讓未知數(shù)參與“戰(zhàn)斗”*
——“解題教學(xué)”意識指導(dǎo)下對“作一個角等于已知角”教學(xué)的新思考

江蘇省南京市第二十九中學(xué)初中(210000) 孫莉

美國著名的數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家波利亞說“掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題”．這就是說解題教學(xué)應(yīng)當(dāng)是題目為載體、為了幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)而進(jìn)行的教學(xué)．“解題教學(xué)”一直是一個經(jīng)久不衰的話題，“解題教學(xué)”中的每個字都有其特殊的意義．這里的“題”不是信手拈來的，是加以甄選的，可往往教師、學(xué)生都會覺得能夠談的上“解”的都是難題，才配得上“解題教學(xué)”，那么什么樣的題才是好題呢?

目前解題課異化為習(xí)題課的狀態(tài)迫切需要改變，不能再充斥著對某一題型的歸類、講解、訓(xùn)練，需要加入高位的基本問題．這里的高不是難度高，而是立意高、數(shù)學(xué)味道足，即通過教一些蘊(yùn)含了解決問題基本思想和策略的題目來讓學(xué)生逐步理解知識本身并掌握基本方法，一定不能停留在對技巧型問題的多次處理上．無疑，尺規(guī)基本作圖是符合以上標(biāo)準(zhǔn)的．而傳統(tǒng)教學(xué)中對尺規(guī)基本作圖的教學(xué)有一定的誤區(qū)，更多地是告知學(xué)生，將其進(jìn)行“復(fù)制、拷貝”，孰能生巧，尤其在初中的起始階段，這大大的挫傷了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，也與《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程課標(biāo)(2011 版)》(文中將簡稱為《課標(biāo)》)的要求不符，與尺規(guī)作圖的本質(zhì)相違背．《課標(biāo)》中提出“在基本技能的教學(xué)中，不僅要使學(xué)生掌握技能操作的程序和步驟，還要使學(xué)生理解程序和步驟的道理”的要求，對于尺規(guī)作圖，學(xué)生不僅要知道作圖的步驟，而且要知道實施這些步驟地理由，也就是說要先“明理”，再以“理”生“法”，這是教師進(jìn)行尺規(guī)作圖教學(xué)時尤其基本作圖的教學(xué)中必須思考的．

有人說“學(xué)習(xí)的最初是模仿”，這話不無道理，可是小學(xué)六年的知識經(jīng)驗的積累，已經(jīng)給學(xué)生打下足夠的基礎(chǔ)，他們無需再模仿，他們可以通過類比、遷移進(jìn)行思辨和再創(chuàng)造，對于尺規(guī)基本作圖應(yīng)“知其然，亦須知其所以然”．所以筆者在“解題教學(xué)”意識指導(dǎo)下對基本作圖“作一個角等于已知角”的教學(xué)作出了新嘗試，現(xiàn)與同行交流．

圖1

1 教材內(nèi)容分析

蘇科版教材在回顧了“用量角器畫一個角等于已知角”的基礎(chǔ)上，分析圖中點D的位置，意在引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、探索、交流、歸納出用直尺和圓規(guī)完成該基本作圖的作法步驟，以摒棄傳統(tǒng)教學(xué)中的“復(fù)制、拷貝”的灌輸模式，其他教材多數(shù)在全等三角形學(xué)習(xí)完后再進(jìn)行介紹．前者延續(xù)線段的學(xué)習(xí)模式再加以知識的遷移，安排在這里也不可厚非，但作法探究完后無法給學(xué)生解釋為什么兩角相等，使得尺規(guī)作圖缺乏了理論支撐;后者符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，重在“理”，因為基本作圖二的作圖依據(jù)即是三角形全等，但又會思維固化，這兩種呈現(xiàn)方式都有各自的道理，但無論是哪一種呈現(xiàn)方式，都應(yīng)該做到有理有據(jù)，學(xué)生自然生成最為理想．

2 學(xué)情分析

1．學(xué)生在小學(xué)里已經(jīng)會用直尺作線，圓規(guī)作圓，但在課堂實踐中筆者發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生對直尺的作用有些模糊，認(rèn)為僅用直尺就可以畫一條線段等于已知線段了，這是對直尺的錯誤理解，這里要強(qiáng)調(diào)是沒有刻度的直尺．并且對“作”和“畫”之間的區(qū)別模糊不清．

2．課堂實踐中亦發(fā)現(xiàn)有不少學(xué)生會操作，但只知其然，不知所以然，也是就是不“明理”．

3．這個年齡段的學(xué)生習(xí)慣于用小學(xué)里的直觀代替推理，對幾何語言的運(yùn)用，即文字語言、圖形語言、符號語言相互轉(zhuǎn)化以及對探索、歸納、推理的必要性認(rèn)識不足．學(xué)生的認(rèn)識過程應(yīng)基于操作，又高于操作，即可以從事抽象、概括活動，歸納數(shù)學(xué)對象的特征，發(fā)展有條理的思考和表達(dá)．

3 教學(xué)設(shè)計

3.1 弄清題意，解題前提

問題用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角．

已知：∠AOB，如圖1.

圖2

求作：∠AOB，使∠A′O′B′=∠AOB．

設(shè)計意圖教學(xué)過程中筆者并沒有帶著學(xué)生先去回顧復(fù)習(xí)“用量角器畫一個角等于已知角”，因為這已經(jīng)是固有的經(jīng)驗在學(xué)生腦海里，所以直接跳過，更多是“放”，放出時間給予學(xué)生充分的思考，但如果教學(xué)過程中學(xué)生對此很陌生，教師可以適時介入，喚醒舊知，解題表如下：

3.2 擬定計劃，關(guān)鍵環(huán)節(jié)

追問1 直尺可以做什么? 圓規(guī)呢? 它們合起來又能做什么呢?

追問2 你曾經(jīng)畫過一個角等于已知角嗎? 怎么畫的?

追問3 作∠A′O′B′關(guān)鍵是確定什么?

追問4 確定射線O′B′的關(guān)鍵又是什么呢? ?

追問5 點D′有什么特征呢?

追問6 如何理解角相等?

圖3

圖4

設(shè)計意圖追問1 中，意在讓學(xué)生明確的是我們手上的工具有什么用處，讓學(xué)生有的放矢．追問2 中，筆者特意用“畫”而不是“作”，意在喚醒學(xué)生用量角器畫一個角等于已知角．讓學(xué)生經(jīng)歷觀察圖形(假設(shè)圖形已作出)作一個角的關(guān)鍵是確定公共端點的兩條射線，而確定射線的關(guān)鍵是端點與射線上除端點外的任意一點，因此作∠A′O′B′=∠AOB可轉(zhuǎn)化為確定射線O′A′及射線O′B′上的一個點D′．所謂角相等就是度數(shù)相同，但不能使用量角器．幾何直觀就是張口相同、完全重合，不難發(fā)現(xiàn)點D′的內(nèi)部表征：①射線OB上有一個點D是與之對應(yīng)，則OD=O′D′，不難想到以O(shè)為圓心，任意長為半徑作弧分別與OA、OB相交于點C、D，附帶產(chǎn)生了點D與點C又有什么關(guān)系呢? ②點C、D之間的距離亦是確定的，與C′D′的長度相同．根據(jù) ①以O(shè)′為圓心，OD為半徑作弧，根據(jù) ②以C′為圓心CD為半徑作弧交前弧與點D′．這一系列的問題其實就是由已知展開最近聯(lián)想得可知、未知展開最近聯(lián)想得需知的過程，即運(yùn)用思維策略進(jìn)行內(nèi)部表征，解題表進(jìn)一步豐富，如下：

3.3 實現(xiàn)計劃，操作過程

請學(xué)生自行完整的作圖過程并口述作法，這里不再贅述．

由于學(xué)生現(xiàn)階段并未學(xué)習(xí)全等，所以教師不急于去證明為什么如此作法兩個角就是相等的，但這個問題又不能“視而不見”，僅僅用直觀代替推理是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，這里提及的“重合”即為全等，待學(xué)生認(rèn)知水平提高了可再溫故而知新．

3.4 回顧反思，必要環(huán)節(jié)

提出以下問題幫助學(xué)生反思：

問題1 整個作圖過程用到了哪些思想方法?

設(shè)計意圖整個作圖體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，有問題的，有方法的．看似是作一個角等于已知角，核心問題還是尋找關(guān)鍵點，弧的出現(xiàn)具有突破性的意義，它如同解方程中的未知數(shù)“x”，讓未知數(shù)參與“戰(zhàn)斗”．

問題2 你還有其他方法嗎?

設(shè)計意圖在教學(xué)過程中，有學(xué)生提到過點D作OA的垂線，認(rèn)為D′到射線O′A′的距離是相等的，還有學(xué)生想到推平行線，但由于沒有學(xué)習(xí)過如何用尺規(guī)作垂直、平行，只能作罷，但這樣的念頭是十分可貴的，有助于激發(fā)學(xué)生的興趣、尋找知識內(nèi)部的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造意識與應(yīng)用意識．

4 感悟

4.1 重視解題“套路”的歸納

正如孔凡哲教授所言“從某種意義上說，解決問題就是一種模型化的過程”．學(xué)生對一些常見的數(shù)學(xué)模型要熟練掌握，解題時才能把從題目條件讀取出來的信息和腦海中已有模型自如對接，實現(xiàn)快速解題．因此，在教學(xué)中應(yīng)重視解題“套路”的歸納．正如文中的尺規(guī)基本作圖，常規(guī)的“套路”為：先生成預(yù)設(shè)，把目標(biāo)轉(zhuǎn)化，把圖轉(zhuǎn)化成找關(guān)鍵點，再進(jìn)一步尋找關(guān)鍵點的內(nèi)部表征．依靠常見的解題“套路”能較快明確解題方向，找到解題思路．

4.2 重視解題的“溫故知新”

解題可以是系列劇，不同的時間段學(xué)生有著不同的認(rèn)知水平，解題的方法、感悟都有所不同，所以在教學(xué)中應(yīng)重視解題的“溫故而知新”．該基本作圖在初三復(fù)習(xí)時要求學(xué)生完成，作法一定是百花齊放，可以利用全等、軸對稱、平行四邊形、相似、圓等等知識加以完成.這有助于幫組學(xué)生由一個點打通各個知識板塊之間的關(guān)聯(lián)，這是一節(jié)課，又不止一節(jié)課．

4.3 重視教學(xué)資源整合的思考

章建躍博士在不同場合闡述了整體教學(xué)的觀點，他主張站在系統(tǒng)的高度，在教學(xué)中將數(shù)學(xué)知識、研究方法等對象置于整個數(shù)學(xué)知識體系中，用聯(lián)系的結(jié)構(gòu)化的觀點教學(xué)，給予數(shù)學(xué)知識間的演進(jìn)和內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生形成整體的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，最后達(dá)成知識與方法和能力的有機(jī)統(tǒng)一．筆者認(rèn)為基本作圖的教學(xué)是可以進(jìn)行整合的，這完全是基于學(xué)生整體的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的，不管是哪個版本的教材，五個基本作圖都相對分散，給師生都有一種零碎感，并且不利于學(xué)生知識體系的形成、發(fā)散思維的培養(yǎng)．先期的作圖可以不限制工具，在學(xué)習(xí)完全等三角形、軸對稱之后集中安排尺規(guī)作圖的學(xué)習(xí)．

“解題教學(xué)”意識指導(dǎo)下的尺規(guī)基本作圖的教學(xué)使學(xué)生對尺規(guī)基本作圖“知其然知其所以然”，不再是“模仿者”，而是“創(chuàng)造者”，展露了圖形的鮮活和靈動，提高了學(xué)生空間想像能力、解題能力，更有助于提高邏輯推理能力，增添了數(shù)學(xué)的秀色，讓課堂不在是教師一言堂，而是真正成為師生的共同樂園．