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    正本清源理脈絡(luò)熟能生巧解函數(shù)

    2021-12-05 03:34:43施康琪
    初中生世界 2021年15期
    關(guān)鍵詞:洗手液對稱軸表達式

    文 施康琪

    函數(shù)是用來刻畫現(xiàn)實世界變量關(guān)系的模型,概念較為抽象。而二次函數(shù)相較一次函數(shù)、反比例函數(shù),表達方式更多樣,圖形更復(fù)雜,因此,涉及的考點也較多。下面,我們針對具體的中考題,圍繞這些考點,談?wù)劷鉀Q策略。

    一、巧用二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)

    例1(2020·黑龍江齊齊哈爾)如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于點(4,0),其對稱軸為直線x=1,結(jié)合圖像給出下列結(jié)論:①ac<0;②4a-2b+c>0;③當x>2時,y隨x的增大而增大;④關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數(shù)根。其中正確的結(jié)論有( )。

    A.1個 B.2個 C.3個 D.4個

    【解析】通過函數(shù)圖像,我們可以知道函數(shù)的開口方向、增減性、對稱性;通過具體的對稱軸以及與x軸的交點坐標,我們可以把圖形補充完整,順利地求得函數(shù)圖像與x軸的另一交點,這是典型的利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題的方法。審題時,我們不僅要利用好函數(shù)圖像,更要關(guān)注圖中x=1和數(shù)字4這兩個細節(jié)所帶來的隱藏作用。

    ①拋物線開口向上,故a>0;拋物線與y軸交于負半軸,故c<0,因此ac<0。①正確。

    ②令x=-2,則y=4a-2b+c,所以想到去尋求橫坐標為-2的點。圖中與x軸的一個交點為(4,0),結(jié)合拋物線的對稱軸為x=1,易知拋物線與x軸另一個交點為(-2,0),于是有4a-2b+c=0。②錯誤。

    ③由圖像可知,當x>1時,y隨x的增大而增大。③正確。

    ④拋物線與x軸有兩個不同交點,因此關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數(shù)根。④正確。

    故選C。

    【點評】本題是利用二次函數(shù)性質(zhì)解決參數(shù)相關(guān)問題,解決這類問題,除了要掌握相關(guān)知識點之外,更要仔細觀察圖像中的每一個顯性條件(數(shù)字、點坐標)和隱性條件(增減性、對稱性),不放過每一個細節(jié)。

    二、求二次函數(shù)表達式

    1.待定系數(shù)法。

    例2(2020·四川成都)拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A(-1,0)、B(4,0)兩點,與y軸交于點C(0,-2)。求拋物線的函數(shù)表達式。

    【解析】A(-1,0)、B(4,0)是拋物線與x軸的交點,因此首選交點式。

    設(shè)y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),則x1=-1,x2=4,代入(0,-2),得a(0+1)(0-4)=-2,解得a=

    【總結(jié)】若已知拋物線任意三點坐標,且這三點沒有明顯特殊性,則采用一般式y(tǒng)=ax2+bx+c(a≠0);若已知拋物線頂點坐標或?qū)ΨQ軸,則可采用頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k(a≠0);若已知拋物線與x軸的兩個交點坐標,則可設(shè)交點式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)。

    2.利用平移,直接求表達式。

    例3(2020·黑龍江哈爾濱)將拋物線y=x2向上平移3個單位長度,再向右平移5個單位長度,所得到的拋物線為( )。

    A.y=(x+3)2+5 B.y=(x-3)2+5 C.y=(x+5)2+3 D.y=(x-5)2+3

    【解析】由“上加下減”的原則,將拋物線向上平移3個單位長度,得y=x2+3;由“左加右減”的原則,將拋物線y=x2+3向右平移5個單位長度,得y=(x-5)2+3。故選D。

    【點評】本題考查的是函數(shù)圖像的平移。這類題一般先將二次函數(shù)轉(zhuǎn)化為頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k,再巧用口訣“上加下減,左加右減”解題。重點要注意“上加下減”是在k后面加減,而“左加右減”是指在括號里對x進行加減。

    三、運用二次函數(shù)解決實際生活中的最值問題

    例4(2020·遼寧撫順)超市銷售某品牌洗手液,進價為每瓶10元。在銷售過程中發(fā)現(xiàn),每天銷售量y(瓶)與每瓶售價x(元)之間滿足一次函數(shù)關(guān)系(其中10≤x≤15,且x為整數(shù)),當每瓶洗手液的售價是12元時,每天銷售量為90瓶;當每瓶洗手液的售價是14元時,每天銷售量為80瓶。

    (1)求y與x之間的函數(shù)表達式;

    (2)設(shè)超市銷售該品牌洗手液每天銷售利潤為W元,當每瓶洗手液的售價定為多少元時,超市銷售該品牌洗手液每天銷售利潤最大?最大利潤是多少元?

    【解析】(1)根據(jù)已知的一次函數(shù)關(guān)系,直接用待定系數(shù)法求解即可;

    (2)根據(jù)利潤表達式(總利潤=單件利潤×數(shù)量)表示出二次函數(shù)表達式,再根據(jù)二次函數(shù)的增減性以及實際要求,確定最值。

    解:(1)設(shè)y與x的函數(shù)表達式為y=kx+b(k≠0)。根據(jù)題意,得∴y與x的函數(shù)表達式為y=-5x+150,10≤x≤15,且x為整數(shù)。

    (2)根據(jù)題意,得W=(x-10)(-5x+150)=-5(x-20)2+500,∵a=-5<0,∴當x<20時,W隨著x的增大而增大?!?0≤x≤15且x為整數(shù),∴當x=15時,W有最大值,即W=-5(15-20)2+500=375。

    答:當每瓶洗手液的售價定為15元時,超市銷售該品牌洗手液每天銷售利潤最大。最大利潤為375元。

    【點評】本題是銷售類的經(jīng)典題型,難點、易錯點主要在第(2)問,即如何求最大利潤。二次函數(shù)求最值主要有兩種方法:一是配方法,利用頂點式的頂點坐標求最值;二是公式法,當時,最值為。值得注意的是,在實際問題中,往往要先確定自變量的取值范圍,根據(jù)實際意義,結(jié)合圖像增減性,求出最值。

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