是正確的;如果結(jié)論的反面不止一種情況，那么必須把各種可能情況全部列舉出來，并且一一加以否定后，才能肯定原結(jié)論是正確的;

第二步：“從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾”其中的矛盾，可以是和已知矛盾，也可以和定義、公理、定理、性質(zhì)等矛盾，這樣都足以說明假設(shè)錯(cuò)誤，原命題正確;

第三步：由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確.

6? 利用反證法時(shí)應(yīng)注意的問題

反證法雖然是一種常規(guī)證明問題方法，并且具有很多優(yōu)越性，但使用時(shí)必須注意：

第一：不要一味強(qiáng)用反證法，非但如此，有些問題往往不用反證法倒容易推出;

第二：應(yīng)用反證法推出的矛盾一定要明顯;

第三：應(yīng)用反證法一定要注意推理正確.

第四： 應(yīng)用反證法時(shí)，一定要注意強(qiáng)調(diào)正確地提出反設(shè)，注意將命題結(jié)論的反面的各種情形都否定，不能遺漏[5]。

第五： 應(yīng)用反證法時(shí)，必須正確地“否定結(jié)論”，因?yàn)檫@是運(yùn)用反證法的前提.

第六： 應(yīng)用反證法時(shí)，在推理過程中，一定要使用已知的條件，否則，要么推不出矛盾結(jié)果，要么不能判定所推出的結(jié)論是錯(cuò)誤的[7]。

參? 考? 文? 獻(xiàn)

[1]胡曉年.談?wù)劮醋C法[J].才智，2010，98.

[2]朱慧.反證法在中學(xué)證明題中的應(yīng)用[J].教育教學(xué)論壇，2010，53.

[3]張安平.反證法證明數(shù)學(xué)問題的重要方法[J].中國城市經(jīng)濟(jì)，2010，179.