微課在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用與實(shí)踐

大連大學(xué)信息工程學(xué)院 柳 揚(yáng)

“大力發(fā)展本科教學(xué)，提高本科教學(xué)質(zhì)量”，這是教育部在《關(guān)于加快建設(shè)高水平本科教育，全面提高人才培養(yǎng)能力的意見》中提出的一項(xiàng)重要工作。在堅(jiān)持“以本為本”的教學(xué)理念下，將工作重心落回到本科教學(xué)上，是對高校教師提出的新要求。高校教師面對新時(shí)代的大學(xué)生，教學(xué)模式的革新不可或缺，如何將現(xiàn)代化教學(xué)手段與傳統(tǒng)教學(xué)模式相結(jié)合，如何將學(xué)生“領(lǐng)學(xué)”與教師“教學(xué)”相結(jié)合，更好地發(fā)展本科教學(xué)，這也是高校教師面臨的一次新挑戰(zhàn)。

高等數(shù)學(xué)是針對高等院校本科生開放的一門重要的公共基礎(chǔ)課，高等數(shù)學(xué)的課程內(nèi)容更是本科后續(xù)專業(yè)課程學(xué)習(xí)的重要工具，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性是日后學(xué)生自我學(xué)習(xí)、自我研究能力培養(yǎng)的重要基礎(chǔ)，同時(shí)高等數(shù)學(xué)也是學(xué)生考研的重要科目之一，因此受到學(xué)生的高度重視。但是，高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)內(nèi)容多、各大院校高等數(shù)學(xué)的教學(xué)班型較大、專任教師的教學(xué)模式較傳統(tǒng)、教學(xué)手段比較單一，這些都使得授課教師的工作壓力很大。為了解決這些教學(xué)中存在的問題和困難，新的教學(xué)模式——微課建設(shè)與使用，逐漸成為各大院校開展教學(xué)改革的重要內(nèi)容。微課最早在2008年由美國新墨西哥州圣胡安學(xué)院高級教學(xué)設(shè)計(jì)師戴維·彭羅斯提出，是運(yùn)用授課內(nèi)容微制作的方法，形成以在線學(xué)習(xí)或移動學(xué)習(xí)為目的的教學(xué)手段。課程微課是將章節(jié)知識點(diǎn)“大化小”“繁化簡”“整化零”，以便于學(xué)習(xí)者使用移動端可隨時(shí)進(jìn)行學(xué)習(xí)。不因時(shí)間限制，不因空間約束，因此微課的使用具有一定的靈活性。微課不僅可以激發(fā)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的意識，也能提高教師上課的效率，在固定時(shí)長的課堂上，充分發(fā)揮學(xué)生的主動性，讓學(xué)生帶著問題積極主動地參與到課堂中來。但是，這并不意味著微課將會替代傳統(tǒng)課堂授課。本文將針對教改項(xiàng)目工作微課制作中的問題提出一定的解決辦法，并總結(jié)了高等數(shù)學(xué)微課設(shè)計(jì)的過程。

一、高等數(shù)學(xué)的微課設(shè)計(jì)探討

高等數(shù)學(xué)通常分為理工類高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)類高等數(shù)學(xué)兩大類，由于專業(yè)的不同，對于微積分知識的要求也不盡相同，面對很多院校的大類招生，微積分課程設(shè)置也面臨巨大的挑戰(zhàn)。但是，高等數(shù)學(xué)的微課設(shè)計(jì)恰恰可以解決這個(gè)難題。微課以一個(gè)知識點(diǎn)制作一個(gè)短視頻，學(xué)生通過學(xué)習(xí)可以掌握一個(gè)“點(diǎn)”，即可靈活應(yīng)用于不同學(xué)科，解決不同的實(shí)際問題。比如，導(dǎo)數(shù)的概念反映的是函數(shù)的瞬時(shí)變化率問題，因此可以將導(dǎo)數(shù)應(yīng)用在幾何學(xué)中，可以解決曲線的切線斜率問題；在物理學(xué)中，可以解決物體的瞬時(shí)速度；在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，可以解決邊際經(jīng)濟(jì)問題等。高等數(shù)學(xué)之所以被設(shè)定為公共基礎(chǔ)課，就是因?yàn)閷W(xué)生可以通過數(shù)學(xué)特征的學(xué)習(xí)，掌握并提升辯證思維能力，為解決工作中的問題打基礎(chǔ)；通過學(xué)習(xí)用數(shù)學(xué)來解決問題的數(shù)學(xué)方法，提升學(xué)生解決科技矛盾的能力。所以，在微課設(shè)計(jì)中，要注重知識點(diǎn)的劃分，重概念的由來，重解決方法的問題背景，重知識的實(shí)際應(yīng)用性。

微課的制作原則是“小而精悍”，借助于傳統(tǒng)的課程設(shè)計(jì)，每個(gè)微課視頻設(shè)計(jì)應(yīng)在5—10分鐘，知識點(diǎn)具有針對性，問題背景要具有代表性，引入實(shí)例將數(shù)學(xué)的抽象化為具體、特殊化為一般、整體化為片段。比如，在“定積分的概念”一節(jié)中，由于數(shù)學(xué)概念具有抽象性，不易于學(xué)生理解，因此在該節(jié)課程設(shè)計(jì)中，將重心落在問題的背景上，重在尋求解決問題的途徑，歸納解決問題的方法，從而引出抽象概念。因此，定積分的定義設(shè)定為一節(jié)微課內(nèi)容。首先，我們要注意到定積分在微積分中具有非常重要的作用，它是研究連續(xù)變量在某一區(qū)間內(nèi)的總量問題。因此在選擇實(shí)例時(shí)，先想到學(xué)生熟悉的幾何求面積問題，即尋求不規(guī)則平面圖形的面積。在分析方法中，讓學(xué)生感受到中學(xué)階段學(xué)習(xí)到的知識的延伸，辯證地理解“以不變應(yīng)萬變”的思想，總結(jié)出分割、替代、求和、取極限四個(gè)步驟。其次，為了體會定積分的應(yīng)用不僅僅是在幾何上求面積，再選擇一個(gè)物理學(xué)中學(xué)生熟悉的知識，即求變速直線運(yùn)動物體的位移。兩個(gè)例子都有一個(gè)共同的特點(diǎn)，就是在有限區(qū)間上含有連續(xù)變量，無法再用簡單的初等數(shù)學(xué)公式直接計(jì)算求解。因此要借助極限的思想，充分發(fā)揮極限的作用，分析并解決問題。通過以上兩個(gè)例子的分析，讓學(xué)生充分體會到，所謂的定積分就是通過四步法來求含有連續(xù)變量的函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的總量的方法。讓定積分的定義從一個(gè)抽象概念變成了一個(gè)簡單的解決問題的方法，學(xué)生更容易接受，也更容易理解。短短10分鐘的一個(gè)視頻，充分體現(xiàn)了定積分概念的由來、問題的背景、解決的方法，更便于學(xué)生在應(yīng)用過程中的擴(kuò)展，了解到定積分不僅僅能求不規(guī)則平面圖形的面積，還能求立體體積、求密度不均勻的物體質(zhì)量、求曲線弧長度等，也為下冊書中多重積分的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

再比如，在微分中值定理的介紹時(shí)，數(shù)學(xué)定理的特殊性決定了應(yīng)用的靈活性，這也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。學(xué)生對定理經(jīng)常產(chǎn)生畏懼的心理，知道定理內(nèi)容，卻不知定理如何使用。因此，在關(guān)于定理的學(xué)習(xí)中，盡可能將條件和結(jié)論變得可視化，有效地利用幾何圖形，借助計(jì)算機(jī)的圖形模擬，讓內(nèi)容更加直觀，便于學(xué)生理解。因此，本節(jié)微課的設(shè)計(jì)重心落在幾何解釋上，通過觀察幾何圖形的特征，讓學(xué)生尋找特殊的結(jié)論，再引導(dǎo)學(xué)生通過嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)的證明，得出定理的條件以及結(jié)論。從制作的過程中，教師更加凝練了重要的知識點(diǎn)，學(xué)生借助于每個(gè)微小的知識點(diǎn)視頻，也激發(fā)了自己學(xué)習(xí)的興趣，培養(yǎng)了學(xué)生獨(dú)立自主學(xué)習(xí)的良好習(xí)慣，增強(qiáng)了學(xué)生解決問題的信心，培養(yǎng)了學(xué)生解決問題的能力。

二、以微積分基本定理為例的微課設(shè)計(jì)

眾所周知，牛頓—萊布尼茨公式為解決定積分的計(jì)算問題提供了最便利的方法，結(jié)合幾十秒的多媒體動畫，讓學(xué)生在理解定積分定義的同時(shí)，也體會定義法計(jì)算上的不便捷甚至困難重重，因此通過牛頓以及萊布尼茨的研究數(shù)學(xué)背景，充分體會該公式的奇妙之處。遵從學(xué)生學(xué)習(xí)需求，從實(shí)際的應(yīng)用示例，去探求問題、解決問題、總結(jié)方法、歸納結(jié)論。

比如，求做變速直線運(yùn)動物體的位移，該問題基于學(xué)生已經(jīng)掌握的定積分的定義和定積分的幾何意義，可以輕松地尋求到位移與速度的關(guān)系，更加有助于學(xué)生借助自己的能力進(jìn)行問題的分析和解決，抽象出定積分的計(jì)算方法。

首先，為了解決變速問題，借助定積分的幾何意義，利用幾何圖形直觀描繪面積的變化情形，引導(dǎo)學(xué)生找出積分上限函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)的定義研究積分上限函數(shù)的可導(dǎo)性。從而得到兩個(gè)定理：（1）利用導(dǎo)數(shù)定義進(jìn)行定理1結(jié)論的證明；（2）原函數(shù)存在定理：連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù)。

其次，借助積分上限函數(shù)回應(yīng)最初的假設(shè)，尋求本節(jié)課的核心公式——牛頓—萊布尼茨公式。牛頓—萊布尼茨公式的引出將本節(jié)課帶入了一個(gè)高潮，恩格斯曾精辟地指出：“微積分是17世紀(jì)自然科學(xué)的三大發(fā)明之一！在一切理論成就中，未必有什么像17世紀(jì)下半葉微積分的發(fā)明那樣被看成人類精神的最高成就了！”這個(gè)公式充分體現(xiàn)了積分與微分的辯證關(guān)系，積分是微分的無限累加，微分是積分的無限分割。

微課視頻可以在授課教師上課前就發(fā)布給學(xué)生，學(xué)生可以以預(yù)習(xí)為目的進(jìn)行學(xué)習(xí)，帶著問題回到課堂上，與教師一起完成教學(xué)任務(wù)，課程例題講解盡可能采取傳統(tǒng)的教學(xué)模式進(jìn)行，例題的選擇要具有代表性，積分上限函數(shù)的求導(dǎo)、簡單的定積分計(jì)算，更能讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)應(yīng)用的規(guī)范性和嚴(yán)謹(jǐn)性，讓學(xué)生輕松地去掌握本節(jié)課中的重要定理的內(nèi)容和結(jié)論，掌握基本的計(jì)算方法，為接下來的換元法以及分部積分法計(jì)算定積分打下良好的基礎(chǔ)。牛頓—萊布尼茨公式是今后計(jì)算定積分的主要計(jì)算工具，同時(shí)又是聯(lián)系微分學(xué)與積分學(xué)的重要紐帶，因此，其在微積分學(xué)習(xí)中的意義十分重要。正確理解公式的由來比機(jī)械記憶更加有助于今后學(xué)習(xí)過程中知識的應(yīng)用。

本文借助微積分中的微積分中值定理，牛頓—萊布尼茨公式內(nèi)容的微課設(shè)計(jì)，充分體現(xiàn)微課短小精悍的特點(diǎn)，易于學(xué)生對于重點(diǎn)知識的掌握，便于與傳統(tǒng)教學(xué)相結(jié)合，更好地完成教學(xué)任務(wù)，達(dá)到更好的教學(xué)效果。由于微課時(shí)長設(shè)置合理，所以學(xué)習(xí)環(huán)境不受時(shí)間和地域的影響，而且適于反復(fù)觀看，有助于學(xué)生自主學(xué)習(xí)。本次課程教學(xué)改革，不僅使得授課教師更加熟練地掌握制作的技能，也讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中獲得很大的收益。