排除表面干擾洞察問題本質(zhì)

文 唐榮喜

函數(shù)本身的抽象性和形式化，使得我們在學習函數(shù)知識時，有時會出現(xiàn)只知其表面，不能洞察其本質(zhì)的現(xiàn)象，從而造成知識間的混淆不清。本文就同學們?nèi)菀壮鲥e的問題進行分類剖析，以幫助大家更好地復習函數(shù)。

一、概念理解不清

在展現(xiàn)一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的概念時，教材給出了三種形式化的定義。因此，在解決某些含參數(shù)的函數(shù)問題時，我們要注意挖掘定義中有關(guān)系數(shù)的隱藏條件，否則就會因為考慮不周導致解題出錯。

例1若函數(shù)y=（m-3）xm2+2m-14-5是一次函數(shù)，則m=。

【錯解】因為已知函數(shù)是一次函數(shù)，所以m2+2m-14=1，解得m=3或-5。

【剖析】錯解只考慮了最高次項的次數(shù)是1，忽視了一次項系數(shù)不為0這一隱藏條件，從而導致出錯。

【正解】根據(jù)題意，得m2+2m-14=1，解得m=3或-5。但已知函數(shù)是一次函數(shù)，所以m-3≠0，即m≠3，故m的值只能是-5。

二、函數(shù)性質(zhì)掌握不牢

在解題時，我們常常會因為對函數(shù)性質(zhì)的理解產(chǎn)生混淆或者偏差而導致解題錯誤。三種函數(shù)的性質(zhì)各有不同，我們在復習的過程中要注意區(qū)別，可以借助圖像的直觀性理解函數(shù)的性質(zhì)。

例2已知一次函數(shù)y=kx+b中，自變量x的取值范圍是-1＜x＜5時，相應(yīng)函數(shù)值的取值范圍是-3＜y＜9，求此函數(shù)的表達式。

【錯解】由題意可知，當x=-1時，y的對應(yīng)值是-3；當x=5時，y的對應(yīng)值是9。將x=-1，y=-3和x=5，y=9分別代入y=kx+b中，得從而所求函數(shù)的表達式是y=2x-1。

【剖析】錯解只考慮了函數(shù)圖像上升（k＞0）的情況，而忽視了函數(shù)在當k＜0時變量之間不同的對應(yīng)關(guān)系。顯然k≠0。

【正解】當k＞0時，y隨著x的增大而增大。所以，當x=-1時，y的對應(yīng)值是-3；當x=5時，y的對應(yīng)值是9。將x=-1，y=-3和x=5，y=9分別代入y=kx+b中，得解得從而所求函數(shù)的表達式是y=2x-1。

當k＜0時，y隨著x的增大而減小。所以，當x=-1時，y的對應(yīng)值是9；當x=5時，y的對應(yīng)值是-3。將x=-1，y=9和x=5，y=-3分別代入y=kx+b中，得解 得從而所求函數(shù)的表達式是y=-2x+7。

所以所求函數(shù)的表達式是y=2x-1或y=-2x+7。

例3已知反比例函數(shù)的圖像上的三點A（-3，y1）、B（-2，y2）、C（1，y3），則下列關(guān)系成立的是（ ）。

A.y1＜y2＜y3B.y3＜y2＜y1

C.y2＜y1＜y3D.y3＜y1＜y2

【錯解】因為反比例函數(shù)的比例系數(shù)k=m2+1＞0，故y隨著x的增大而減小，而-3＜-2＜1，所以y3＜y2＜y1。故選B。

【剖析】我們知道，反比例函數(shù)的比例系數(shù)k＞0時，在每個象限內(nèi)y隨著x的增大而減小，而本題中點A、B、C并不在同一個象限，故不能完全用增減性解決問題。

【正解】因為反比例函數(shù)的比例系數(shù)k=m2+1＞0，所以點C在第一象限，點A、B在第三象限，從而確定y3＞0，y1＜0，y2＜0。在第三象限內(nèi)，y隨著x的增大而減小，而-3＜-2，故y2＜y1，所以y2＜y1＜0＜y3。故選C。

例4已知二次函數(shù)當0≤x≤3時，函數(shù)值y的取值范圍是 。

【錯解】當x=0時，y=0；當x=3時。所以y的取值范圍是

【剖析】結(jié)合函數(shù)圖像，我們知道，當0≤x≤3時，函數(shù)值y隨著x的增大并沒有持續(xù)地增大，所以錯解抓住兩個特殊值求y的取值范圍是錯誤的。

【正解】首先求得函數(shù)的對稱軸是直線x=1，頂點坐標是。所以當0＜x＜1時，y隨著x的增大而減?。划?＜x＜3時，y隨著x的增大而增大。結(jié)合函數(shù)圖像，可知當0≤x≤3時，y的最小值是，最大值是當x=3時y的對應(yīng)值所以y的取值范圍是

三、忽視問題的實際意義

在利用函數(shù)解決實際問題時，我們要注意問題中各個數(shù)量的實際意義，在得到數(shù)學問題的解后，還要把它放回到實際問題中進行檢驗。問題的解如果脫離了實際意義，也會導致解題出錯。

例5某汽車出租公司以每輛汽車月租費2880元租出時，100輛汽車可以全部租出。若每輛汽車的月租費每增加50元，則將少租出1輛汽車。已知每輛租出的汽車需支付月維護費200元，則該出租公司的最大月收益是多少？

【錯解】設(shè)每月租出x輛汽車，月收益為y元，則y=［2880+50（100-x）-200］x=-50（x-76.8）2+294912，所 以 當x=76.8時，y最大值=294912，即該出租公司的最大月收益是294912元。

【剖析】錯解在于求實際問題中的最值時忽視了問題的實際意義，即x表示的是出租公司每月租出汽車的輛數(shù)，必須是自然數(shù)。

【正解】設(shè)每月租出x輛汽車，月收益為y元，則y=［2880+50（100-x）-200］x=-50（x-76.8）2+294912，因為x必須是自然數(shù)，且76.8-76＞77-76.8，所以當x=77時，y最大值=294910，即該出租公司的最大月收益是294910元。