結構性思維：洞察知識的全貌
——“解決問題的策略（一一列舉）”的教學思考和嘗試

江蘇省蘇州市吳江經濟技術開發(fā)區(qū)花港迎春小學 朱滿喜

常說“數學是思維的體操”，思維是人類所具有的高級認識活動。按照信息論的觀點，思維是對新輸入信息與腦內儲存知識經驗進行一系列復雜的心智操作過程。因此，在數學教學中培養(yǎng)學生的思維能力非常重要。

在小學數學教學中，我們經常會提到兩種思維：形象思維和邏輯思維。形象思維主要是指人們在認識世界的過程中，對事物表象進行取舍時形成的，只用直觀形象的表象去解決問題的思維方法。邏輯思維則是人們在認識事物的過程中，借助于概念、判斷、推理等思維形式，能動地反映客觀現(xiàn)實的理性認識過程，又稱抽象思維。形象思維和邏輯思維是兩種最為基本的思維形態(tài)，以借助的材料或信息加工的方式來區(qū)分，尤其在小學數學學習中，教師應創(chuàng)設多樣的探索情境，讓學生在形象思維和邏輯思維之間來回演練，相互支持、生發(fā)，從而引導學生對知識點深度理解，培養(yǎng)思維能力。筆者在聽課以及教學實踐中發(fā)現(xiàn)，如果一味只是注重形象思維或邏輯思維的訓練，只會在理解、發(fā)現(xiàn)新知時起作用，而不足以全面了解知識的起源、過程、運用等。筆者認為，教師首先要關注學生結構性思維的培養(yǎng)，這樣才能使他們了解知識的全貌。本文以蘇教版“解決問題的策略（一一列舉）”教學為例，探討結構性思維的重要性。

結構性是就客觀事物的組成部分按照一定順序進行排列組合。結構性思維是指從結構的視角分析事物的一種方法，強調從系統(tǒng)的結構去認識客觀事物，并從中尋找最優(yōu)結構，以獲取最佳效能的思維方法。結構性思維是世界觀和方法論體系中一種重要的思想范式，在我們的思維過程和研究活動中有特殊地位，發(fā)揮著重要作用。結構存在于每個整體與局部的關系的無窮變化中，每個局部表現(xiàn)整體，而局部的意義和價值又是由整體來決定的。因此在小學數學教學中培養(yǎng)學生的結構性思維，有利于全面了解知識，系統(tǒng)掌握知識，還可以洞察知識的全貌。

一、觀課后個人反思

反思一：管中窺豹，以點概面——教少了

在觀課“解決問題的策略（一一列舉）”時常見年輕教師把“情況一個一個列舉出來就是一一列舉”和“列舉時有序列舉”作為教學重點和難點，整節(jié)課把“有序思考”“不重復”“不遺漏”三個關鍵詞如同口號似的一再強調和說明。筆者認為，“有序思考”確實對于列舉來說非常重要，但這不是本節(jié)課的全部知識點，也不是列舉的全貌。對于這樣一節(jié)專門講授“一一列舉策略”的新授課來說，讓學生只記住了列舉時要有序思考遠遠不夠。其實，在低年級教材中已經滲透了一一列舉的方法，已經讓學生去有序觀察、有序羅列，學生對“從小到大”“從大到小”排列已經有了豐富的活動經驗。在五年級再次把“列舉”作為一個新授課來教學，則需要更系統(tǒng)地去思考和結構化地處理教學，從解構列舉，到再構列舉，要讓學生了解為什么要列舉，什么是列舉，怎么來列舉，用列舉對解決問題的影響，等等。

反思二：笑語盈盈，得魚忘筌——教淺了

教學現(xiàn)場：教師板書課題開門見山，“一年級就學了，請寫出10 的分成”。對比幾個作業(yè)，強調有序。小結，這樣一個一個寫出來，就是一一列舉，列舉時按順序、不重復、不遺漏。全班學生興致盎然、極其自信。然后例題改練習題，通過一一列舉找到解決問題的答案。教師還設計了層次性的練習，非常典型的題目搭配問題的列舉，在3 名男生和2 名女生中找一男一女來主持，有幾種不同情況。學生上臺表演，現(xiàn)場搭配，熱鬧非凡，確實也收到了非常好的效果。再通過拓展題——先分類再列舉的題目練習，拓展對列舉的運用方法。整節(jié)課學生的主體作用發(fā)揮得淋漓盡致，教師幽默風趣的語言吸引著學生，學生愛上這樣的數學課，愛這樣的老師。

聽課的教師都極其推崇這樣的課堂，對于教者的個人教學魅力筆者也是非常欣賞。很多名師課堂都有這樣的共性，教師退在后面，讓學生來表達、來爭論，學知識的同時也生長能力。學生學得非常興奮、非常有自信，這對于數學學習來說特別重要。但熱鬧背后我們也要冷靜思考，學生對新知架構是否如自我感覺那樣順風順水呢？數學思維是否如學習情感那樣持續(xù)高漲和進階呢？當然，有功底的名師往往教學氣氛熱烈，思維含金量也高?？墒悄贻p教師或學生會不會只被這熱鬧生動的場面而興奮得“樂不思蜀”“得魚忘筌”，無法對數學知識進行更系統(tǒng)和本質的思考和學習呢？

二、備課時系統(tǒng)性思考

“一一列舉”是五年級學習的“解決問題的策略”，學習之前學生已經做過相關的列舉活動練習，如10 的分成，2、3、5 一共可以組成多少個不同的三位數等。如果之前的滲透是練習，那么本節(jié)課是對于“一一列舉”的新授課教學。既然是新授課，就需要學生對于“一一列舉”在頭腦中形成更加系統(tǒng)和結構化的知識，不能是碎片知識的堆砌，只有站到數學知識整體、全局、結構、系統(tǒng)高度進行教學，才能將數學知識“拎起來”“立起來”“串起來”“連起來”，從而讓數學知識連線、成片、織網。備課時基于結構化思維，希望學生對于“一一列舉”這個策略有更全面、更系統(tǒng)和更深入的理解。

（一）什么時候要用“一一列舉”

列舉并非是“從條件想起”“從問題想起”這樣的基本策略，它是特定問題中的一種常用策略。一般來說，出現(xiàn)結果比較多的時候要用列舉，復雜問題無法解決時，可以從簡單入手進行列舉，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

（二）怎么用“一一列舉”

列舉第一步教師往往會忽視明確列舉要求，這也是列舉的前提。每一次列舉，必定是圍繞一個要求來列舉，有的是“周長一定”，那么長加寬的和一定；有的是“面積一定”，那么長乘寬的積一定；有的是“每40 分鐘響一次”，那么時間跨度一定……但凡列舉，必有一個列舉要求。列舉第二步是找合適的列舉形式，可以是列表、畫圖、列算式、符號、文字、數字等，只要是簡明扼要、清晰明了就好，不用太多拘泥于形式。第三步是有序思考、有序表達。列舉的“有序思考”極其重要，這樣才能保證列舉不重復、不遺漏。列舉“三步走”，正是結構化思維的訓練。

（三）列舉的結果是什么

一一列舉了全部情況，這不是列舉的結果。列舉結果需要指向解決問題，所以列舉后，還要分析列舉情況，確定問題解決的方法。

（四）思辨認識列舉的作用

本節(jié)課教的是列舉，但是要讓學生站在解決問題的全局高度認識列舉策略，系統(tǒng)而思辨地認識到列舉的作用。列舉是解決問題過程中的一種方法，并非結果。列舉是從簡單列舉到發(fā)現(xiàn)規(guī)律，最終走向解決更復雜的問題，要引導學生從列舉中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，如果有規(guī)律可循，就不需要再進行列舉。

三、設計中結構化思維

（一）創(chuàng)設情境，喚起策略需求

（1）復習：回顧一下，我們已經學過哪些策略？

（2）今天學習新策略。出示例題：王大叔用22 根1米長的木條圍一個長方形花圃，怎樣圍面積最大？讀題，說說有哪些關鍵詞？根據這些關鍵詞你能想到什么？

（3）你打算用什么方法找到面積最大的圍法？

【設計意圖】通過審題發(fā)現(xiàn)圍法有多種，要找到面積最大的圍法，首先要通過把多種情況都羅列出來，這是從問題出發(fā)思考，需要用列舉的方法才能解決問題，是引發(fā)策略的需求。讓學生初步感知題型特點，從問題出發(fā)，自下而上引發(fā)列舉需求。

（二）解構步驟，體會策略過程內部結構化

1.審題分析——明確列舉要求

圍成的所有長方形必須遵循哪個條件？（周長22 米，也就是“長＋寬=11 米”）

指出：情況有多種，但必須要符合“長＋寬=11”，這是列舉的要求。

2.自主探索——簡明有序列舉

（1）你打算怎樣把所有的情況都表達出來？（畫圖、列表、算式）

（2）學生用自己的表達方式獨立嘗試完成列舉，教師巡視。

（3）交流學生作品。學生介紹，其他同學質疑、點評。

對比作品，教師追問：為什么這樣列舉好？

引導、啟發(fā)學生發(fā)現(xiàn)：一是要簡單明了地表達，二是要有序思考才能做到不重復、不遺漏。

（4）小結提問：這些作品盡管表達形式有圖、有表、有算式，但是有什么共同的地方？

引導學生回顧列舉的要求：要有序、不重復、不遺漏。

3.發(fā)現(xiàn)規(guī)律——分析解決問題

所有可能的長與寬都列舉出來后，并沒有結束，還要根據列舉的情況，分析問題，找到答案。（板書：分析解決問題）

在依次計算面積時，你發(fā)現(xiàn)了什么？（當周長一定，長與寬越接近，面積越大）

指出：這個規(guī)律是通過列舉不同的長與寬，求出其面積后發(fā)現(xiàn)得到的。（發(fā)現(xiàn)規(guī)律）

追問：有了這個規(guī)律，當長方形的長＋寬=51 時，哪種情況面積最大？還需要列舉嗎？（不需要，直接運用規(guī)律，當長26、寬25 時，面積最大）

當長＋寬=50 呢？（正方形是特殊的長方形，周長一樣，正方形的面積比長方形大）

4.總結回顧——梳理列舉要點

（1）回顧解決問題的過程，你有什么體會？

（2）在以前的學習中，我們曾經運用列舉的策略解決過哪些問題？

【設計意圖】充分相信學生自主探索列舉策略的能力，讓學生在嘗試列舉、交流、對比、質疑中發(fā)現(xiàn)列舉的注意點。用教材例題，整體框架也依據教材，設計亮點處就是把列舉過程進行解構，即“明確列舉要求—簡明有序列舉—分析解決問題”三大步驟，得出結構化列舉策略，讓學生對整個列舉解決問題的全過程有更為清晰的認識。

（三）多樣練習，感知策略外部使用結構化

1.練一練1

讀題“一個音樂鐘，每隔一段相等的時間就發(fā)出鈴聲。已經知道上午9：00、9:40、10:20、11:00 發(fā)出鈴聲，那么下面哪些時刻也會發(fā)出鈴聲？13:00 14:40 15:40 16:00”，自主完成。

學生交流后，教師追問：你是依據什么來列舉的？列舉時按照什么順序？（40 分鐘響一次，時間順序）

根據列舉情況，回答問題。仔細觀察對比所有列舉，發(fā)現(xiàn)發(fā)出鈴聲時刻有什么規(guī)律特點？（小時數為單數是整點和40 分時都會響鈴，比如9：00、9:40、11:00、11:40；小時數為雙數時分別在20 分響鈴，比如：10:20、12:20）

追問：22:00 會響鈴嗎？

2.練一練2

讀題“學校食堂某天中午供應的葷菜有3 種，素菜有4 種，小洪選1 種葷菜和1 種素菜，一共有多少種不同的搭配？”，用自己的方法來列舉找到答案。

交流方法。（連線、符號、文字）

教師追問：你是依據什么來列舉的？（一葷一素）列舉時按照什么順序？（先找一種葷菜配4 種素菜，再依次配，三種葷菜有3 個4 種搭配方法）先找葷菜來配素菜，也可以先找素菜來配葷菜嗎？取出一種素菜配葷菜，有幾種配法？有幾個幾種配法？

教師再追問：不管是從葷菜出發(fā)配素菜的3 個4 種搭法，還是從素菜出發(fā)配葷菜的4 個3 種搭法，都可以用一個算式來計算嗎？（3×4=12 種）

教師又追問：如果食堂今日供應6 種葷菜和8 種素菜呢？（6×8=48 種）

3.對比總結列舉步驟和作用

前面完成的三題都是用列舉解決問題，有什么共同的地方？（都是通過列舉情況找到答案，都按照“明確列舉要求—簡明有序列舉—分析解決問題”的步驟完成）

小結：列舉是解決一些特殊問題的一種策略，往往通過前期簡單數據列舉可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律，運用規(guī)律就可以直接解決問題。

【設計意圖】再通過2 道題的列舉練習，再次完成列舉三步驟過程，再次用結構化思維建構新知、認識新知。聯(lián)合3 道例題對比發(fā)現(xiàn)，鞏固結構化思維。同時，每一題都設計追問，通過列舉發(fā)現(xiàn)規(guī)律，借助規(guī)律無須列舉就可以解決更復雜的問題，感知列舉策略在解題中的作用。認識列舉，更要思辨列舉策略，并非本節(jié)課講列舉，那么列舉就是最好的方法，發(fā)現(xiàn)規(guī)律是更優(yōu)化的方法。

4.拓展鞏固，思辨策略作用

出示題目：10 個點一共可以畫幾條直線？

提問：你打算怎么解決問題？

引導啟發(fā)：復雜的難題可以從簡單開始，從簡單的列舉中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從而解決問題。

指導完成列舉，并解決問題。

小結：化復雜為簡單，從簡單出發(fā)，列舉情況發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從而解決復雜問題。碰到難題不著急，可以從簡單列舉開始逐步發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

【設計意圖】前面3 題都是直接進行列舉，最后拓展題較復雜。引導學生從簡單列舉開始思考，也是結構化認識列舉在解決問題中的作用。

教師基于系統(tǒng)性思考、結構化思維，忠于教材原題設計上述教學過程，突顯結構性思維教學。一是列舉過程內部結構化，“明確列舉要求—簡明有序列舉—分析解決問題”三步驟，既是解構，也是再構過程，從而達到更全面掌握列舉策略的目的。二是列舉外部，解決問題過程的結構化，明白列舉策略在解決問題中的地位和作用。通過兩種結構性思維教學，才能比較清晰、全面、系統(tǒng)、客觀地學習新知，洞察知識的全貌。結構性思維教學，要求教師具有知識的整體視野、具有教學的全局意識，要根據數學知識結構和學生認知結構特質，連線、勾面、成體，讓教學更具立體性、結構性和系統(tǒng)性，最大限度地彰顯、發(fā)掘、拓展數學學科的育人價值。