立足教材，拓展知識(shí)*
——例談初中數(shù)學(xué)對(duì)教材知識(shí)點(diǎn)的拓展

廣東省中山市黃圃鎮(zhèn)中學(xué)(528429) 王斌

知識(shí)點(diǎn)是構(gòu)成學(xué)習(xí)內(nèi)容的相對(duì)獨(dú)立的最小單元，根據(jù)學(xué)生所需要的技能和大綱的要求，可將知識(shí)點(diǎn)學(xué)習(xí)的程度分成不同的水平：有的需要認(rèn)識(shí);有的需要理解、掌握、應(yīng)用.在教材中，也常以選學(xué)內(nèi)容出現(xiàn)，如新人教版八年級(jí)上冊(cè)《十字相乘法》和九年級(jí)上冊(cè)《21.2.4 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系》.本文以人教版教材為例，選取部分教材內(nèi)容，從知識(shí)點(diǎn)的角度拓展教學(xué)內(nèi)容.

一、什么是拓展教材?

拓展教材，應(yīng)該從內(nèi)容的廣度和深度來(lái)理解.

(一) 內(nèi)容的廣度[1]

內(nèi)容的廣度是指知識(shí)點(diǎn)的多少.拓展教材內(nèi)容的廣度體現(xiàn)為增加的知識(shí)點(diǎn)的多少，對(duì)所拓展的內(nèi)容的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行提取，教材中沒(méi)有的知識(shí)點(diǎn)即為拓展的知識(shí)點(diǎn).

(二) 內(nèi)容的深度[1]

內(nèi)容的深度是指數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象程度.人教版數(shù)學(xué)教材的編排設(shè)計(jì)是循序漸進(jìn)，螺旋上升的，如在七年級(jí)下冊(cè)學(xué)平方根，八年級(jí)下冊(cè)學(xué)二次根式，學(xué)習(xí)的內(nèi)容由易到難.從學(xué)生地認(rèn)知水平和能力來(lái)看，這樣的安排有其合理之處.但在教學(xué)實(shí)踐中，我們發(fā)現(xiàn)因?yàn)閷W(xué)習(xí)的時(shí)間間隔了一年，在學(xué)習(xí)二次根式時(shí)，學(xué)生已經(jīng)遺忘了平方根的知識(shí).學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解是零散的，孤立的，知識(shí)的再現(xiàn)和問(wèn)題解決過(guò)程困難重重，容易導(dǎo)致學(xué)生缺乏學(xué)習(xí)信心.

二、何時(shí)需要拓展教材?

在與一線教師的訪談中，我們總結(jié)得到以下幾種情況：

(一) 學(xué)生的學(xué)情水平

學(xué)生的學(xué)情水平是影響我們拓展內(nèi)容廣度和深度的重要因素.在教學(xué)過(guò)程，當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)教材內(nèi)容無(wú)法滿足學(xué)優(yōu)生的胃口時(shí)，就需要我們從深度挖掘教材，拓展學(xué)生思維;當(dāng)學(xué)完一章書時(shí)，我們需要對(duì)全章知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行聯(lián)系總結(jié)，這就需要我們根據(jù)學(xué)情適當(dāng)增加知識(shí)點(diǎn).

(二) 教材編寫未盡詳盡之處

受特定形式和篇幅的限制，現(xiàn)行的初中數(shù)學(xué)教材具有內(nèi)容呈現(xiàn)的零碎性、數(shù)學(xué)語(yǔ)言的簡(jiǎn)潔性和教學(xué)導(dǎo)向的隱蔽性等特點(diǎn)，這就需要我們教師對(duì)教材進(jìn)行“再創(chuàng)造”.我們?cè)噲D通過(guò)拓展教材彌補(bǔ)教材編寫的缺陷，將相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)看成一個(gè)整體展示給學(xué)生，注重思維訓(xùn)練，以求學(xué)生有完整、全面的認(rèn)識(shí).

(三) 經(jīng)典題型以及常用的解題策略

教材由于篇幅的限制，一些經(jīng)典的題型只能以例題或課后習(xí)題的方式出現(xiàn)，稍稍帶過(guò).但其中所蘊(yùn)含的解題技巧、數(shù)學(xué)思想?yún)s不是一道題就可以完全掌握的，學(xué)生需要反復(fù)錘煉，需要在變式練習(xí)找到解題策略.因此需要我們教師立足教材例題，從數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法拓展教材.

(四) 難點(diǎn)突破

有些知識(shí)，教材上可能只是一句話，但為了讓學(xué)生更好的理解，我們必須加以拓展.如人教版的八年級(jí)上冊(cè)《13.3 等腰三角形》中描述等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)時(shí)，教材只用了一句話：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.但如何理解，如何應(yīng)用? 教材涉及到的題目很少.因此，我們要引導(dǎo)學(xué)生將這一句話拆成三句話：

已知△ABC中，AB=AC，AD與BC相交于點(diǎn)D，則有以下三個(gè)結(jié)論：

(1) 如果AD平分∠BAC，則AD⊥BC，BD=CD(由頂角平分線得到底邊的中線、高);

(2) 如果AD⊥BC，則AD平分∠BAC，BD=CD(由底邊上的高得到頂角平分線、底邊上的中線);

(3) 如果BD=CD，則AD平分∠BAC，AD⊥BC(由底邊上的中線得到頂角平分線、底邊上的高).

然后根據(jù)這三句話，給出對(duì)應(yīng)的習(xí)題應(yīng)用性質(zhì)，鞏固知識(shí).

三、如何拓展教材的知識(shí)點(diǎn)?

途徑一：對(duì)章內(nèi)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行綜合應(yīng)用

案例1 與三角形有關(guān)的角

1.1 教材內(nèi)容

人教版八年級(jí)上冊(cè)《與三角形有關(guān)的角》

1.2 聚焦學(xué)情

學(xué)生已經(jīng)掌握了三角形的角平分線、三角形的外角和內(nèi)角.在課后習(xí)題中，有如下題目：如圖1所示，已知△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，試說(shuō)明∠BOC與∠A的關(guān)系.

圖1

圖2

圖3

1.3 拓展課程

1.3.1 拓展一：增加外角的角平分線

例1 如圖2，已知△ABC中，∠ABC、∠ACB的外角平分線相交于點(diǎn)D，試說(shuō)明∠D與∠A的關(guān)系.

例2 如圖3，已知△ABC中，∠ABC的角平分線與∠ACB的外角平分線相交于點(diǎn)D，試說(shuō)明∠D與∠A的關(guān)系.

1.3.2 拓展二：增加找規(guī)律的題目

例3 如 圖4，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分線與∠ACD的平分線交于點(diǎn)A1，∠A1BC的平分線與∠A1CD的平分線交于點(diǎn)A2，A3，···，∠An-1BC的平分線與∠An-1CD的平分線交于點(diǎn)An.設(shè)∠A=θ.

圖4

(1) 求∠A1的度數(shù);

(2) 求∠An的度數(shù).

1.4 拓展內(nèi)容分析

原教材上的課后習(xí)題涉及到的知識(shí)點(diǎn)有內(nèi)角的角平分線、三角形的內(nèi)角和，

拓展一增加的知識(shí)點(diǎn)有“三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和”，拓展二在拓展一的基礎(chǔ)上增加了類比、歸納的數(shù)學(xué)思想.

案例2 中點(diǎn)四邊形

2.1 教材內(nèi)容

八年級(jí)下冊(cè)平行四邊形

2.2 聚焦學(xué)情

依次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫中點(diǎn)四邊形.教材上沒(méi)有這一節(jié)內(nèi)容，但卻是考點(diǎn)之一.學(xué)生已經(jīng)掌握了平行四邊形、矩形和菱形的性質(zhì)和判定方法，會(huì)熟練運(yùn)用中位線定理.因此，中點(diǎn)四邊形可視為是對(duì)《平行四邊形》和《中位線定理》的綜合應(yīng)用.

2.3 課程拓展

探究一基礎(chǔ)問(wèn)題探究

問(wèn)1 如圖5，E、F、G、H分別是四邊形ABCD各邊上的中點(diǎn)，請(qǐng)你判斷中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀，并證明.

圖5

圖6

圖7

探究二探究影響中點(diǎn)四邊形形狀的因素

教師讓學(xué)生動(dòng)手操作，研究以下兩個(gè)問(wèn)題：

問(wèn)2 如圖6，四邊形ABCD中，AC=BD.E、F、G、H分別是四邊形ABCD各邊上的中點(diǎn)，請(qǐng)你判斷中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀，并證明.

問(wèn)3 如圖7，四邊形ABCD中，AC⊥BD.E、F、G、H分別是四邊形ABCD各邊上的中點(diǎn)，請(qǐng)你判斷中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀，并證明.

師生歸納決定中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀的主要因素是四邊形ABCD的對(duì)角線的長(zhǎng)度和位置.

學(xué)生自己動(dòng)手操作，仔細(xì)觀察四邊形由“一般四邊形變成平行四邊形(矩形、菱形、正方形)”，猜想并發(fā)現(xiàn)中點(diǎn)四邊形形狀并完成表格.

圖8

圖9

圖10

圖11

原四邊形任意四邊形平行四邊形矩形菱形正方形中點(diǎn)四邊形

2.4 拓展內(nèi)容分析

教材《平行四邊形》所涉及的知識(shí)點(diǎn)是平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)和判定.中點(diǎn)四邊形在此基礎(chǔ)上，增加了中位線定理這個(gè)知識(shí)點(diǎn).

途徑二：選用教材的選學(xué)內(nèi)容

案例3 《21.2.4 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系》

3.1 教材內(nèi)容

一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，即韋達(dá)定理.

3.2 聚焦學(xué)情

本節(jié)課是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元二次方程的解法的基礎(chǔ)上，對(duì)一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行的探究.教材的重點(diǎn)在于利用求根公式猜想驗(yàn)證跟與系數(shù)的關(guān)系，但關(guān)于它的應(yīng)用涉及較少.

3.3 課程拓展：韋達(dá)定理的應(yīng)用

例1 已知2 和-1 是方程2x2+mx+n=0 的兩個(gè)根，求m和n的值.

例2 已知m,n是二次方程x2+1999x+7=0 的兩個(gè)根，求(m2+1998m+6)(n2+2000n+8)的值.

例3 已知方程x2-5x+8=0 的兩根為x1,x2，求下列代數(shù)式的值：

(1)x21+x22; (2)

3.4 拓展內(nèi)容分析

教材中的選學(xué)內(nèi)容只是韋達(dá)定理的內(nèi)容，即已知方程求兩根的和與積.而拓展的三道例題則增加了對(duì)韋達(dá)定理的應(yīng)用：例1 是已知兩根確定方程;例2 增加了根的定義;例3 增加了完全平方公式、分式的運(yùn)算.

途徑三：高頻考點(diǎn)或者是解題的需要.

案例4 《二次函數(shù)》

4.1 教材內(nèi)容

九年級(jí)上冊(cè)《第二十二章二次函數(shù)》

4.2 聚焦學(xué)情

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了二次函數(shù)的一般式y(tǒng)=ax2+bx+c和頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k，并能利用配方法將一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，研究二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì).

4.3 課程拓展

4.3.1 拓展一：圖像形狀與|a|的關(guān)系

利用幾何畫板繪制一組二次函數(shù)圖像，如y=3x2+x+1，y=3x2+2x+2，y=-3x2+4x，y=-3x2.學(xué)生觀察這四個(gè)圖像的形狀，得到結(jié)論：當(dāng)|a|相同時(shí)，拋物線的形狀相同.

4.3.2 拓展二：如何求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸

教材在第38 頁(yè)，利用配方法得到y(tǒng)=ax2+bx+c的對(duì)稱軸是x=教師在二次函數(shù)的圖像上任意選取縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)(x1,m)和(x2,m)，觀察x1,x2的值與對(duì)稱軸的關(guān)系，從而得出對(duì)稱軸x=

4.3.3 拓展三：二次函數(shù)的第三種解析式——交點(diǎn)式

已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,0)和(x2,0)，則根據(jù)韋達(dá)定理，從而，我們可以得到：

我們把y=a(x-x1)(x-x2) (其中x1,x2為ax2+bx+c=0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根)稱為交點(diǎn)式.當(dāng)已知的點(diǎn)為圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，我們就可以利用交點(diǎn)式來(lái)求函數(shù)的一般解析式.

4.4 拓展內(nèi)容分析

《二次函數(shù)》這一章，我們給出了三個(gè)拓展.與教材原知識(shí)點(diǎn)相比，拓展一增加了二次項(xiàng)系數(shù)a與圖像形狀的關(guān)系(原知識(shí)點(diǎn)只是研究開(kāi)口大小與a的關(guān)系);拓展二增加了圖像上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)與對(duì)稱軸的關(guān)系;拓展三增加了第三種解析式：交點(diǎn)式.