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    對運算教學中板書示范與矯正錯誤的探索

    2021-12-03 07:21:38吳顯峰
    初中生世界 2021年44期
    關鍵詞:小括號平方差板書

    ■吳顯峰

    我國著名數學教育家傅種孫先生曾指出:“教學的技藝,一方面要指示正規(guī),另一方面要矯正錯誤,必須兼施并用,才會有較好的效果?!惫P者結合近年來初中數學運算教學中的一些實踐經驗,認為運算教學要重視板書示范和矯正錯誤。下面筆者以乘法公式的教學為例,談一談個人的做法和體會。

    一、例題板書示范

    案例1 (平方差公式)計算(3x+2)(3x-2)。

    解:原式=(3x)2-22……視為整體,添加小括號,不跳步。

    =9x2-4?!归_小括號。

    板書示范的細節(jié):教師在板書之前,可先安排學生觀察兩個因式中的各項系數的特點,然后用不同顏色的粉筆進行標注,再寫成兩項平方差的形式,并在每一步的后面進行備注、解讀。

    案例2 (平方差公式)計算(-m+2n)(-2n-m)。

    解:原式=(-m+2n)(-m-2n)……變形改寫,與公式“形式”一致。

    =(-m)2-(2n)2……視為整體,添加小括號,不跳步。

    =m2-4n2?!归_小括號。

    板書示范的細節(jié):教師先安排學生觀察兩個因式中的各項特點,分析能否運用乘法公式進行簡化運算,這里要讓學生辨識并且說出哪一項相當于平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2中的“a”或“b”,然后提醒并示范“第一步”。教師可以使用相同顏色的粉筆標注“-m”,使用另一種顏色的粉筆標注“2n”,以促進學生辨識。

    案例3 (完全平方公式)計算(a+b+c)2。

    解:原式=[ ](a+b)+c2……視為整體,恰當分組。

    =(a+b)2+2(a+b)c+c2……運用完全平方公式展開。

    =a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2……展開小括號。

    =a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc?!?,形式上更加一致。

    板書示范的細節(jié):學生可能會直接展開成9項,然后再合并、化簡。對于這道計算題來說也是可行的,但筆者啟發(fā)學生運用整體眼光,連續(xù)使用完全平方公式展開,然后將a+b視為整體用小括號括起來,具體板書時還可采用留白、字號縮放的書寫技巧(如圖1)來幫助學生理解這一步的意圖。

    案例4 (乘法公式綜合運算)計算(x+2y-3)(x-2y+3)。

    解:原式=[x+(2y- 3) ][x- (2y- 3) ]……觀察因式中的各項系數特點,恰當組合。

    =x2-(2y-3)2……視為整體,運用平方差公式。

    =x2-(4y2-12y+9)……展開小括號。

    =x2-4y2+12y-9?!バ±ㄌ?,化簡。

    板書示范的細節(jié):在初學案例4 這道計算題時,學生往往不太適應,難以找出合適的分組。這時教師可在學生獨立觀察、思考的基礎上,讓學生分組交流各自的發(fā)現和嘗試,然后再讓全班交流分享一些成功的分組經驗,最后在學生成功解出答案的基礎上,進行如上的“分步運算”環(huán)節(jié),并備注每一步的操作說明或依據。

    二、矯正錯誤的案例呈現

    案例5 計算(-3x+2y)(-2y-3x)。學生錯誤:原式=-3x2+2y2。

    提醒出錯后訂正:原式=-9x2+4y2。第二次訂正:原式=-4y2+9x2。

    矯正意見:該生成績在班級屬于中等水平,第一次出錯的原因是典型的跳步太多,特別是符號辨識不當,又沒有添加小括號,而且對平方差公式的結構特征理解不透,化簡時也沒有與平方差公式在結構上保持“一致性”(結果宜寫成9x2-4y2)。在師生究錯討論后,訂正如圖2:

    圖2

    案例6 計算(a+2b+1)(a+2b-1)。

    學生錯誤:

    矯正意見:由于學生第一步就出現了“組合”錯誤,導致后續(xù)運算全部無效,是典型的“高位出錯”。教師教學時可將這種錯誤進行投影,讓全班學生參與糾錯和究錯,能訓練學生的觀察能力。當學生觀察出兩個因式中有相同項(a+2b)時,再運用平方差公式即可簡化運算。

    案例7 運用“楊輝三角”展開(a-2b)5。

    學生錯誤:原式=a5-10a4b+20a3b2-20a2b3+10ab4-2b5。

    矯正意見:這是蘇科版數學八年級教材中的一道變式拓展題。在教學過程中,筆者發(fā)現很多學生都出錯了。學生出錯的根本原因在于對“視為整體”的處理策略運用不熟悉,并且想“一步到位”,結果跳步出錯。而少數展開成功的學生就是因為將“-2b”視為整體,然后運用“楊輝三角”逐項展開,最后再化簡成功的。上述的教師示范過程如圖3。教師講評時注意讓學生體會運算、書寫的“序”,可以使用不同顏色的粉筆進行切換、示范。

    圖3

    三、關于運算教學的思考

    1.站在學生角度,找準算法關鍵并分步示范。

    教師由于對初中階段的各類運算非常熟悉,所以備課時更需要站在學生的角度,以一個初學者的視角了解學生的最近發(fā)展區(qū),即對于新學習的運算或變形可以與之前哪些運算或算法經驗相關聯,又與哪些顯著不同且容易形成干擾。找準以上這些算法關鍵之后,教師就要做出必要的教學預設,比如在哪些關鍵步驟要慢下來或者停下來,而不是用PPT像“放電影”一樣展示解法過程,然后再安排大量練習。筆者認為,在學生新接觸一類運算之后,要組織學生“慢慢”歸納(能證明的要盡量進行推證)得出運算法則。在運用法則進行運算時,例題的算法步驟盡量不使用PPT 播放,而要由教師親自板書,通過輔以不同顏色的粉筆,恰時恰點的留白式書寫和停頓式書寫,甚至需要必要的“稚化思維”“有意出錯”等教學藝術,突破教學難點,提醒學生關注易錯點和易混點。

    2.執(zhí)行法則,并靈活運用數學思想解題。

    學生在新接觸一類運算或變形式之后,歸納得出的運算法則,要嚴格執(zhí)行,但是運算的難點和靈活性在于運算法則是“剛性”的,而運算通性則是“柔性”的,教師往往要帶領學生體會“規(guī)則下的自由”。

    比如有理數的混合運算,按照不同級別運算的先后順序進行運算時,還要靈活運用運算律簡化運算。再比如,上文提到的乘法公式的簡化運算,要引導學生善于整體處理,養(yǎng)成“視為整體”的習慣。形成這方面的能力固然與學生對運算的適應性有關,也與教師“深入淺出”“形象生動”的板書示范有著很大的關系。關于運算教學或運算習題的講評課,筆者曾特別提醒一些初任教師,因為他們常常對運算步驟缺少深入構思,往往出現算法不夠簡明、重點步驟不突出等問題。因此他們要多向教材學習,弄清楚教材上針對某道例題的算法步驟為什么只給出三步,而不是四步或六步??傊?,學會省略“非必要表達步驟”(力求運算過程更加簡明、清楚)也是運算教學的關鍵和難點。

    3.找出主要錯因,引導學生從糾錯走向究錯。

    筆者根據教學經驗,發(fā)現學生計算出錯的主要原因是跳步。筆者開展糾錯時常常會向學生指出“十次算錯九次跳”,并細心協(xié)助學生一起查找出他們的錯誤步驟,然后針對錯誤給出訂正的建議,這其中要求學生充分展開必要的算法步驟,往往能提高學生的運算能力。另外,有些運算能力不強的學生,在訂正運算錯誤時往往要經歷多次訂正才能算出正確的結果,這類學生缺少必要的反思,他們常常是為“完成任務”(僅以算到正確的結果為目標),并不主動去反思、分析前面幾次出錯的原因,從而失去提升運算能力的機會。因為運算能力的提升除了“嚴守法則、靈活處理”之外,還需要從運算失誤中吸取一些教訓。筆者的教學經驗是,在課堂上遇到學生的典型錯誤時,常常會安排“大屏幕投影”,組織全體學生共同究錯,然后進行訂正和算法步驟的優(yōu)化與簡化,最后讓出錯學生整理自己的錯誤并且訂正在筆記本上,而不是讓他們只記錄正確的算法。這樣做的好處是,學生過一段時間復習時,可以對比錯誤算法和正確步驟,包括將來再次出現同類錯誤時,可以讓學生對前后的運算錯誤進行比對、驗證,防止反復出錯和一錯再錯。

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