在比較中生成概念，在變化中理解概念
——以三上“倍”的概念教學(xué)為例

仇燕萍

數(shù)學(xué)概念是人腦對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的一種反映形式，是一種數(shù)學(xué)思維形式。正確理解并靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)概念，是掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能、發(fā)展邏輯論證和空間想象能力的前提。但數(shù)學(xué)概念一般都比較抽象，這與小學(xué)生更容易理解依托具體形象思維展開(kāi)的知識(shí)點(diǎn)之間存在著一定的矛盾。如何有效解決這個(gè)矛盾，幫助學(xué)生準(zhǔn)確理解數(shù)學(xué)概念呢？本文借助蘇教版三上“倍”的概念教學(xué)課例進(jìn)行研究和分析。這是一節(jié)典型的概念學(xué)習(xí)課，要想理解和掌握“倍”的概念，最關(guān)鍵的就是要找到它的本質(zhì)，這就需要教師引導(dǎo)學(xué)生既掌握“倍”的內(nèi)涵又理解“倍”的外延，如此，在教學(xué)過(guò)程中為學(xué)生提供這樣的學(xué)習(xí)路徑和方法就顯得尤為重要。

一、遷移經(jīng)驗(yàn)，初步感悟“倍”的來(lái)龍去脈

“倍”是小學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)基本概念，也是一個(gè)起始性的概念。它是從哪里來(lái)的呢？它是從“幾個(gè)幾”中逐步抽象和衍生出來(lái)的，其生長(zhǎng)點(diǎn)在于乘法的意義。它又要到哪里去呢？它是幫助學(xué)生理解除法的意義，學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)、比等一系列數(shù)學(xué)問(wèn)題的基礎(chǔ)?？梢?jiàn)，它在整個(gè)小學(xué)階段有著非常重要的地位。鑒于此，教學(xué)“倍”時(shí)，教師就可以通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)乘法的意義、回憶求幾個(gè)幾的方法來(lái)引入新課。

二、比較概念，探尋“倍”的本質(zhì)

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系與空間形式的學(xué)科，而研究數(shù)量關(guān)系是從兩個(gè)量的比較開(kāi)始的?！氨丁边@一概念就是通過(guò)兩個(gè)量的比較而產(chǎn)生的，它的本質(zhì)就是一種比率。在小學(xué)階段，兩個(gè)量的比較不僅有倍比這種情況，還有差比。差比研究的是一個(gè)量比另一個(gè)量多（少）多少，主要通過(guò)加、減法來(lái)實(shí)現(xiàn)；而倍比研究的是一個(gè)量中包含幾個(gè)另一個(gè)量，主要通過(guò)乘、除法來(lái)實(shí)現(xiàn)。從表面上看，兩者只是計(jì)算方法不同，但它們之間有著本質(zhì)的區(qū)別。讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)差比和倍比的不同點(diǎn)，在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)能準(zhǔn)確地做出判斷和選擇，至關(guān)重要。

教學(xué)時(shí)，可以先將三種顏色（例題所畫(huà)的紅、黃、藍(lán)）的花進(jìn)行差比，讓學(xué)生通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，無(wú)論哪兩個(gè)量放在一起差比，結(jié)果都是求出兩個(gè)數(shù)據(jù)之間相差的那一部分，也就是多了多少或少了多少。然后讓學(xué)生嘗試將兩個(gè)量進(jìn)行倍比，在學(xué)生比較的過(guò)程中，教師一定要強(qiáng)調(diào)哪個(gè)量是標(biāo)準(zhǔn)量，哪個(gè)量是比較量，也就是找準(zhǔn)把誰(shuí)看作一份。在以后的學(xué)習(xí)中，學(xué)生會(huì)慢慢發(fā)現(xiàn)，“倍”的認(rèn)識(shí)并不是今天直觀上看到的大數(shù)除以小數(shù)，而是標(biāo)準(zhǔn)量不同，比較出來(lái)的結(jié)果就不同。

三、反復(fù)變化，自主建構(gòu)“倍”的核心內(nèi)涵

前面已經(jīng)提到，“倍”是通過(guò)比較產(chǎn)生的。因此，如何比較、誰(shuí)跟誰(shuí)比就是“倍”的核心內(nèi)涵；讓學(xué)生通過(guò)一次次比較構(gòu)建出“倍”的概念模型，逐步實(shí)現(xiàn)從形象到抽象、從生活化的懵懂到數(shù)學(xué)上的準(zhǔn)確理解，就成了教學(xué)的重點(diǎn)。筆者在教學(xué)中設(shè)計(jì)了四次變化，層層推進(jìn)教學(xué)過(guò)程。

第一次變化，先是6朵紅花和2朵藍(lán)花進(jìn)行比較，然后是8朵紅花和2朵藍(lán)花進(jìn)行比較，通過(guò)一系列追問(wèn)引發(fā)學(xué)生思考：為什么一個(gè)是3倍，一個(gè)是4倍？學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)都是和2比較，紅花的數(shù)量變了，所以?xún)煞N花之間的倍數(shù)關(guān)系也變了。之后，繼續(xù)讓學(xué)生思考：多出來(lái)的這1倍是幾朵紅花？為什么是2朵？促使學(xué)生把觀察思考的重點(diǎn)在標(biāo)準(zhǔn)量和比較量之間反復(fù)轉(zhuǎn)移，反復(fù)理解。這一環(huán)節(jié)，讓學(xué)生通過(guò)辨析和比較，體會(huì)標(biāo)準(zhǔn)量不變、比較量變化是如何引起倍數(shù)關(guān)系變化的，使他們?cè)跐撘颇袦?zhǔn)確建立倍的概念模型。

第二次變化，是8朵紅花和4朵藍(lán)花進(jìn)行比較，引發(fā)學(xué)生思考：都是8朵紅花在和藍(lán)花進(jìn)行比較，為什么一個(gè)是4倍，一個(gè)是2倍？啟發(fā)學(xué)生再次將觀察的重點(diǎn)放在標(biāo)準(zhǔn)量上。學(xué)生通過(guò)觀察比較發(fā)現(xiàn)，藍(lán)花的數(shù)量變了，所以?xún)煞N花之間的倍數(shù)關(guān)系也變了。這一環(huán)節(jié)，讓學(xué)生通過(guò)比較和辨析深刻理解“倍”的概念模型，體會(huì)到標(biāo)準(zhǔn)量變化、比較量不變同樣會(huì)引起倍數(shù)關(guān)系的變化，對(duì)概念的理解又加深了一步。

第三次變化，是提供一定數(shù)量的兩種圖形，讓學(xué)生始終擺出兩種圖形的3倍關(guān)系，促進(jìn)他們通過(guò)思考、交流、操作、觀察進(jìn)一步擴(kuò)展“倍”的概念外延。這一環(huán)節(jié)，將標(biāo)準(zhǔn)量和比較量的決定權(quán)都交給學(xué)生，讓他們自主探究不斷變化中的數(shù)量之間的倍數(shù)關(guān)系。

第四次變化，是讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到兩數(shù)之間的倍比除了整倍數(shù)關(guān)系，還有可能是有余數(shù)的情況。當(dāng)然，“有余數(shù)的除法”這一知識(shí)點(diǎn)還沒(méi)學(xué)習(xí)，所以對(duì)學(xué)生的計(jì)算方法和表述都不作要求，僅讓學(xué)生借助線段圖準(zhǔn)確表述出兩個(gè)量之間的關(guān)系是幾倍多幾，或者幾倍少幾。這一環(huán)節(jié)，通過(guò)比較整倍數(shù)關(guān)系和不能整除時(shí)該如何描述兩數(shù)間的關(guān)系，使“倍”概念的學(xué)習(xí)在更高層次上得到延伸和拓展。

上述教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，環(huán)環(huán)緊扣，層層深入，讓學(xué)生通過(guò)比較和思考，逐步建構(gòu)出“倍”的表象，抽象出“倍”的概念，理解“倍”的內(nèi)涵，最終把握“倍”的實(shí)質(zhì)。這無(wú)論是對(duì)小學(xué)階段的數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)，還是對(duì)初中的函數(shù)學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō)，都是一種非常有效的方法。