從一道課本例題談學(xué)生“知識建構(gòu)”和“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”
——“模塊融合”教學(xué)實驗有效性探究

廣東省廣州市鐵一中學(xué)(510600) 韓曉雪

一、“模塊融合”教學(xué)實驗背景介紹

“模塊融合”是筆者所在課題組進(jìn)行的一項初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實驗.該實驗嘗試將初中數(shù)學(xué)知識進(jìn)行“模塊”劃分，然后通過教材重組實現(xiàn)模塊間的融合.該教學(xué)實驗突出表現(xiàn)在將函數(shù)作為初中代數(shù)部分的敲門磚，將函數(shù)和一次函數(shù)的內(nèi)容拆分成幾部分，分別放入七年級“代數(shù)式”“一元一次方程”“二元一次方程組”和“一元一次不等式”章節(jié)中，實現(xiàn)在七年級進(jìn)行函數(shù)模塊的知識螺旋上升，同時利用函數(shù)知識引入方程、不等式概念，并利用函數(shù)圖像的數(shù)形結(jié)合性解決方程、不等式的相關(guān)問題.類似的在八九年級實現(xiàn)分式方程和反比例函數(shù)、一元二次方程和二次函數(shù)的模塊融合.該教學(xué)實驗旨在融合，通過教材重組的課堂教學(xué)實驗更有效的實現(xiàn)學(xué)生知識系統(tǒng)建構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”.

二、課本例題常規(guī)教學(xué)困難分析

筆者在進(jìn)行“一次函數(shù)與一元一次不等式”章節(jié)的講義編寫過程中，參考了新人教版七年級(下)第九章《一元一次不等式(組)》的教材內(nèi)容.在教材的重組過程中關(guān)注到課本的一道例題：甲、乙兩家商場以相同的價格出售同樣的商品，并且又各自推出不同的優(yōu)惠方案：在甲商場累計購物超過100 元后，超出100 元的部分按90%收費(fèi);在乙商場累計購物超過50 元后，超出50 元的部分按95%收費(fèi)．顧客到哪家商場購物花費(fèi)少?

該例題出現(xiàn)在9.2.2 實際問題與一元一次不等式中，可以說是一道課堂教學(xué)中非常頭疼的題目，其主要困難表現(xiàn)在與學(xué)生的既有知識系統(tǒng)和解題能力不匹配.眾多教師反應(yīng)，該例題在中等程度班級教學(xué)中，往往要耗費(fèi)大量時間，最終教學(xué)效果僅停留于理解題目解答，而不能掌握方法更難以靈活運(yùn)用于它題.在教師引導(dǎo)學(xué)生思考的過程中，其思維障礙有以下幾點：1、題目條件過于繁瑣，題目中雖然只出現(xiàn)4 個數(shù)據(jù)，但隸屬兩個不同方案，而且每種方案都有一次分段，造成學(xué)生讀題困難.2、問題提問方式開放，一般題目都是問一個量的多少，而這道題問到哪家商場購物花費(fèi)少，不少學(xué)生根本不知道該將什么量進(jìn)行比較，從而無從下手.3、題目涉及雙重分類，第一重分類為什么要把消費(fèi)50 元和100 元作為分類的截點，第二重分類為什么要比較兩店花費(fèi)的三種情況，這兩個重要問題是這道例題的解題關(guān)鍵，但即使老師合理引導(dǎo)，也會有很大一部分學(xué)生無法自主探究得到.以上困難究其原因是教材設(shè)計的不合理，在一元一次不等式的解法剛剛結(jié)束，沒有任何鋪墊和引導(dǎo)，突然出現(xiàn)一道如此難度的實際問題，就好像在學(xué)生面前突然立起一道陡峭的山梁，而又沒有給予合理的攀爬路徑.

三、“模塊融合”教學(xué)實驗設(shè)計及課堂呈現(xiàn)

(一) 教學(xué)實驗設(shè)計

針對以上分析的課堂教學(xué)困難，筆者在進(jìn)行講義編寫時，結(jié)合“模塊融合”的理念，對本章教材作出以下調(diào)整：

調(diào)整1 類似于“一元一次方程”和“二元一次方程組”，用函數(shù)引入“一元一次不等式”概念.例如：引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)y=0.3x+6 得到不等式0.3x+6＜7.5.

調(diào)整2 在《實際問題與一元一次不等式》這一節(jié)課中，自行設(shè)計了兩道例題，一道為簡單不等式的應(yīng)用，一道為簡單的方案選擇問題.

調(diào)整3 在實際問題后設(shè)計融合課程《一次函數(shù)與一元一次不等式》.例如：某電信局收取網(wǎng)費(fèi)如下：A 網(wǎng)費(fèi)為每小時3 元;B 網(wǎng)費(fèi)為每小時2 元，但要收取每月基本費(fèi)15 元．設(shè)每月上網(wǎng)總費(fèi)用為y(單位：元)，上網(wǎng)時間為x(單位：時)．分別求兩種上網(wǎng)方式中y與x的函數(shù)關(guān)系式.若選擇B 網(wǎng)費(fèi)模式，則上網(wǎng)時間x滿足什么條件才合算?A：y1=3x;B：y2=2x+15，顯然x≥0，這里涉及兩個一次函數(shù)，我們在同一坐標(biāo)系中做出圖像如圖1.在圖像上我們可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x=15 時，y1=y2=45，兩圖像交于一點.而要求B 網(wǎng)費(fèi)模式更合算，即y1＞y2，則對應(yīng)圖像右上段，y2=2x+15 的圖像位于y1=3x的圖像的下方，即交點(15,45)的右側(cè)圖像范圍，因此得到此時x＞15.

圖1

調(diào)整4 給出上文涉及的“甲乙商場選擇”問題，并且由教師指引學(xué)生發(fā)現(xiàn)——提出——解決問題三步走.下文課堂呈現(xiàn)會具體論述.

(二)“甲乙商場選擇”問題課堂呈現(xiàn)

該實驗課程由課題組中七年級教師在實驗班操作完成，筆者作為聽課教師參與并記錄了該問題在課堂中的呈現(xiàn)情況.

環(huán)節(jié)1 分小組討論題目條件，自行提出與解題有關(guān)的問題.通過學(xué)生有序討論并發(fā)言，總結(jié)出以下關(guān)鍵問題：問題1：若要作比較，那在兩家商場的花費(fèi)與哪個量有關(guān)? 問題2：如果原購物款為x元，能得到兩家商場的花費(fèi)與x之間的函數(shù)嗎? 問題3：如何比較這兩個函數(shù)的大小?

環(huán)節(jié)2 學(xué)生獨(dú)立思考，逐一解決以上問題，并展示題目解答.部分學(xué)生基于《實際問題與一元一次不等式》中的已學(xué)過的簡單方案選擇問題，提出與上文教材解答方法一致的過程.在教師巡視課堂中也發(fā)現(xiàn)了不少學(xué)生采用函數(shù)方法解答，并邀請一位學(xué)生展示，其基本思路如下：

把富集培養(yǎng)液進(jìn)行梯度稀釋，并涂布于無機(jī)鹽培養(yǎng)基平板，挑取10株單菌落劃線純化，并接入無機(jī)鹽液體培養(yǎng)基中，30℃靜置培養(yǎng)15 d，0.2 μm濾膜過濾，取濾液進(jìn)行氣相色譜檢測[6]。

(1) 當(dāng)累計購物不超過50 元，兩商場一樣;

(2) 超過50 元而不超過100 元時，明顯選乙;

(3) 超過100 元時，設(shè)累計購物x元(x＞100).可得甲商場：y1=100+0.9(x-100)=0.9x+10，乙商場：y2=50+0.95(x-50)=0.95x+2.5.分別計算x=100和x=200 時的函數(shù)值，做出兩個一次函數(shù)圖像，如圖2是學(xué)生課堂所做草圖.

圖2

通過圖像發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x＞100 時有交點，在交點兩側(cè)呈現(xiàn)不同的大小關(guān)系，因此利用0.9x+10=0.95x+2.5 求兩函數(shù)交點(150,145)，由圖像可得當(dāng)x=150 時，y1=y2=145，此時兩家商場一樣，當(dāng)x ＜150 時，y1＞y2，此時乙商場更便宜，當(dāng)x＞150 時，y1＜y2，此時甲商場更便宜.

該方法利用函數(shù)圖像清晰明快的解決了為什么在消費(fèi)超過100 元時要分類得出三種選擇.利用函數(shù)的數(shù)形結(jié)合性直觀展示了代數(shù)實際問題的思維難點，提示了分類的必要性.

環(huán)節(jié)3 思維拔高，學(xué)生提出新解答.在老師肯定了環(huán)節(jié)2 中學(xué)生的方法后，有學(xué)生提出另一種全新的思考方法，他說既然我們用函數(shù)圖像清晰的顯示了超過100 元后兩商場消費(fèi)的情況，那能否把前兩種情況也都直觀的表示出來呢? 于是在教師的帶領(lǐng)下，學(xué)生們思考上述問題，并做出以下解答：設(shè)累計購物x元.可得甲商場：當(dāng)x≤ 100 時，y1=x; 當(dāng)x＞100 時，y1=100+0.9(x-100)=0.9x+10;乙商場：當(dāng)x≤50 時，y2=x;當(dāng)x＞50 時，y2=50+0.95(x-50)=0.95x+2.5.在同一坐標(biāo)系做出圖像，如圖3為課堂上學(xué)生所做草圖.

圖3

兩函數(shù)圖像有一段重疊，是當(dāng)0＜x≤50 時，此時甲乙兩商場一樣; 由上一環(huán)節(jié)的學(xué)生解法可知，兩函數(shù)圖像有另一交點，為(150,145)，由圖像可得：當(dāng)x=150 時，y1=y2=145，此時兩家商場一樣;當(dāng)x ＜150 時，y1＞y2，此時乙商場更便宜;當(dāng)x＞150 時，y1＜y2，此時甲商場更便宜.

對于學(xué)生有這樣的思維碰撞，產(chǎn)生這樣的解答，教師給予了表揚(yáng)，也同時關(guān)于該題做出總結(jié)：方案選擇實際上是兩個不同函數(shù)之間的大小比較，那么只要先弄清楚這兩個函數(shù)是什么，再比較就簡潔明了，而函數(shù)圖像是比較大小的直觀展現(xiàn)，也許我們未來遇到的問題會更復(fù)雜，但利用函數(shù)解決這類方案選擇問題都不失為一種好方法.

四、結(jié)合上例的“模塊融合”有效性探究

(一)“模塊融合”促進(jìn)學(xué)生自主“知識建構(gòu)”

從知識系統(tǒng)角度上，數(shù)學(xué)知識既是離散的，又是連續(xù)的.如何將離散的數(shù)學(xué)知識變成連續(xù)的知識鏈，是教材開發(fā)和教學(xué)實踐的重要目標(biāo).基于教學(xué)內(nèi)容和難度螺旋上升，也基于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的獲得感，我們不能刻意的將同一知識鏈的內(nèi)容強(qiáng)行安排在一起.而“模塊融合”的教學(xué)實踐，著眼于知識鏈中的“鏈”，合理安排課程和教學(xué)，更有利于學(xué)生知識鏈的形成.

在上例中，筆者在進(jìn)行教材藍(lán)本運(yùn)用過程中，調(diào)整1 中函數(shù)引入設(shè)計，合理設(shè)計實踐問題，把函數(shù)和不等式有效整合，打破概念之間的隔閡，引導(dǎo)學(xué)生用函數(shù)的角度理解不等式，在學(xué)生知識系統(tǒng)有機(jī)的建立起兩者之間的聯(lián)系;調(diào)整2中，先不討論上文涉及的“甲乙商場選擇”問題，而是自行設(shè)計了兩道例題，讓學(xué)生從易到難接觸一元一次不等式在實際問題中的應(yīng)用，特別是用函數(shù)的角度理解不等式的應(yīng)用，從函數(shù)圖象角度觀察不等式的解集范圍，形成一定的解題能力基礎(chǔ)，實現(xiàn)從認(rèn)識到理解應(yīng)用的能力升華.調(diào)整3 中，增加一個課時，為融合課程《一次函數(shù)與一元一次不等式》，在其中進(jìn)行例題設(shè)計，比如上文提及的網(wǎng)費(fèi)選擇問題，較之“甲乙商場選擇”問題函數(shù)更簡單，圖象更清晰，學(xué)生更易理解和運(yùn)用，幫助學(xué)生從函數(shù)圖像角度深化一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系，實現(xiàn)代數(shù)知識的幾何內(nèi)化.基于以上設(shè)計，完成融合課程后，給出上文涉及的“甲乙商場選擇”問題.學(xué)生經(jīng)歷之前的融合建構(gòu)知識系統(tǒng)過程，在已有的知識和方法基礎(chǔ)上，解決這一問題就變得不是那么困難了.

“模塊融合”教學(xué)實踐在課程設(shè)置中，進(jìn)行了知識內(nèi)容的調(diào)整，同一模塊按知識建構(gòu)順序排列，形成一條知識鏈，有利于學(xué)生的縱向知識架構(gòu).同時不同章節(jié)采用類似的引入探究等設(shè)置，有利于學(xué)生在知識建構(gòu)過程，體會數(shù)學(xué)的共通性及關(guān)聯(lián)性.其原因除了來源于知識內(nèi)容的相似性，也是本著利于學(xué)生知識建模的方向完成.

數(shù)學(xué)是知識點關(guān)聯(lián)性非常強(qiáng)的科目，知識之間既有橫向的平推，又有縱向的深入，因而數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程實際上是一個三維知識系統(tǒng)的建立.對于學(xué)生來說，三維知識系統(tǒng)的建立就如同建構(gòu)一座知識大廈，每層知識是什么內(nèi)容，上下知識如何聯(lián)結(jié)，這些都是決定了知識系統(tǒng)是否合理堅固的重要因素.所以，“模塊融合”在有效建立知識鏈的同時，還有效挖掘知識點之間的關(guān)聯(lián)，把鏈變成網(wǎng)，從而有利于學(xué)生自主建構(gòu)知識系統(tǒng).

數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過“能把書從薄變厚，又能把書從厚變薄”，我們進(jìn)行模塊內(nèi)融合就是希望學(xué)生能學(xué)會多角度多層次看問題，發(fā)現(xiàn)知識之間的聯(lián)系，將知識像樹木生長一樣，由主干延伸構(gòu)建合理完善的數(shù)學(xué)知識體系，從而更有利于知識的抽取和綜合應(yīng)用.

(二)“模塊融合”促進(jìn)學(xué)生良好的“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”

在新課程標(biāo)準(zhǔn)中，數(shù)學(xué)素養(yǎng)被提到一個相當(dāng)?shù)母叨?，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)不僅表現(xiàn)在能解題上，更體現(xiàn)在其數(shù)學(xué)理解和應(yīng)用能力.在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中應(yīng)重視培養(yǎng)學(xué)生多方面的能力，注意學(xué)生的情感態(tài)度的發(fā)展.“模塊融合”緊扣新課程有標(biāo)準(zhǔn)的指導(dǎo)思想，從這一思路出發(fā)，尋求“模塊間融合”的課程設(shè)置，以培養(yǎng)學(xué)生良好的“數(shù)學(xué)能力”.

在上文的課堂呈現(xiàn)中，我們能清楚感受到“模塊融合”教學(xué)促進(jìn)了學(xué)生“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”的形成.環(huán)節(jié)1 改變了以往課堂的問題解決方法，而是由學(xué)生提出問題，其可行性來源于前面幾節(jié)課的融合課程的鋪墊，學(xué)生對于用函數(shù)解決方案問題有了一定的認(rèn)識和體會，其感性認(rèn)識已提升到一定的高度.所以學(xué)生可以成功的提出問題，其“推理能力”已然展現(xiàn)，而教師需要做的只是將學(xué)生提出的各個問題進(jìn)行歸納和總結(jié)，變成三個有層次有遞近的關(guān)鍵問題.環(huán)節(jié)2 中，與傳統(tǒng)的班級教學(xué)比較，從函數(shù)的角度理解這一不等式的應(yīng)用問題，部分學(xué)生已能比較順利的得到實際花費(fèi)與購物原價之間的關(guān)系，能比較深刻的理解兩個變量之間的變化聯(lián)系.在構(gòu)造函數(shù)的過程中，發(fā)現(xiàn)變量的分段性質(zhì)，從而順利實現(xiàn)分類，突破了原教材中“分類思想”的思維起點和障礙.之后用函數(shù)的方式在每一分類中，進(jìn)行兩個函數(shù)的比較，特別是從圖象角度理解，充分展示了學(xué)生“數(shù)形結(jié)合”思想的內(nèi)化.而環(huán)節(jié)3 可以說是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的一個亮點體現(xiàn)，不同于之前學(xué)生的先分類再構(gòu)造函數(shù)的方法順序.學(xué)生根據(jù)“實際花費(fèi)隨著購物原價的變化而變化”這一特征，分析得到這兩變量之間存在一定的關(guān)系，即函數(shù).從而直接得到“分段函數(shù)”，再利用兩分段函數(shù)的圖象進(jìn)行非常形象的比較.學(xué)生的符號意識、分析能力、推理能力都在這一過程中得以體現(xiàn).當(dāng)然雖然只是少數(shù)學(xué)生的思維能力激發(fā)，但也從一定程度上反映了“模塊融合”教學(xué)促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成.

“模塊融合”從“利于學(xué)生數(shù)學(xué)能力形成”這一思路入手，進(jìn)行模塊間融合，將不同模塊的內(nèi)容串通起來，實現(xiàn)其數(shù)學(xué)本質(zhì)的聯(lián)結(jié).同時打破現(xiàn)有的模塊劃分，將不同模塊內(nèi)容放在一起，雖然需要學(xué)生更高的學(xué)習(xí)能力，但可以達(dá)到更好的學(xué)習(xí)效果，從而同時培養(yǎng)了更多核心概念，進(jìn)而提升了學(xué)生的綜合運(yùn)用水平.使得數(shù)學(xué)模塊之間不再是割裂的個體，而融合成為統(tǒng)一的數(shù)學(xué)整體.正如上文所述，學(xué)生通過函數(shù)與不等式的融合學(xué)習(xí)，潛移默化中培養(yǎng)了數(shù)感、符號意識和推理能力，所以才能在解決上述問題的過程中，不斷嘗試不斷探究，形成課堂上的發(fā)散與創(chuàng)新.當(dāng)然以上嘗試對于學(xué)生理解和接受能力提出了更高的要求，學(xué)生一旦接受并領(lǐng)悟之后，將非常有利于其數(shù)學(xué)能力的形成，也將使學(xué)生在未來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中終身受益.