韌帶型聲子晶體狄拉克錐特性研究

陳爐云 王 健，崔益烽，孔 慧

(1.上海交通大學 海洋工程國家重點實驗室,上海 200240；2.上海交通大學 海洋智能裝備與系統(tǒng)教育部重點實驗室，上海 200240;3.陸軍裝備部駐南京地區(qū)軍事代表局駐上海地區(qū)第二軍事代表室，上海 200082)

隨著科技發(fā)展，聲學超材料在結構的減振降噪方面得到廣泛應用[1-2].與傳統(tǒng)材料相比，通過微結構功能胞元設計，聲學超材料具有負等效質量密度、負等效體積模量和負剪切模量等特性[3-4].聲子晶體中周期性排列的宏觀介質材料會對聲波產生散射，令其形成具有周期性的能帶結構[5-6].各能帶之間的縫隙稱為聲子帶隙，影響帶隙參數(shù)的因素包括結構參數(shù)、材料參數(shù)、多相材料和界面參數(shù)等.改變聲子晶體的設計參數(shù)可以實現(xiàn)對帶隙結構的調整和操控，提高聲子晶體減振降噪的效果[7-10].在某些聲子晶體的簡約布里淵區(qū)邊界上，存在兩條或多條能帶線性地相交于一點的頻散現(xiàn)象，此交點稱為狄拉克點[11-12].在狄拉克點處將出現(xiàn)贗擴散傳輸、邊緣態(tài)、震顫和聲拓撲絕緣體等物理現(xiàn)象[13-14].

聲子晶體的胞元形式多樣，其中手性韌帶型聲子晶體結構具有典型的負泊松比特性，因此其能帶結構具有一定的特殊性[15-16].目前，韌帶型蜂窩結構的研究成果多集中在因其負泊松比而導致的抗沖擊、減振等特性中[17-20].同時，因手性特性，手性韌帶型聲子晶體不具有C6晶體完美的對稱性，這對聲子晶體的聲傳輸、聲拓撲等問題有重要影響[21-22].而針對手性韌帶型聲子晶體聲拓撲問題的研究較少，對于聲子晶體頻散中出現(xiàn)的狄拉克錐問題的研究還處于探索階段[23-26].因此，開展手性六韌帶型聲子晶體的帶隙特性、拓撲絕緣體特性的研究可以為聲隱形、完美透鏡和單向傳輸?shù)任锢憩F(xiàn)象提供技術支撐.

本文提出一種基于二維手性六韌帶蜂窩晶格型聲子晶體，通過分析其能帶結構和狄拉克頻散特性，獲得聲子晶體的四重偶然簡并狄拉克點.通過調整聲子晶體散射體結構參數(shù)，打破四重偶然簡并并獲得新的方向帶隙，并對能帶反轉特性進行分析.研究成果可以為新型聲學超構材料的設計和工程應用提供技術支持.

1 二維聲子晶體基本理論

1.1 Bloch 定理

聲子晶體是由相同晶胞單元在空間內無限周期性延拓而成，其周期結構的最小周期尺度為晶格常數(shù).聲子晶體的結構周期性由組成聲子晶體的介質材料的彈性常數(shù)及其密度的周期性體現(xiàn)，即

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聲子晶體結構的空間周期性和平移對稱性，使其本征場和本征頻率也具有對稱性.彈性波在聲子晶體中的傳播符合Bloch定理，其位移場滿足如下周期形式：

u(r)=eikruk(r)

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式中：u(r)為與聲子晶體具有相同周期性的矢量函數(shù)；eikr為相位因子；k為波矢，其僅在第一布里淵區(qū)內取值，表示當平移r時波函數(shù)只增加一個eikr.

1.2 聲子晶體能帶結構

利用波矢掃掠聲子晶體不可約布里淵區(qū)可以得到能帶結構.以波矢為橫坐標，以本征值或與其相應的量(如頻率)為縱坐標作圖，可以得到聲子晶體能帶結構或頻散關系.在某些頻率范圍內，聲子晶體能帶結構中不存在任何本征模式且不支持任何形式的彈性波的傳播.聲子晶體帶隙的實質是彈性波能量隨傳播距離的增加而迅速呈指數(shù)衰減.帶隙寬度、對彈性波傳播的衰減能力等是評估聲子晶體材料物理特性的重要指標.

在聲子晶體能帶結構中，在確定頻率范圍內包括q條能帶和j條帶隙.設在第n條能帶和第n+1條能帶之間存在帶隙，且該帶隙對應的下邊界能帶的最大頻率值和上邊界能帶的最小頻率值分別為max(ωn(k))和min(ωn+1(k))，并滿足min(ωn+1(k))>max(ωn(k)).該帶隙寬度和中心頻率分別為

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通過調整聲子晶體的設計參數(shù)和材料組分，可以增大或減小Δωn.

2 六韌帶手性蜂窩材料

六韌帶手性蜂窩材料的胞元為正六邊形晶格結構，單個胞元包括圓柱節(jié)點環(huán)以及與其相切連接的6條韌帶，每條韌帶又循環(huán)連接另一個節(jié)點環(huán)并與之相切.圓柱節(jié)點環(huán)的內部可以填充與韌帶不同的組分材料，其具有明顯的負泊松比特性.

圖1 六韌帶手性聲子晶體及其布里淵區(qū)Fig.1 Diagrams of hexachiral phononic crystal and irreducible Brillouin area

用晶格矢ei定義聲子晶體結構的空間周期性.二維聲子晶體的位置可以根據(jù)晶格矢的線性組合n1e1+n2e2確定，則

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3 數(shù)值計算

3.1 模型概述

以二維三組元六韌帶手性聲子晶體為例，進行固-液型聲子晶體能帶結構的數(shù)值計算.在COMSOL Multiphysics 5.4有限元軟件平臺上，依次通過確定晶格常數(shù)，實施幾何建模，進行有限元劃分，選擇聲學材料，定義周期性邊界條件和選取物理場后，對特征頻率進行路徑掃描，可以獲得聲子晶體的能帶結構.

聲子晶體由圓柱體、韌帶散射體和基體組成，且a=8 mm.聲子晶體韌帶和鋼柱體的外包覆物材料均為環(huán)氧樹脂，圓柱體材料為鋼，基體材料為水.圖2為二維六韌帶手性聲子晶體胞元的外形及其網(wǎng)格模型.各材料力學參數(shù)包括:水密度為 1 000 kg/m3,聲速為1 480 m/s；環(huán)氧樹脂密度為 1 300 kg/m3,聲速為 2 830 m/s；鋼密度為 7 850 kg/m3,聲速為 5 760 m/s.

圖2 二維聲子晶體模型和網(wǎng)格分布Fig.2 Finite element model and grid distribution of 2D phononic crystal

3.2 聲子晶體帶隙結構計算

確定聲子晶體結構參數(shù)后，在布里淵區(qū)對聲子晶體特征頻率進行參數(shù)化掃描可以計算聲子晶體的能帶結構，掃描路徑為K→Γ→M→K.在數(shù)值計算中，對前8條能帶進行分析.

調整聲子晶體散射體結構參數(shù)r0、tc和tl，可以得到具有四重偶然簡并態(tài)的雙狄拉克錐，并將其作為初模型.初模型聲子晶體參數(shù)：r0=1.31 mm，tc=0.35 mm，tl=0.45 mm.

圖3(a)為具有四重偶然簡并雙狄拉克錐手性蜂窩晶格聲子晶體的頻散關系.聲子晶體的第3條至第6條能帶在頻率f=218 795.6 Hz 處出現(xiàn)閉合，形成四重偶然簡并狄拉克點(點D)，在布里淵區(qū)中心表現(xiàn)出雙狄拉克錐特征.圖3(b)為狄拉克點附近能帶結構放大圖.在四重簡并點附近，頻散關系呈線性，4條能帶近似合并為2條線性能帶.

圖3 初模型聲子晶體帶隙曲線圖Fig.3 Band gap diagrams of phononic crystal for initial model

在第1條和第2條能帶之間以及第6條和第7條能帶之間分別存在1條完全帶隙，帶隙頻率參數(shù)如表1所示.

表1 聲子晶體帶隙頻率Tab.1 Frequency of phononic crystal of band gaps Hz

3.3 四重偶然簡并態(tài)的打開

針對圖3所示的雙狄拉克錐問題，將tl定義為設計變量，分析韌帶厚度參數(shù)對能帶結構帶隙變化的影響.以初模型的設計參數(shù)為基礎，固定聲子晶體晶格常數(shù)不變，增大或減小韌帶厚度.數(shù)值計算表明，通過調整胞元韌帶厚度可以打開雙狄拉克錐.

設模型A和B的韌帶厚度分別為tlA=0.4 mm和tlB=0.5 mm.分別計算模型A和B兩種聲子晶體的能帶結構，如圖4所示.其中，EAL、EAU和EBL、EBU分別為模型A和B的二重簡并點.

圖4 模型A和B聲子晶體帶隙曲線圖Fig.4 Band gap diagrams of phononic crystal for models A and B

由圖4可知，增大或減小韌帶厚度，能帶結構中的四重簡并態(tài)消失.同時，隨著四重簡并態(tài)的打開，第1條和第2條帶隙的帶隙寬度以及帶隙中心頻率均發(fā)生變化(見表1).在布里淵區(qū)中心，四重簡并態(tài)的雙狄拉克錐打開為2條二重簡并能態(tài)，并形成1條方向帶隙.

在模型A和B中，打開的方向帶隙寬度(fv)分別為 1 557.0 Hz 和 1 636.8 Hz.取tl∈[0.35 mm,0.55 mm]，步長 Δtl=0.01 mm.對比韌帶厚度與方向帶隙寬度的關系，如圖5所示.

圖5 韌帶厚度與方向帶隙寬度關系圖Fig.5 t1 versus fv

由圖5可知，在tl=0.45 mm處，由于出現(xiàn)雙狄拉克錐，所以fv=0；隨著韌帶厚度的增大或減小，fv近似呈線性變化，且韌帶厚度的增大對fv的變化更為敏感.

4 能帶反轉

聲子晶體設計參數(shù)的調整會破壞初模型聲子晶體中的四重偶然簡并特性.模型A和B聲子晶體在布里淵區(qū)中心處的2個雙重簡并態(tài)的聲壓場分布如圖6所示，圖中數(shù)據(jù)為正、負聲壓相對值.

圖中，在布里淵區(qū)中心出現(xiàn)兩種類似于電子p和d軌道的雙重簡并態(tài)，且均具有一對偶極模式和一對四極模式.在模型A中，p態(tài)位于低頻帶而d態(tài)位于高頻帶；在模型B中，p態(tài)位于高頻帶而d態(tài)位于低頻帶.可知，從模型A到B，聲子晶體的韌帶厚度增加并超過初模型的參數(shù)值，實現(xiàn)了模型A與B聲子晶體之間的能帶反轉，使聲子晶體從拓撲平庸相轉變?yōu)橥負浞瞧接瓜?結合圖3～5可知，初模型的韌帶厚度值為一個突變點，即能帶反轉的臨界點.這表明，狄拉克點所對應的結構設計參數(shù)對研究聲子晶體能帶特性具有重要意義.此外，由于六韌帶聲子晶體不具有完全的鏡像對稱性以及C6晶體對稱性，所以圖6中的偶極模式(px和py)和四極模式(dxy和dx2-y2)不再關于x軸和y軸完美對稱.

圖6 聲子晶體在布里淵區(qū)中心的本征模式聲壓場分布Fig.6 Distributions of pressure field for eigenmodes in the center of Brillouin zone

5 結語

以六韌帶手性蜂窩晶格聲子晶體為研究對象，建立求解聲子晶體能帶結構的數(shù)學模型.通過有限元方法計算二維聲子晶體的帶隙，獲得蜂窩晶格聲子晶體的四重偶然簡并狄拉克點.固定蜂窩晶格聲子晶體的晶格常數(shù)不變，調節(jié)晶體胞元的結構參數(shù)實現(xiàn)狄拉克點的打開并產生能帶反轉，驗證設計參數(shù)對手性韌帶聲子晶體聲拓撲相變的影響規(guī)律.研究成果為韌帶型聲子晶體在低頻減振降噪中的應用提供理論依據(jù).