數(shù)形結(jié)合思想在必修一函數(shù)中的應(yīng)用

孫艷霞

1緒論

數(shù)學(xué)是一門隨著人類社會(huì)發(fā)展而發(fā)展起來(lái)的科學(xué)，而數(shù)學(xué)思想方法則可以說(shuō)是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)最為深刻、最為本質(zhì)的概括及認(rèn)識(shí)。以北師大版高中數(shù)學(xué)教材為載體，本文僅對(duì)數(shù)形結(jié)合思想在必修一函數(shù)中的應(yīng)用展開剖析與討論。

數(shù)的基本特點(diǎn)是嚴(yán)謹(jǐn)與抽象，形的基本特點(diǎn)是直觀與形象，將數(shù)與形分離開來(lái)，有它們獨(dú)立的優(yōu)勢(shì)，卻也存在著各自的不足。僅有數(shù)字而缺少圖形，會(huì)失去直觀性;僅有形狀而缺少數(shù)字，則難以細(xì)致地進(jìn)行闡述。將數(shù)與形統(tǒng)一起來(lái)，可以達(dá)到嚴(yán)謹(jǐn)與直觀、抽象與形象的有機(jī)統(tǒng)一。數(shù)形結(jié)合思想幾乎貫穿了整個(gè)高中數(shù)學(xué)內(nèi)容，是數(shù)學(xué)中最關(guān)鍵、最根本的思想，能夠特別有效地處理諸多繁雜的數(shù)學(xué)問題。

2數(shù)形結(jié)合思想在必修一函數(shù)中的應(yīng)用

函數(shù)是高中代數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容。高考中對(duì)函數(shù)圖像的考察形式也是多種多樣。函數(shù)數(shù)量特征與圖象的幾何特征緊密結(jié)合，通過借助圖象來(lái)研究與討論函數(shù)性質(zhì)是一種常用的方法，這也被認(rèn)為是最為簡(jiǎn)單易懂的方法。在函數(shù)教學(xué)中應(yīng)更加有意識(shí)地完善、補(bǔ)充這一內(nèi)容，同時(shí)也能達(dá)到讓學(xué)生識(shí)圖、作圖、用圖的多重教學(xué)目的。

2.1單調(diào)性

利用函數(shù)圖像的“上升”與“下降”的特點(diǎn)，引導(dǎo)出“增函數(shù)”與“減函數(shù)”的概念，以直觀圖像作為抽象概念的橋梁，學(xué)生將更易理解函數(shù)的單調(diào)性。這里要說(shuō)明的是，單調(diào)性僅僅是函數(shù)的局部概念，在提起單調(diào)性的時(shí)候一定要指明其對(duì)應(yīng)的單調(diào)區(qū)間。

但要注意的是，圖像法僅能用于單調(diào)性的判定，不能用于嚴(yán)格的證明。

2.2奇偶性

與單調(diào)性有所區(qū)別的是，奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)。可以通過考察一些簡(jiǎn)單函數(shù)的圖像，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖像的對(duì)稱性，引導(dǎo)出奇函數(shù)、偶函數(shù)的概念。通過對(duì)比圖像，激發(fā)起學(xué)生的求知欲，并進(jìn)一步提高學(xué)生的歸納總結(jié)能力。

如果能夠作出函數(shù)的圖象，則可以直接觀察圖象的對(duì)稱性，奇偶性的判斷將會(huì)更加清晰明了。

2.3最值

函數(shù)最值的概念包含了新學(xué)的知識(shí)——單調(diào)性，對(duì)于一些未知解析式的的函數(shù)，學(xué)會(huì)運(yùn)用單調(diào)性求解最值十分重要。

根據(jù)題設(shè)條件將函數(shù)化為分段函數(shù)，或者符合題意的其他函數(shù)，再利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解。尤其是對(duì)于填空題求最值這類題，利用圖像方便快捷，更能提高正確率，不妨一試。

2.4函數(shù)增長(zhǎng)的比較

在學(xué)習(xí)各類初等函數(shù)的圖像與性質(zhì)時(shí)，通常利用一些已知的簡(jiǎn)單函數(shù)的圖像，由特殊到一般，進(jìn)行探索歸納。根據(jù)直觀的圖像，更是可以直接對(duì)比出不同類型函數(shù)增長(zhǎng)趨勢(shì)的快慢程度。

通過對(duì)具體函數(shù) 圖像的對(duì)比（只考慮當(dāng) 時(shí)的情況），我們可以體會(huì)到冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)這三類函數(shù)增長(zhǎng)趨勢(shì)的快慢程度。

如圖3所示，對(duì)數(shù)函數(shù) 增長(zhǎng)速度逐漸變慢;冪函數(shù) 增長(zhǎng)逐漸變快;當(dāng)自變量 大于某個(gè)固定的值 時(shí)，指數(shù)函數(shù) 的增長(zhǎng)速度大于冪函數(shù) ，呈現(xiàn)“爆炸型增長(zhǎng)”。

3數(shù)形結(jié)合思想的滲透

3.1在教學(xué)活動(dòng)中滲透

在問題的發(fā)現(xiàn)、概念的理解、性質(zhì)的探索、公式的推導(dǎo)的過程中，無(wú)處不蘊(yùn)含著數(shù)形結(jié)合思想。特別是在探索新知識(shí)時(shí)，要注重學(xué)生親自參與，培養(yǎng)其獨(dú)立思考的學(xué)習(xí)習(xí)慣，感受探索與發(fā)現(xiàn)的的學(xué)習(xí)樂趣。在進(jìn)行學(xué)滲透的過程中，要注意的是：

（1）學(xué)習(xí)數(shù)形結(jié)合思想是要圍繞總教學(xué)目標(biāo)進(jìn)行、為總教學(xué)目標(biāo)服務(wù)的，因此要把握好教學(xué)的重點(diǎn)，不能顧此失彼。

（2）知識(shí)的引入要能引發(fā)學(xué)生的興趣和求知欲，若學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想全無(wú)興趣，滲透的效果將會(huì)大打折扣。

（3）識(shí)圖與作圖的過程需要被充分正視。識(shí)圖的過程雖然簡(jiǎn)單卻不能忽略，正確認(rèn)識(shí)圖形是學(xué)生理解幾何意義的前提。而作圖的準(zhǔn)確程度對(duì)理解與吸收學(xué)習(xí)內(nèi)容起著關(guān)鍵性的影響。

（4）要學(xué)習(xí)美術(shù)中的“留白”藝術(shù)，給學(xué)生以思考消化的時(shí)間，不能讓教師代替學(xué)生學(xué)習(xí)的過程，直接給以圖像與性質(zhì)總結(jié)。要讓學(xué)生親自動(dòng)手作圖，體驗(yàn)圖像的異同點(diǎn)

3.2在應(yīng)用練習(xí)中鞏固

問題的解決過程是滲透數(shù)形結(jié)合思想的重要環(huán)節(jié)。學(xué)生參與解題，親身體驗(yàn)解題方法的探索過程與應(yīng)用過程，才能對(duì)數(shù)形結(jié)合思想有更深刻的理解，而不是對(duì)浮于表面，讓錯(cuò)題一錯(cuò)再錯(cuò)。同時(shí)，教師也要加以適當(dāng)引導(dǎo)，是學(xué)生明白適合用數(shù)形結(jié)合思想的題型，以及對(duì)應(yīng)解題的突破口，如此數(shù)形結(jié)合思想才能發(fā)揮更好的效果。

3.3在反思總結(jié)中升華

反思是對(duì)自身已有的知識(shí)系統(tǒng)進(jìn)行再次認(rèn)識(shí)的過程，是一個(gè)能力提升的環(huán)節(jié)。通過不斷深入的反思，可以逐步將知識(shí)內(nèi)化到學(xué)生自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)體系中去。

反思是需要學(xué)生自發(fā)、主動(dòng)的工作，主要可以從課后糾錯(cuò)來(lái)進(jìn)行，根據(jù)學(xué)生個(gè)人的情況，對(duì)自己的薄弱點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)進(jìn)行再練習(xí)、再積累，從而進(jìn)行鞏固。而教師的概括總結(jié)可以從如下方面進(jìn)行：

（1）對(duì)蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合思想知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行全面完整的總結(jié)。

（2）點(diǎn)明適用于數(shù)形結(jié)合思想求解題的題型，以及如何尋找突破口。

（3）著重說(shuō)明應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想需要注意的事項(xiàng)，如作圖須嚴(yán)謹(jǐn)?shù)葐栴}。

在教學(xué)中，教師需要經(jīng)常性地對(duì)知識(shí)點(diǎn)和思想方法進(jìn)行回顧、總結(jié)、反思，幫助學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識(shí)、內(nèi)化思想方法、拓寬解題思路，從而獲得學(xué)生思維能力的升華。