工科線性代數(shù)教學(xué)方法研究

孔 翔 宇

(咸陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西 咸陽 712000)

《線性代數(shù)》課程是理工經(jīng)管類專業(yè)的專業(yè)基礎(chǔ)課，如何上好《線性代數(shù)》對(duì)于大學(xué)生教育教學(xué)質(zhì)量起到了至關(guān)重要的作用[1-5]。目前在《線性代數(shù)》課程的教學(xué)方法上有許多種建議，主流思想是伴隨著現(xiàn)在“互聯(lián)網(wǎng)+”的出現(xiàn)，教師和學(xué)生應(yīng)該充分應(yīng)用互聯(lián)網(wǎng)、多媒體等資源，顛覆傳統(tǒng)的教學(xué)方法，充分利用慕課、翻轉(zhuǎn)課堂等手段，以及利用微信、公眾號(hào)等資源進(jìn)行教學(xué)和學(xué)習(xí)，完全顛覆了傳統(tǒng)的板書式教學(xué)方法，忽略了《線性代數(shù)》特點(diǎn)。本文以理工科同濟(jì)大學(xué)第七版的《線性代數(shù)》教學(xué)內(nèi)容為主，采用板書式教學(xué)方法對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行分析研究。

一、行列式

在同濟(jì)大學(xué)第七版的《線性代數(shù)》的教學(xué)內(nèi)容中，與第四版不同之處在于將克拉默法則由第一章放到了第二章，這樣第一章的教學(xué)內(nèi)容就只剩下5小節(jié)，主要是講述行列式的定義、行列式的性質(zhì)和行列式按行或按列展開定理。在這一章的教學(xué)過程中，以往作者也采用過多媒體課件教學(xué)方法，可以通過多媒體課件更形象化進(jìn)行教學(xué)，同時(shí)由于高階行列式的書寫非常麻煩，利用多媒體課件就可以不用書寫，直接在ppt上進(jìn)行展示，課堂教學(xué)進(jìn)度也得到了很大的提升，教師在上課的時(shí)候相對(duì)傳統(tǒng)的板書式教學(xué)減輕了很大一部分工作量，但在利用多媒體課件進(jìn)行教學(xué)時(shí)，不能忽略的一個(gè)缺點(diǎn)是沒有仔細(xì)精致的分步驟演算過程。在介紹n階行列式的定義時(shí)，如果利用板書式教學(xué)方法，就可以非常形象的由2階行列式和3階行列式出發(fā)，進(jìn)一步的推導(dǎo)出n階行列式的定義。對(duì)于行列式的性質(zhì)，每一個(gè)性質(zhì)及其推論都需要進(jìn)行詳細(xì)的推導(dǎo)，在板書上進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生可以仔細(xì)觀察推演過程，同時(shí)教師推導(dǎo)，就會(huì)留有時(shí)間給學(xué)生進(jìn)行充分的思考，保證了教學(xué)效果。在行列式按行或按列展開定理的講授中，利用板書式教學(xué)方法能有效的區(qū)分行列式的余子式和代數(shù)余子式之間的區(qū)別和聯(lián)系，如果利用多媒體課件進(jìn)行教學(xué)，有可能只是在ppt上進(jìn)行簡單演示，而忽略了教學(xué)內(nèi)容的重點(diǎn)。利用板書則能通過具體小例子的引入加深同學(xué)們對(duì)行列式的余子式和代數(shù)余子式的認(rèn)識(shí)，更深刻地理解行列式按行或按列展開定理。

二、矩陣及其運(yùn)算

在矩陣的教學(xué)中，首先介紹矩陣與行列式之間的區(qū)別和聯(lián)系，矩陣的是一個(gè)數(shù)表，而行列式是一個(gè)數(shù)。既然矩陣表示的是一個(gè)數(shù)表，那么對(duì)于矩陣而言，如果兩個(gè)矩陣相等，就需要兩個(gè)矩陣的行數(shù)和列數(shù)一定要相等，并且對(duì)應(yīng)元素也要一樣。而行列式的相等是只要兩個(gè)行列式的最終結(jié)果是一樣的就可以，沒有要求兩個(gè)行列式的階數(shù)必須相同。在矩陣和行列式的對(duì)比中，可以發(fā)現(xiàn)矩陣的行數(shù)和列數(shù)不一定相等，既可以行數(shù)大，也可以列數(shù)大，也可以相等，但行列式要求行數(shù)和列數(shù)一定要相等，這就自然而然的帶來一個(gè)思考行數(shù)和列數(shù)相等的矩陣與同階數(shù)的行列式之間有什么樣的關(guān)系，這就需要我們引入行列式與方陣之間的性質(zhì)。一定要注意矩陣的階數(shù)在計(jì)算過程中起到的作用，在此處教學(xué)中可以在板書上進(jìn)行計(jì)算，闡述數(shù)和矩陣相乘等價(jià)于矩陣的每個(gè)元素都乘與這個(gè)數(shù)，而數(shù)與行列式相乘等價(jià)于數(shù)和行列式的某一行或某一列相乘，這是矩陣和行列式的本質(zhì)差別。在計(jì)算矩陣的逆矩陣時(shí)，需要注意矩陣的逆矩陣的計(jì)算和矩陣的行列式和伴隨矩陣有關(guān)系，其中矩陣的行列式作為了分母，這就說明如果矩陣的行列式等于零，那么矩陣的逆矩陣不存在，也即矩陣可逆的充要條件是矩陣行列式不等于零。同時(shí)要注意伴隨矩陣是元素代數(shù)余子式的轉(zhuǎn)置構(gòu)成的，這個(gè)就需要掌握行列式的代數(shù)余子式的概念。在矩陣的分塊法的教學(xué)中，可以通過板書展示，對(duì)于矩陣而言其分塊方法有很多種，不要局限于某一固定方法，只要是有利于計(jì)算的分塊方法都可行的。

三、矩陣的初等變換與線性方程組

首先要講授的是矩陣的初等變換，初等行變換和初等列變換各有三種：交換兩行、用不等于零的數(shù)乘矩陣的某一行和用數(shù)乘某一行加到另一行上去。每一種初等變換對(duì)應(yīng)于一種初等矩陣，并且初等矩陣都是可逆矩陣，左乘一個(gè)初等矩陣等于對(duì)矩陣進(jìn)行了一次初等行變換，右乘一個(gè)初等矩陣等于對(duì)矩陣進(jìn)行了一次初等列變換。對(duì)于任何一個(gè)可逆矩陣而言，逆矩陣是有限個(gè)初等矩陣的乘積。矩陣的初等變換里面通過板書進(jìn)行行階梯形矩陣和行最簡形矩陣的介紹，說明這兩種形式的矩陣在以后的教學(xué)中占有重要的地位。矩陣的秩等于行階梯形矩陣的非零行的行數(shù)，同時(shí)要給出矩陣的秩的相關(guān)證明。在矩陣的秩的證明過程中，一定要用板書進(jìn)行教學(xué)，一方面對(duì)證明過程進(jìn)行梳理，另一方面要給出相應(yīng)的小例子來說明結(jié)果的正確性，使學(xué)生真正掌握知識(shí)。在線性方程組的教學(xué)過程中，首先需要學(xué)生分清楚什么是齊次線性方程組，什么是非齊次線性方程組。對(duì)于齊次線性方程組而言，它的解一定存在，因?yàn)橹辽倭闶撬囊粋€(gè)解，那我們對(duì)于齊次線性方程組就需要考慮在什么時(shí)候有非零解的存在，這就需要聯(lián)系矩陣秩的定義。而對(duì)于非齊次線性方程組而言，它的解情況就可以有三種，一種是無解、一種是唯一解、一種是無窮多解，這三種解也和方程組的系數(shù)矩陣的秩和增廣矩陣的秩有直接關(guān)系。通過板書式教學(xué)，逐步迭代運(yùn)算，加強(qiáng)學(xué)生邏輯推理能力和計(jì)算能力的培養(yǎng)。

四、向量組的線性相關(guān)性

首先講授的是向量組和線性組合，在這里面需要注意的是矩陣是由若干個(gè)行向量組構(gòu)成的，也可以看成是由若干個(gè)列向量組組成的，因此對(duì)于向量組的討論也可以轉(zhuǎn)化為對(duì)矩陣的討論，這就等價(jià)于第二章、第三章的矩陣相關(guān)的知識(shí)在第四章仍然是適用的。在這一章的教學(xué)中，第一個(gè)需要掌握的知識(shí)點(diǎn)就是向量組的最大無關(guān)組，本質(zhì)是因?yàn)榫仃嚩际怯邢蘧S的向量構(gòu)成的集合，但對(duì)于無限維的向量構(gòu)成的向量組的研究，就需要引入向量組的最大無關(guān)組的定義，將有限維向量組拓展到無限維向量組，通過這一工具就能研究更廣闊空間的向量組。在講授線性方程組的結(jié)構(gòu)時(shí)，重點(diǎn)講授基礎(chǔ)解系的概念，需要強(qiáng)調(diào)的是線性方程組的基礎(chǔ)解系不唯一，只要是相互線性無關(guān)的向量就可以，通過寫出線性方程組的基礎(chǔ)解系可以給出線性方程組的通解。本章最重要的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)就是向量組的線性相關(guān)性。在介紹向量組建的線性相關(guān)性時(shí)，闡述線性相關(guān)與線性無關(guān)的定義。對(duì)于只有一個(gè)向量的向量組而言，只要它不是零向量，那就一定是線性無關(guān)的，而如果是零向量那就一定是線性相關(guān)的。對(duì)于兩個(gè)向量構(gòu)成的向量組如果線性相關(guān)，那么這兩個(gè)向量對(duì)應(yīng)成比例，同時(shí)這兩個(gè)向量也是共線向量。對(duì)于三個(gè)向量構(gòu)成的向量組如果線性相關(guān)，那么這三四個(gè)向量是共面向量。在講授式可以采用板書式教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生理解向量組的線性相關(guān)性。

五、相似矩陣及二次型

首先由高中階段的向量的內(nèi)積、夾角、長度等定義出發(fā)將其過度到向量空間中的內(nèi)積、夾角、長度，同時(shí)需要學(xué)生掌握向量組的正交性以及向量組的施密特正交化過程的計(jì)算方法。其次就是講授方陣的特征值與特征向量，對(duì)于方陣而言，在復(fù)數(shù)域內(nèi)方陣是幾階的其特征值就有幾個(gè)，同時(shí)對(duì)于方陣的相應(yīng)于特征值的特征向量一定是非零向量，這里面說明特征向量也不是唯一的，特征向量有很多，但一定不能用零乘特征向量作為矩陣的特征向量。在講授相似矩陣對(duì)角化時(shí)，要通過引入正交矩陣的概念來闡述怎樣將對(duì)稱矩陣對(duì)角化，最后需要講授的是矩陣的二次型，在二次型的講授中，需要說明什么是正定二次型，什么是負(fù)定二次型以及如何判斷?？梢酝ㄟ^矩陣的順序主子式來判定二次型，只要順序主子式都大于等于零，則是正半定二次型，若順序主子式全部都大于零，則是正定二次型。同時(shí)需要學(xué)生掌握配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型。上述內(nèi)容通過板書式教學(xué)展示，學(xué)生能充分理解問題的推導(dǎo)過程以及計(jì)算過程，有利于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和學(xué)習(xí)興趣，能夠促進(jìn)《線性代數(shù)》這門課程的教學(xué)，對(duì)學(xué)生后續(xù)專業(yè)課的學(xué)習(xí)起到推動(dòng)作用。