新課標(biāo)全國卷“不等式選講”的命題特點及復(fù)習(xí)建議

廣東省廣州市南海中學(xué)(510160) 陳煥文

近幾年，在高考中不等式選講在解答題第23 題考查，屬于選考內(nèi)容.難度中等，分值為滿分10 分.從能力要求上看，主要考查學(xué)生解不等式、應(yīng)用不等式的能力，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想、邏輯思維能力和運算求解能力.從內(nèi)容上看，主要考查：(1)考查含絕對值不等式的解法與含絕對值符號的函數(shù)最值、恒成立問題;(2)考查不等式的證明，會用綜合法、分析法等證明方法.下面，從以下五個方面研究不等式選講專題.

1 考綱要求

1.1 理解絕對值的幾何意義，并能利用含絕對值不等式的幾何意義證明以下不等式：

(1)|a+b|≤|a|+|b|;

(2)|a-b|≤|a-c|+|c-b|;

(3) 會利用絕對值的幾何意義求解以下類型的不等式：|ax+b|≤c;|ax+b|≥c;|x-a|+|x-b|≥c.

1.2 了解下列柯西不等式的幾種不同形式，理解它們的幾何意義，并會證明.

(1) 柯西不等式的向量形式：|→α‖→β|≥|→α·→β|;

(2)(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2;

1.4 會用向量遞歸方法討論排序不等式.

1.5 了解數(shù)學(xué)歸納法的原理及其使用范圍，會用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單問題.

1.6 會用數(shù)學(xué)歸納法證明伯努利不等式：(1+x)n＞1+nx(x＞-1，x/=0，n為大于1 的正整數(shù))，了解當(dāng)n為大于1 的實數(shù)時伯努利不等式也成立.

1.7 會用上述不等式證明一些簡單問題.能夠利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函數(shù)的極值.

1.8 了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法.

2 主要考點：2009年——2018年新課標(biāo)全國卷不等式選講考查目標(biāo)統(tǒng)計表

年份不等式選講2013I 考查絕對值的意義和含絕對值不等式的求解，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查考生的邏輯思維能力.2013II 考查不等式的基本性質(zhì)和重要不等式的應(yīng)用，考查證明不等式的方法，考查學(xué)生的邏輯思維能力.2014I 考查考生對基本不等式的理解與運用以及考生的運算能力，考查函數(shù)與方程思想和數(shù)形結(jié)合思想.2014II 考查不等式的基本性質(zhì)和重要不等式的應(yīng)用，考查學(xué)生處理含絕對值不等式的能力、邏輯思維能力.2015I 考查絕對值的意義和含絕對值不等式的求解，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想.2015II 考查絕對值不等式的性質(zhì)，分析法、綜合法的應(yīng)用，考查邏輯思維能力.2016I 考查含絕對值的函數(shù)的圖像，含有絕對值的不等式的求解.2016II考查絕對值不等式的解法及簡單的不等式的證明，意在考查考生對絕對值不等式的掌握情況以及作差法比較大小的應(yīng)用.2016III 考查絕對值不等式的解法、不等式的應(yīng)用，考查邏輯思維能力、等價轉(zhuǎn)化能力、運算求解能力.2017I 考查絕對值不等式的求解，求參數(shù)的取值范圍，考查考生數(shù)形結(jié)合能力、化歸與轉(zhuǎn)化能力、運算求解能力.2017II 考查基本不等式的應(yīng)用、一些常用的變形以及證明不等式的方法，考查考生的基本運算能力與分析問題能力.2017III 考查絕對值不等式的解法以及函數(shù)最值的求解，考查學(xué)生的邏輯思維能力.2018I考查絕對值不等式的求解，含參的絕對值不等式求取值范圍問題，考查考生的分類討論能力、化歸與轉(zhuǎn)化能力以及運算求解能力.2018II 考查絕對值不等式的求解與含參不等式恒成立問題，考查考生的分類討論能力、化歸與轉(zhuǎn)化能力以及運算求解能力.2018III考查絕對值函數(shù)的圖像與性質(zhì)、含參不等式恒成立問題，考查考生的運算求解能力，考查的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是直觀想象、數(shù)學(xué)運算.

3 命題特點

通過以上的分析，近幾年新課標(biāo)全國卷不等式選講試題有以下命題特點：

3.1 以考查絕對值不等式為主

解絕對值不等式、絕對值函數(shù)的圖像、含參的絕對值不等式求參數(shù)取值范圍

出現(xiàn)的年份有：2009年，2010年，2011年，2012年，2013年I 卷，2014年II 卷，2015年I 卷，2016年I、II、III 卷，2017年I、III 卷，2018年I、II、III 卷.

題目(2018 新課標(biāo)I，23)已知f(x)=|x+1|-|ax-1|．

(1) 當(dāng)a=1 時，求不等式f(x)＞1 的解集;

(2) 若x ∈(0,1)時不等式f(x)＞x成立，求a的取值范圍.

解(1) 當(dāng)a=1 時，f(x)=|x+1|- |x-1|，即故不等式f(x)＞1 的解集為

(2) 當(dāng)x ∈(0,1)時|x+1|-|ax-1|＞x成立等價于當(dāng)x ∈(0,1)時|ax-1| ＜1 成立．若a≤0，則當(dāng)x ∈(0,1)時|ax-1|≥1;若a＞0，|ax-1|＜1 的解集為所以故0＜a≤2．綜上，a的取值范圍為(0,2]．

3.2 與函數(shù)結(jié)合、考查數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化與化歸思想是主要特點;

題目(2018 新課標(biāo)III，22) 設(shè)函數(shù)f(x)=|2x+1|+|x-1|．

(1) 畫出y=f(x)的圖像;

(2) 當(dāng)x ∈[0,+∞)，f(x)≤ax+b，求a+b的最小值．

解(1)對應(yīng)的圖象如圖所示.

圖1

(2) 當(dāng)x ∈[0,+∞) 時，f(x) ≤ax+b.當(dāng)x=0 時，f(0)=2 ≤0·a+b，所 以b≥2; 當(dāng)x＞0 時，要 使f(x) ≤ax+b恒成立，則f(x)的圖象恒在直線y=ax+b的下方或在直線上.因為f(x)的圖象與y軸的交點的縱坐標(biāo)為2，且各部分直線的斜率的最大值為3，所以當(dāng)且僅當(dāng)a≥3 且b≥2 時，不等式f(x)≤ax+b在[0,+∞)上成立，所以a+b的最小值為5.

3.3 考查去絕對值的方法是試題變化中不變的規(guī)律;

3.4 基本不等式是考查不等式證明方法的主要依據(jù);

題目(2014 新課標(biāo)I，24)若a＞0，b＞0，且=

(1) 求a3+b3的最小值;

(2) 是否存在a,b，使得2a+3b=6? 并說明理由.

解(1) 由得ab≥2，且當(dāng)a=b=時，等號成立.故且當(dāng)a=b=時，等號成立.所以a3+b3的最小值為

3.5 在求解過程中考查絕對值三角不等式的靈活應(yīng)用能力.

題目(2014 新課標(biāo)II，24)設(shè)函數(shù)a|(a＞0).

(1) 證明：f(x)≥2;

(2) 若f(3)＜5，求a的取值范圍.

解(1) 由a＞0，有所以f(x)≥2.(2) 略.

4 不等式選講專題的教學(xué)建議

4.1 掌握去絕對值的方法，并靈活應(yīng)用是根本

解決含絕對值問題的基本思想就是利用絕對值的幾何意義去絕對值，將之轉(zhuǎn)化為不含絕對值的問題.根據(jù)上述對命題特點的分析，可以看出解決含絕對值不等式的問題，不論具體求解過程怎樣變換，一個不變的規(guī)律就是依據(jù)絕對值的幾何意義進(jìn)行化簡.不等式中含有的絕對值至多有3 個，但是通過化簡都能轉(zhuǎn)化為一般不等式(組).

在教學(xué)過程中不能只停留在就題論題的水平，不僅要知道答案是什么，而且要學(xué)會分析為什么這么做，怎樣想到的，以逐步培養(yǎng)學(xué)生的分析能力，提高其概括能力.

4.2 用函數(shù)的觀點認(rèn)識不等式問題，數(shù)形結(jié)合求解是突破口

求函數(shù)在某一范圍內(nèi)取值時，就轉(zhuǎn)化為不等式，因此在函數(shù)的觀點下認(rèn)識不等式，借助函數(shù)圖像，數(shù)形結(jié)合地求解不等式問題是解決這類問題的突破口.

4.3 分析問題的方法是不等式證明的關(guān)鍵

關(guān)于不等式證明的方法，沒有具體的知識點，只有方法要求，因此它的載體豐富多彩.如2013年新課標(biāo)全國卷II、2014年新課標(biāo)全國卷II、2015年新課標(biāo)全國卷II 和2017年新課標(biāo)全國卷II，雖然都是依托基本不等式或絕對值三角不等式進(jìn)行考查的，但是拓展考查的范圍是符合考綱要求的.因此，在這一部分，關(guān)鍵是要掌握分析問題的方法.通過分析思路，再用綜合法書寫過程.在證明問題的過程中，教師要注重對學(xué)生的這種分析能力的培養(yǎng).總之，在不等式選講的教學(xué)中，我們要抓住本質(zhì)，才能化無限為有限，才能多題歸一;抓住基礎(chǔ)，抓住數(shù)學(xué)的核心，進(jìn)而才能提高學(xué)生分析問題及解決問題的能力，提高學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力.教學(xué)要基于具體的題目，揭示一般的方法，抽象一般規(guī)律，這就是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心，即概括.基于概括，學(xué)生的思維才會具有靈活性和敏捷性.不論考查方向如何變化，學(xué)生有了這樣的能力，就能從容應(yīng)對.