巧用相似比，妙解幾何題

李芳

【摘要】相似法是初中數(shù)學(xué)常用的幾何方法，?？碱}型是運(yùn)用相似比求解線段長度。在幾何題中尋找相似比的思路變化多端，本文以一道廣東中考題為例，探析構(gòu)造相似比的思維視角和方法引領(lǐng)，與讀者分享。

【關(guān)鍵詞】線段;相似;比例

一、試題呈現(xiàn)

（2021年廣東中考題第23題）如圖1，邊長為1的正方形ABCD中，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，連接BE，將△ABE沿BE折疊得到△FBE，BF交AC于點(diǎn)G，求CG的長。

二、試題分析

本題具有開放性、靈活性和包容性，求線段長度的思路可從多個(gè)角度分析，解法至少有二十余種，可運(yùn)用三角函數(shù)、兩點(diǎn)坐標(biāo)、勾股定理和幾何模型等知識(shí)求解。其中，相似法最為巧妙，且相似模型多種多樣，思維空間非常開闊。下文重點(diǎn)探究如何應(yīng)用相似法解題。由于線段CG是對(duì)角線AC的一部分，直線AC與BF相交形成了CG。因此，以點(diǎn)G為中心，構(gòu)造CG與其它線段的比例，尋找相似模型可進(jìn)行求解。

三、解法探究

四、解后反思

1.善用分析方法，提升解題思維

波利亞曾說：“解題的成功要靠正確思路的選擇?！庇孟嗨品ń鈳缀晤}也必須有正確思維的引導(dǎo)，方能事半功倍。數(shù)學(xué)基本的邏輯推理方法是分析法和綜合法。其中，分析法在構(gòu)造幾何相似比題目中尤為重要。分析法即“執(zhí)果索因”的逆推法，從一個(gè)結(jié)果聯(lián)想到盡可能多的原因，根據(jù)已知條件和圖形憑直覺選取可能的原因，由這些可能的原因推出更多的原因，直到已知條件，這樣探索一題多解的方法。本題的目的是求出線段CG長度，在多種方法中重點(diǎn)研究相似法。為了尋找相似三角形，先設(shè)想CG與哪條線段可能是對(duì)應(yīng)邊。由于正方形對(duì)角線AC與線段BF形成了X結(jié)構(gòu)，CG是其中的一部分，猜想以點(diǎn)G為端點(diǎn)的線段可能是CG的對(duì)應(yīng)邊。結(jié)合正方形圖形特點(diǎn)，第一條對(duì)應(yīng)邊是AG，可通過構(gòu)造X模型和A模型求解;第二條對(duì)應(yīng)邊可能是OG，通過構(gòu)造A模型嘗試證明;在探究第二條對(duì)應(yīng)邊的過程中，OC與BF形成X結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)FG是第三條對(duì)應(yīng)邊。運(yùn)用分析法可從不同角度聯(lián)想，有助于打破思維定勢(shì)，培養(yǎng)逆向思維，提升解題思考能力。

2.聯(lián)想相似模型，開闊解題思路

幾何模型有助于啟發(fā)思維靈感，快速突破題目壁壘。應(yīng)用相似法解題時(shí)，聯(lián)想常見的相似模型和結(jié)論，尋找題目圖形與之對(duì)應(yīng)之處，用移花接木之法構(gòu)造相似圖形。本題為了構(gòu)造與線段CG成比例的線段，關(guān)注CG所在的X結(jié)構(gòu)，聯(lián)想有類似特點(diǎn)的相似模型，比如，8字型和X字型。8字型結(jié)構(gòu)必須有平行線，可結(jié)合正方形對(duì)邊平行進(jìn)行構(gòu)造，如，解法1和2。X字型需聚焦中心點(diǎn)G，可設(shè)想線段BF與AC、BF與OC交叉形成模型，如解法7。除此之外，考慮畫輔助線作出相似模型。由于多數(shù)相似三角形都有平行線或角相等，可畫平行線或非平行線得到相等的角（如，偏A型）產(chǎn)生相似形，再得出比例線段。如解法3-6，根據(jù)正方形的邊角性質(zhì)，由點(diǎn)G向各個(gè)方向作垂線段，構(gòu)造A字型。加強(qiáng)相似模型的積累和總結(jié)，善于聯(lián)想類比，能更好地開闊解題思維空間。

3.構(gòu)造相似比例，層層深入拓展

本題構(gòu)造相似比的方法很多，圍繞與CG有關(guān)的線段，同時(shí)以點(diǎn)G為中心向周圍考查。設(shè)想AG是CG的比例線段，第一種構(gòu)造X模型，通過直線AC與BF交叉形成，此法較簡(jiǎn)單易行;第二種構(gòu)造A模型，借助正方形的邊長與直線AC相交的特點(diǎn)，由點(diǎn)G出發(fā)向正方形的右方或下方邊長作垂線段，將所求比例進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再次尋找與新的比例有關(guān)的相似三角形，如解法4和5。根據(jù)角平分線的條件構(gòu)造平行線，形成新的模型，如解法3和4。每一種相似比例都需要層層深入，進(jìn)一步拓展延伸，進(jìn)行第二次比例轉(zhuǎn)化，方能得出真正的解題方法。這種螺旋式多次轉(zhuǎn)化的解題分析過程有助于提高邏輯推理能力。

相似比是幾何解題的“金鑰匙”。巧妙構(gòu)造相似模型，逐層分析解題思路，大膽設(shè)想解題方法，能快速找到解題規(guī)律，提高學(xué)生解題能力。

參考文獻(xiàn)：

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責(zé)任編輯? 胡春華