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    三版教材關(guān)于“負(fù)負(fù)得正”的設(shè)計(jì)與分析

    2021-12-08 15:28:55肖婧鈺鄭緒妹王家正
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志(初中版) 2021年5期
    關(guān)鍵詞:有理數(shù)符號(hào)意識(shí)數(shù)感

    肖婧鈺 鄭緒妹 王家正

    【摘?要】有理數(shù)的乘法運(yùn)算在培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)感”和“符號(hào)意識(shí)”方面有著重要的地位,本文通過“人教版”“康軒版”“singlee版”三版教材對(duì)“負(fù)負(fù)得正”內(nèi)容的設(shè)計(jì)及對(duì)比分析,得出三版教材的呈現(xiàn)方式有兩種:第一種是探索數(shù)學(xué)規(guī)律,揭示運(yùn)算法則;第二種是通過引入實(shí)際情境,探索運(yùn)算法則.通過對(duì)比分析,幫助教師在有理數(shù)乘法運(yùn)算的教學(xué)中更好地把握教學(xué)規(guī)律,從而更有效地培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)感”與“符號(hào)意識(shí)”,進(jìn)而提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平.

    【關(guān)鍵詞]?數(shù)感;符號(hào)意識(shí);有理數(shù)

    有理數(shù)的乘法運(yùn)算在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)的“數(shù)感”與“符號(hào)意識(shí)”方面有十分重要的地位.在有理數(shù)教學(xué)內(nèi)容中“負(fù)負(fù)得正”是教學(xué)的難點(diǎn),也是學(xué)生理解的難點(diǎn).七年級(jí)學(xué)生已經(jīng)有了一定的規(guī)則感,而“負(fù)負(fù)得正”的內(nèi)容只能通過生活情境的引入加以解釋,這一內(nèi)容也曾難倒許多人.下面,就三版教材——人民教育出版社版本(以下簡(jiǎn)稱“人教版”)、中國臺(tái)灣康軒文教事業(yè)版(以下簡(jiǎn)稱“康軒版”)教材及新加坡singlee版(以下簡(jiǎn)稱“singlee版”)“負(fù)負(fù)得正”內(nèi)容的設(shè)計(jì)進(jìn)行梳理及分析.

    1?三個(gè)版本的教材梳理

    “人教版”教材先根據(jù)多組正數(shù)和0的乘法運(yùn)算,得出正負(fù)相乘和負(fù)正相乘的運(yùn)算規(guī)則;再從數(shù)值和絕對(duì)值兩方面入手,歸納出正數(shù)×正數(shù),正數(shù)×負(fù)數(shù),負(fù)數(shù)×正數(shù)的運(yùn)算法則,具體教材呈現(xiàn)如下:①3×3=9,3×2=6,3×1=3,3×0=0,學(xué)生討論,尋找規(guī)律.若此規(guī)律在引入符號(hào)后仍然成立,則有3×(-1)=???,3×(-2)=???,3×(-3)=???.②3×3=9,2×3=6,1×3=3,0×3=0找規(guī)律并思考,若該規(guī)律引入符號(hào)后仍然成立,則:(-1)×3=???,(-2)×3=???,(-3)×3=???,根據(jù)上述兩組的計(jì)算找到規(guī)律,再把規(guī)律推廣到負(fù)數(shù)算式上,得到正負(fù)數(shù)相乘的計(jì)算法則.同理,找規(guī)律,推廣規(guī)律,得到負(fù)負(fù)相乘的運(yùn)算法則,具體呈現(xiàn)如下:(-3)×3=???,(-3)×2=???,(-3)×1=???,(-3)×0=???.根據(jù)上述規(guī)律,則有:(-3)×(-1)=???,(-3)×(-2)=???,(-3)×(-3)=???,進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生通過一系列算式歸納總結(jié)出結(jié)論.

    “康軒版”教材通過引入實(shí)際生活情境,先引出正正相乘,負(fù)正相乘,正負(fù)相乘的規(guī)則,再提出負(fù)負(fù)得正的規(guī)律,最后引導(dǎo)學(xué)生觀察四個(gè)情境解答中性質(zhì)符號(hào)的變化,得出整數(shù)的乘法運(yùn)算法則:同號(hào)的兩整數(shù)相乘,其結(jié)果為正整數(shù);異號(hào)的兩整數(shù)相乘,其結(jié)果為負(fù)整數(shù).具體教材呈現(xiàn)如下:①正整數(shù)×正整數(shù):如果水庫的水位每天上升4公分,那么兩天后的水位比現(xiàn)在的水位高或低多少公分?②負(fù)整數(shù)×正整數(shù):如果水庫的水位每天下降4公分,那么兩天后的水位比現(xiàn)在的水位高或低多少公分?③正整數(shù)×負(fù)整數(shù):如果水庫的水位每天上升4公分,那么2天前的水位比現(xiàn)在的水位高或低多少公分?④負(fù)整數(shù)×負(fù)整數(shù):如果水庫的水位每天下降4公分,那么兩天前的水位比現(xiàn)在的水位高或低多少公分?如果上升的量用正數(shù)表示,那么下降的量就可用負(fù)數(shù)表示,則①4×2=8;②(-4)×2=-(4×2)=-8;③4×(-2)=-(4×2)=-8;④(-4)×(-2)=4×2=8.繼而從四個(gè)生活情境,四個(gè)算式中找尋規(guī)律,循循善誘,最后得出整數(shù)乘法法則.

    “singlee版”教材展示四個(gè)實(shí)例:“正數(shù)×正數(shù)”“正數(shù)×負(fù)數(shù)”“負(fù)數(shù)×正數(shù)”“負(fù)數(shù)×負(fù)數(shù)”.在引入運(yùn)算規(guī)律時(shí),“singlee版”沒有運(yùn)用實(shí)際生活情境,而是通過代數(shù)圓盤的展示來實(shí)現(xiàn)的.該版本以算式的計(jì)算引入,同時(shí)又暗示相反數(shù)的規(guī)律所在,具體教材呈現(xiàn)如下:①2×3用代數(shù)圓盤的模型可以表示為2組3;②2×(-3)用代數(shù)圓盤的模型可以表示為2組-3;③(-1)×3可以理解為1組3的負(fù)數(shù),在代數(shù)圓盤中表示為“翻轉(zhuǎn)1組3”,同樣的,(-2)×3可以理解為“2組3的負(fù)數(shù)”,表示為“翻轉(zhuǎn)2組3”;④(-1)×(-3)理解為“1組(-3)的相反數(shù)”,表示為“翻轉(zhuǎn)1組(-3)”.在該版本的教學(xué)中,可以理解為只有“1組3”和“1組-3”的情況,剩下兩種可以用代數(shù)圓盤的“翻轉(zhuǎn)”來實(shí)現(xiàn).基于學(xué)生的認(rèn)知水平,降低了學(xué)生的理解難度.由代數(shù)圓盤的展示,幫助學(xué)生理解總結(jié)規(guī)律,“翻轉(zhuǎn)”這一詞也隱晦的表達(dá)了相反數(shù)的概念,給教師留下了自由發(fā)揮的空間.

    通過上述三個(gè)版本對(duì)“有理數(shù)乘法內(nèi)容的編排”可以看出,有理數(shù)乘法教學(xué)的方式有兩種形式:一種是探尋數(shù)學(xué)規(guī)律,揭示運(yùn)算規(guī)律,觀察類比從而揭示有理數(shù)乘法的運(yùn)算規(guī)律;另一種是引入實(shí)際情境,如“康軒版”中的水位線問題.關(guān)于數(shù)學(xué)規(guī)律的探索,不同的教材呈現(xiàn)方式各不相同.“singlee版”教材通過四個(gè)實(shí)例,結(jié)合代數(shù)圓盤來揭示規(guī)律,優(yōu)點(diǎn)是讓學(xué)生能夠借助輔助工具更好地理解規(guī)律.而“人教版”教材則通過幾組算式引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)運(yùn)算規(guī)律,其優(yōu)點(diǎn)在于,通過算式和符號(hào)的改變引導(dǎo)學(xué)生探索規(guī)律,一方面鍛煉了學(xué)生類比分析的數(shù)學(xué)思維能力,同時(shí)也有助于學(xué)生“數(shù)感”與“符號(hào)意識(shí)”的建立.

    有理數(shù)乘法屬于初中“數(shù)與代數(shù)”學(xué)習(xí)的內(nèi)容.《中小學(xué)幼兒園教師培訓(xùn)課程指導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)(義務(wù)教育數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué))》中對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)提出了三級(jí)水平,其中三級(jí)水平的要求分別是:“數(shù)與符號(hào)”內(nèi)容的理解、學(xué)生關(guān)于“數(shù)與符號(hào)”的理解與困惑、“數(shù)與符號(hào)”的教學(xué)設(shè)計(jì).下面,就三版教材的不同設(shè)計(jì),結(jié)合《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》與《指導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)》給出評(píng)析.

    “人教版”教材曾經(jīng)嘗試著用“蝸牛爬行”的情境教學(xué),后來由于此情境涉及的時(shí)空因素,對(duì)學(xué)生的抽象思維能力要求又比較高,反而會(huì)對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)造成干擾.所以舍棄了“勻速直線運(yùn)動(dòng)的情境教學(xué)模式”,選擇了“從正數(shù)×正數(shù)出發(fā)的歸納推理模式”.在上述說明中,“負(fù)負(fù)得正”是不可證明的.因此,教師在運(yùn)用教材的過程中,只需讓學(xué)生理解這種法則是合理的,這是一種規(guī)定性的結(jié)果即可.“人教版”教材相比其他的兩版,更加直觀,不依附于情境,而是開門見山,直接讓學(xué)生找規(guī)律,類比推廣.同時(shí),對(duì)學(xué)生的邏輯思維要求又偏高了一些.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》提出了六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),其中之一是數(shù)學(xué)運(yùn)算.課程標(biāo)準(zhǔn)要求學(xué)生在運(yùn)算過程中,能夠體會(huì)運(yùn)算法則的意義和作用,合理選擇運(yùn)算方法,設(shè)計(jì)運(yùn)算程序,解決問題[1].“人教版”的“負(fù)負(fù)得正”教材設(shè)計(jì)剛好體現(xiàn)了這一點(diǎn).它利用歸納遞減規(guī)則推廣規(guī)律,也給教師留下了更多的發(fā)揮空間,教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)可以自由發(fā)揮,研究如何讓學(xué)生更加深層次思考拋出的問題并發(fā)掘規(guī)律,引導(dǎo)學(xué)生去體會(huì)“負(fù)負(fù)得正”規(guī)則的合理性等.此外,通過運(yùn)算律的類比和推廣,也可以提升學(xué)生的知識(shí)遷移能力,進(jìn)而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目的.

    “負(fù)負(fù)得正”的內(nèi)容對(duì)于學(xué)生而言理解困難,其根本原因在于,在形式化的運(yùn)算中,它是不可能被證明的.數(shù)學(xué)家F·克萊因也曾說:“不要試圖強(qiáng)硬地去證明一個(gè)并不成立的證明.而是用簡(jiǎn)單的例子讓學(xué)生相信,或是讓他們自己弄清楚:從實(shí)際情況來看,承襲性原則所包含的這些約定關(guān)系,恰好是適當(dāng)?shù)?,因?yàn)榭梢缘玫揭恢路奖愕乃惴ǎ渌魏我环N約定,總要強(qiáng)迫我們考慮許多特例.”[2]“康軒版”教材就是通過引入實(shí)際情境,幫助學(xué)生探索“負(fù)負(fù)得正”的數(shù)學(xué)規(guī)律.其數(shù)學(xué)情境的提出也符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,通過四個(gè)循序漸進(jìn)的情境,學(xué)生自己列出算式,確定規(guī)律,總結(jié)歸納.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》提出“建立數(shù)感有助于學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)的意義,理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系”[3].同時(shí),學(xué)生數(shù)感的建立也依賴于現(xiàn)實(shí)的生活情境.“康軒版”教材正是如此,教材中的“水位線升降”問題與M·克萊因解決“負(fù)負(fù)得正”問題的“負(fù)債模型”有異曲同工之妙.雖然該情境類教學(xué)不符合數(shù)學(xué)的邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性,但也切實(shí)可行地幫助了學(xué)生理解負(fù)數(shù)的意義及有理數(shù)乘法法則[4].

    “singlee版”教材的特點(diǎn)在于其引入了一個(gè)“代數(shù)圓盤”的模型,借助“代數(shù)圓盤”的模型,幫助學(xué)生歸納總結(jié)負(fù)數(shù)及乘法運(yùn)算的法則與規(guī)律.教材呈現(xiàn)的基本思路與“人教版”類似,都是先拋出問題,再給出規(guī)則合理性解釋,最后歸納運(yùn)算規(guī)則.但是該版本多了一個(gè)“代數(shù)圓盤”的模型,可以幫助學(xué)生進(jìn)行運(yùn)算,通過“圓盤”的“翻轉(zhuǎn)”來隱喻“相反數(shù)”的概念,也給學(xué)生對(duì)于負(fù)號(hào)的符號(hào)含義理解和認(rèn)識(shí)搭建了一個(gè)“腳手架”.與“人教版”和“康軒版”不同,“singlee版”通過“代數(shù)圓盤”模型替代了符號(hào)的運(yùn)算,也借助模型讓學(xué)生對(duì)于難以證明的“負(fù)數(shù)×負(fù)數(shù)=正數(shù)”的規(guī)則理解地更透徹.正負(fù)運(yùn)算符號(hào)是抽象的,“代數(shù)圓盤”的模型把抽象的符號(hào)形象化,突破了學(xué)生的理解難點(diǎn)與盲區(qū),教師在課堂教學(xué)中也得到了更多發(fā)揮的余地.《指導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)》中提出“建立符號(hào)意識(shí)有助于學(xué)生理解符號(hào)的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的重要形式”.“singlee版”教材借助模型進(jìn)行符號(hào)教學(xué),模型展示后,又引導(dǎo)學(xué)生抽象出符號(hào)進(jìn)行總結(jié)提升,培養(yǎng)了學(xué)生模型抽象與模型解決的能力.

    2?幾點(diǎn)啟示

    有理數(shù)乘法中關(guān)于“負(fù)負(fù)得正”的這部分教材內(nèi)容,將“數(shù)感”與“符號(hào)意識(shí)”的教學(xué)貫穿始終.教師以具體的情境作為發(fā)展核心素養(yǎng)的切入點(diǎn),幫助學(xué)生形成固定的數(shù)學(xué)思維,讓學(xué)生在潛意識(shí)中形成生活情境“數(shù)學(xué)化”的操作,巧妙地利用數(shù)學(xué)課本中的例題,從學(xué)生已有的知識(shí)體系中確定知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn),運(yùn)用有效且思維層級(jí)遞增的情境幫助學(xué)生進(jìn)行思考,提升學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂中的主體作用.增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)和數(shù)學(xué)符號(hào)思維的靈活性,讓學(xué)生多經(jīng)歷有關(guān)數(shù)的活動(dòng)過程,進(jìn)行數(shù)感經(jīng)驗(yàn)的積累.進(jìn)而引領(lǐng)學(xué)生更好的把握數(shù)學(xué)的內(nèi)核,有益于培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

    “singlee版”教材和“康軒版”教材都有對(duì)于數(shù)學(xué)模型的運(yùn)用.“康軒版”教材為“水位線升降的現(xiàn)實(shí)模型”,“singlee版”教材是“代數(shù)圓盤”的圖象模型.在教學(xué)過程中,合理地利用模型和工具不僅可以讓課堂變得豐富多彩,也能夠培養(yǎng)學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)模型的敏感度,為以后函數(shù)的學(xué)習(xí)做好鋪墊.對(duì)于“康軒版”教材的情境,教師在教學(xué)中可直接采用,也可以進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐卣寡由?,如“?fù)債模型”等與數(shù)學(xué)文化相關(guān)的內(nèi)容,拓寬學(xué)生的視野,提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣.

    參考文獻(xiàn)

    中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020修訂)[S].北京:人民教育出版社,2020.[2]孫丹丹,胡錫娥.有理數(shù)乘法教科書設(shè)計(jì)及教學(xué)分析——基于有理數(shù)乘法的歷史[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊,2020(10):15-18.

    [3]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)[S].北京:北京師范大學(xué)出版社,2012:8.[4]張靜.“為什么‘負(fù)負(fù)得正”學(xué)習(xí)探究的課例研討[J].上海中學(xué)數(shù)學(xué),2020(Z2):40-43.

    作者簡(jiǎn)介?肖婧鈺(1998—),女,安徽阜陽人,碩士研究生,研究方向:數(shù)學(xué)教學(xué)論.

    鄭緒妹(1996—),女,安徽蚌埠人,碩士研究生,研究方向:數(shù)學(xué)教學(xué)論.

    王家正(1964—),男,安徽蕪湖人,教授,碩士生導(dǎo)師,研究方向:中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論.

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