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    HPM視角下的項(xiàng)目化數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)

    2021-12-02 03:46:38李德虎汪曉勤
    中小學(xué)課堂教學(xué)研究 2021年11期
    關(guān)鍵詞:畫法項(xiàng)目化學(xué)習(xí)

    李德虎 汪曉勤

    【摘 要】HPM視角下“長(zhǎng)方體直觀圖的畫法”的教學(xué)以“選美大賽—古書修訂—厚積薄發(fā)—建章立制—牛刀小試—畫龍點(diǎn)睛”為主線,重構(gòu)式運(yùn)用數(shù)學(xué)史,運(yùn)用項(xiàng)目化學(xué)習(xí)理念創(chuàng)設(shè)情境,讓學(xué)生化身為小數(shù)學(xué)家進(jìn)行“古書修訂”,在小組合作探究中討論制訂長(zhǎng)方體直觀圖畫法的三條規(guī)則,形成“斜二測(cè)”畫法,再現(xiàn)了“斜二測(cè)”畫法誕生的過程。本節(jié)課是項(xiàng)目化學(xué)習(xí)與HPM視角下課堂教學(xué)相結(jié)合的一次嘗試。

    【關(guān)鍵詞】HPM;“斜二測(cè)”畫法;項(xiàng)目化學(xué)習(xí)

    【作者簡(jiǎn)介】李德虎,上海市新楊中學(xué)科研處主任,高級(jí)教師,HPM工作室成員,主要從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究;汪曉勤,華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院教授、博士生導(dǎo)師,主要從事數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究。

    【基金項(xiàng)目】上海高校“立德樹人”人文社會(huì)科學(xué)重點(diǎn)研究基地之?dāng)?shù)學(xué)教育教學(xué)研究基地研究項(xiàng)目——數(shù)學(xué)課程與教學(xué)中落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的研究(A8) “長(zhǎng)方體直觀圖的畫法”是滬教版初中六年級(jí)數(shù)學(xué)教科書第八章“長(zhǎng)方體的再認(rèn)識(shí)”第2節(jié)的內(nèi)容,學(xué)生在小學(xué)階段已經(jīng)認(rèn)識(shí)了長(zhǎng)方體,會(huì)根據(jù)公式計(jì)算長(zhǎng)方體、正方體的表面積和體積,對(duì)長(zhǎng)方體的直觀圖也有初步的認(rèn)識(shí)?!渡虾J兄行W(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(試行稿)》指出,學(xué)生要熟悉長(zhǎng)方體直觀圖的某一種常用圖形,會(huì)畫長(zhǎng)方體的直觀圖(采用“斜二測(cè)”畫法)[1]。本節(jié)課屬于立體幾何的啟蒙課,為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)長(zhǎng)方體中棱與棱、棱與面和面與面的關(guān)系乃至高中立體幾何打下基礎(chǔ)。

    在教學(xué)實(shí)踐中,教師通常直接告知學(xué)生長(zhǎng)方體直觀圖的畫法,并帶領(lǐng)學(xué)生一起按步驟用“斜二測(cè)”畫法畫長(zhǎng)方體,而對(duì)于為何要將上下底畫成一個(gè)內(nèi)角為45°的平行四邊形且取寬為實(shí)際長(zhǎng)度的一半,均不做說明[2]。在課堂上,學(xué)生難免會(huì)對(duì)“斜二測(cè)”畫法的規(guī)定產(chǎn)生疑問。鑒于此,我們希望從HPM的視角,重新設(shè)計(jì)“長(zhǎng)方體直觀圖的畫法”教學(xué)內(nèi)容,并付諸實(shí)施。本節(jié)課擬訂的教學(xué)目標(biāo)如下。

    (1)理解“斜二測(cè)”畫法的合理性,會(huì)用“斜二測(cè)”畫法畫長(zhǎng)方體,培養(yǎng)學(xué)生初步的空間觀念和空間想象能力。

    (2)經(jīng)歷“斜二測(cè)”畫法的形成過程,體會(huì)其中的研究方法。

    (3)對(duì)話歷史,提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信心,形成動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)觀,體會(huì)數(shù)學(xué)背后的理性精神。

    一、數(shù)學(xué)史料及其運(yùn)用

    在16世紀(jì)的幾何書籍中,已經(jīng)普遍使用平行四邊形來表示長(zhǎng)方體的六個(gè)面,在1509年出版的《歐幾里得集》中[3],長(zhǎng)方體和正方體直觀圖的畫法如圖1所示??梢?,當(dāng)時(shí)人們已經(jīng)采用斜投影畫法來畫長(zhǎng)方體的直觀圖,其中平行四邊形的一個(gè)內(nèi)角近似取45°,但寬并沒有取實(shí)際長(zhǎng)度的一半。特別在正方體直觀圖中,長(zhǎng)和寬保持兩兩相等關(guān)系,即上、下、左、右四個(gè)面為菱形。

    書中還出現(xiàn)了一些錯(cuò)誤的長(zhǎng)方體直觀圖,如圖2所示。

    1532年,法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)奈烏斯(O.Finaeus)在《數(shù)學(xué)之源》[4]中給出的長(zhǎng)方體畫法與《歐幾里得集》類似,將正方體的上、下、左、右四個(gè)面畫成菱形,如圖3所示。1564年,意大利數(shù)學(xué)家巴托利(C.Bartoli)在《測(cè)量之術(shù)》[5]中沿用了同樣的畫法,保留正方體長(zhǎng)、寬和高的實(shí)際長(zhǎng)度,看起來就像一般的長(zhǎng)方體,如圖4所示。

    直到17世紀(jì),正方體的畫法有了明顯的改進(jìn),如1624年,意大利數(shù)學(xué)家博莫多羅(Pomodoro)在《實(shí)用幾何》中畫的正方體直觀圖就不再保持長(zhǎng)和寬相同[6],但是圖中的寬并沒有取實(shí)際長(zhǎng)度的一半,而是取實(shí)際長(zhǎng)度的23,如圖5所示。

    到19世紀(jì)末,關(guān)于長(zhǎng)方體直觀圖仍未有統(tǒng)一的規(guī)范畫法,例如1899年,米爾恩(W.J.Milne)在《平面與立體幾何》[7]中將上、下底面的寬取為實(shí)際長(zhǎng)度的23,一個(gè)內(nèi)角接近30°,如圖6所示。

    可見,在將近400年的漫長(zhǎng)時(shí)間里,數(shù)學(xué)教科書基本采用斜投影的軸測(cè)圖來畫長(zhǎng)方體,但表示上下底面的平行四邊形的鄰邊大小關(guān)系和一個(gè)內(nèi)角的大小并不統(tǒng)一,寬處于實(shí)際長(zhǎng)度的13到實(shí)際長(zhǎng)度相等之間,一個(gè)內(nèi)角處于30°和60°之間。

    直到1916年,美國(guó)數(shù)學(xué)家貝茨(W.Betz)和韋布(H.E.Webb)在其《立體幾何》[8]中給出了斜二軸測(cè)投影(簡(jiǎn)稱“斜二測(cè)”畫法)的作圖法,作者稱這種投影是一種“令人滿意的投影方式”,如圖7所示。

    數(shù)學(xué)史告訴我們,長(zhǎng)方體直觀圖的“斜二測(cè)”畫法經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的探索過程,其實(shí)是一種規(guī)則的制訂,是數(shù)學(xué)家在討論中“約定俗成”的。教師可以采用探究式教學(xué)法,讓學(xué)生在討論中形成畫法規(guī)則,重現(xiàn)“斜二測(cè)”畫法規(guī)則制訂過程,揭示學(xué)生畫法的歷史相似性。

    二、教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施

    根據(jù)數(shù)學(xué)史料,本節(jié)課教學(xué)設(shè)計(jì)運(yùn)用項(xiàng)目化學(xué)習(xí)的理念,分為選美大賽、古書修訂、厚積薄發(fā)、建章立制、牛刀小試和畫龍點(diǎn)睛六個(gè)部分。以四本古書修訂為驅(qū)動(dòng)性問題,引導(dǎo)學(xué)生小組探究,討論制訂長(zhǎng)方體直觀圖的畫法規(guī)則,形成核心知識(shí)“斜二測(cè)”畫法。

    課前,教師要求學(xué)生畫出邊長(zhǎng)是3cm的正方體。教師在對(duì)學(xué)生的畫法進(jìn)行分析后,發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生都是采用斜投影畫法,并得到相應(yīng)的數(shù)據(jù)。

    課上,教師首先播放HPM微視頻,介紹歷史上人們對(duì)長(zhǎng)方體畫法的探索,其中包括中國(guó)古畫(宋徽宗《文會(huì)圖》)中桌子的畫法、達(dá)·芬奇繪畫作品中透視畫法等。本節(jié)課介紹的畫法為長(zhǎng)方體直觀圖畫法的一種,如圖8所示,從而引入本節(jié)課的課題。

    (一)選美大賽

    教師讓每個(gè)小組的學(xué)生從各自小組作品中選出最美的一幅圖,再通過希沃投屏展示出來,如圖9所示。

    師:下面請(qǐng)大家一起選一選哪一幅圖最美?

    不同小組的學(xué)生表達(dá)了不同的看法。

    師:為什么大家沒有形成統(tǒng)一的意見?

    生:因?yàn)闆]有評(píng)價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)。

    師:很好,那么這節(jié)課我們就一起來制訂這個(gè)“選美”標(biāo)準(zhǔn)。

    【設(shè)計(jì)意圖】通過選美大賽,讓學(xué)生明白制訂長(zhǎng)方體直觀圖畫法的必要性,為后面探究長(zhǎng)方體“斜二測(cè)”畫法的三個(gè)規(guī)定做鋪墊。此外,部分學(xué)生的畫法和歷史上教科書的畫法也相似(如圖9c),揭示出學(xué)生長(zhǎng)方體直觀圖畫法的歷史相似性。

    (二)古書修訂

    教師用PPT展示四本古書,如圖10所示,讓學(xué)生對(duì)照自己畫的正方體和古代數(shù)學(xué)家畫的正方體。

    師:四本古書畫的都是邊長(zhǎng)為3cm的正方體,但各不相同,請(qǐng)各位小數(shù)學(xué)家們幫忙修訂這四本古書,以便于后人閱讀。

    【設(shè)計(jì)意圖】教師事先對(duì)史料進(jìn)行整理,發(fā)現(xiàn)很多書籍中都涉及正方體的畫法但又不盡相同,所以截圖保存并縮放圖像,使每個(gè)正方體的長(zhǎng)均為3cm,高也為3cm制成學(xué)習(xí)單(學(xué)生課前畫的正方體的直觀圖長(zhǎng)和高均為3cm)。借助歷史相似性原則和項(xiàng)目化學(xué)習(xí)的理念,教師讓學(xué)生化身為修訂古書的數(shù)學(xué)家,在修訂古書的情境中展開探究式學(xué)習(xí)。

    (三)厚積薄發(fā)

    本環(huán)節(jié)主要學(xué)習(xí)平面的概念和表示法,以及長(zhǎng)方體直觀圖的概念,為學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)探究做準(zhǔn)備。

    師:長(zhǎng)方體有六個(gè)面,我們要研究長(zhǎng)方體的直觀圖,首先來看看怎么畫平面。生活中有哪些實(shí)例給我們以平面的形象?

    生:地面、黑板、桌面和平靜的湖面。

    教師結(jié)合圖11介紹古代數(shù)學(xué)家對(duì)“平面”的定義。

    師:數(shù)學(xué)中,平面是平的,無邊無沿,我們可以用一個(gè)平行四邊形來表示它。特別地,把水平放置的平面畫成一邊是水平位置,另一邊與水平線所成的角為45°的平行四邊形,如圖12,表示為平面ABCD或平面α。

    師:我們把空間圖形畫在平面內(nèi),使得既富有立體感,又能表達(dá)出圖形主要部分的位置關(guān)系和度量關(guān)系的圖形叫直觀圖。

    師:結(jié)合圖13,同學(xué)們想一想畫長(zhǎng)方體直觀圖的關(guān)鍵是什么?

    生1:斜著畫。

    生2:調(diào)整長(zhǎng)度。

    【設(shè)計(jì)意圖】教師借助歷史上幾位數(shù)學(xué)家對(duì)“平面”的定義,引出平面畫法及表示法。同時(shí),教師給學(xué)生補(bǔ)充直觀圖的概念,讓學(xué)生思考長(zhǎng)方體直觀圖的兩個(gè)關(guān)鍵因素,為后面畫法規(guī)則的制訂提供依據(jù)。

    (四)建章立制

    教師出示圖10,要求學(xué)生借助直三角尺和量角器對(duì)學(xué)習(xí)單上四幅圖進(jìn)行測(cè)量,并回答以下問題。

    (1)正方體的邊長(zhǎng)(長(zhǎng)、寬、高)應(yīng)畫為多少厘米?

    (2)底面平行四邊形中的銳角取多少度?

    (3)看不見的棱如何畫?

    學(xué)生把研究結(jié)果投屏到屏幕上。教師歸納學(xué)生的討論結(jié)果:看不見的棱用虛線表示;關(guān)于底面平行四邊形中的銳角取多少度的問題,學(xué)生建議取45°比較方便;關(guān)于長(zhǎng)和高大家都覺得應(yīng)取3cm;關(guān)于寬應(yīng)取的長(zhǎng)度,學(xué)生主要有兩種意見,一部分學(xué)生認(rèn)為應(yīng)取實(shí)際寬的一半為1.5cm,另一部分學(xué)生認(rèn)為應(yīng)取2cm。

    師:請(qǐng)大家想一想,如果老師給的正方體棱長(zhǎng)是2.6cm,同學(xué)們覺得寬取多少才合適呢?

    生:取一半,1.3cm比較好畫。

    師:請(qǐng)同學(xué)再看一下課前你們畫的棱長(zhǎng)為3cm的正方體的統(tǒng)計(jì)圖(如圖14和圖15所示)。

    師生一起歸納畫長(zhǎng)方體直觀圖的規(guī)則:(1)長(zhǎng)方體直觀圖中,長(zhǎng)和高不變,寬取實(shí)際長(zhǎng)度的一半;(2)底面平行四邊形中的銳角取45°;(3)看不見的棱用虛線表示。

    師:這種畫長(zhǎng)方體直觀圖的方法我們稱為“斜二測(cè)”畫法。在中國(guó)古代,畫家通過實(shí)踐發(fā)現(xiàn)上述規(guī)則兼顧立體感和位置關(guān)系,是一種無意識(shí)的幾何實(shí)踐。數(shù)學(xué)家貝茨和韋布綜合前人的畫法稱“斜二測(cè)”畫法為“令人滿意的投影方式”。課后請(qǐng)大家根據(jù)我們制訂的“斜二測(cè)”畫法,在選出的五幅正方體直觀圖中選出最美的一幅,并在學(xué)習(xí)單上完成對(duì)四本古書的修訂。

    教師用PPT展示宋徽宗的《文會(huì)圖》和《立體幾何》(1916年)中的正方體。

    (五)牛刀小試

    通過練習(xí)鞏固新知,學(xué)生掌握了本節(jié)課的重點(diǎn)——長(zhǎng)方體直觀圖的畫法。在教師的引導(dǎo)下,學(xué)生完成以下任務(wù):畫長(zhǎng)4cm、寬3cm、高2cm的長(zhǎng)方體ABCD-EFGH直觀圖。在課堂練習(xí)中,教師讓學(xué)生指出《歐幾里得集》中長(zhǎng)方體存在的問題(如圖2)。

    (六)畫龍點(diǎn)睛

    師:通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),大家有什么收獲?

    生1:我掌握了平面畫法和表示法。

    生2:畫長(zhǎng)方體直觀圖的時(shí)候,寬應(yīng)取實(shí)際長(zhǎng)度的一半,平行四邊形中的銳角應(yīng)取45°。

    生3:畫長(zhǎng)方體直觀圖看不見的棱用虛線表示。

    生4:“斜二測(cè)”畫法的規(guī)定是討論制訂的,既體現(xiàn)了圖形的立體感,又保持了位置關(guān)系和度量關(guān)系。

    師:同學(xué)們說得很好,老師這里給出一個(gè)關(guān)鍵字:序,同學(xué)們有什么感悟?

    生5:平面的表示字母要按照順時(shí)針或者逆時(shí)針順序。

    生6:用“斜二測(cè)”畫法畫長(zhǎng)方體要注意畫圖的順序。

    師:對(duì)的,現(xiàn)實(shí)的世界本來是混沌無序的,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是幫助我們?cè)跓o序的世界發(fā)現(xiàn)規(guī)律,建立規(guī)則或標(biāo)準(zhǔn),這樣我們的世界將變得更加和諧。

    教師通過課堂小結(jié),點(diǎn)明了本節(jié)課的核心內(nèi)容——“序”的建立,讓學(xué)生明白這個(gè)“序”,既包括平面和長(zhǎng)方體表示法中字母之序、“斜二測(cè)”畫法之序,也包括長(zhǎng)方體直觀圖畫法的形成之序。借助數(shù)學(xué)知識(shí),學(xué)生理解了建立現(xiàn)實(shí)之“序”的意義。

    三、學(xué)生反饋

    基于本節(jié)課,筆者對(duì)班級(jí)學(xué)生進(jìn)行了前測(cè)和后測(cè)。在前測(cè)中,筆者通過問卷調(diào)查了解到:96.4 的學(xué)生采用斜投影的軸測(cè)圖來畫棱長(zhǎng)是3cm的正方體,3.6 的學(xué)生采用透視畫法;全班學(xué)生畫的長(zhǎng)和高都取3cm,寬的取值和平行四邊形的夾角如圖14和圖15。43.9 的學(xué)生沒有畫被遮擋的三條棱,18.9 的學(xué)生用實(shí)線來畫被遮擋的三條棱,37.2 的學(xué)生用虛線來畫被遮擋的三條棱??梢?,學(xué)生初步了解長(zhǎng)方體的軸測(cè)圖畫法,但對(duì)于寬的取值、平行四邊形的夾角和如何處理被遮擋的三條棱沒有形成統(tǒng)一的意見。

    在后測(cè)中,筆者對(duì)全班28名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查,旨在了解學(xué)生對(duì)本節(jié)課教學(xué)的感想與建議。在問卷調(diào)查中,100 的學(xué)生能正確的采用“斜二測(cè)”畫法畫出棱長(zhǎng)是3cm的正方體直觀圖,完成“古書修訂”任務(wù)。

    學(xué)生關(guān)于這節(jié)課與平時(shí)課堂教學(xué)最大的不同感受統(tǒng)計(jì)如圖16所示。

    關(guān)于數(shù)學(xué)史(“古書修訂”)有沒有幫助你理解“斜二測(cè)”畫法合理性的問題,96.4 的學(xué)生的回答是肯定的,學(xué)生認(rèn)為“這些圖也體現(xiàn)了我們自己作圖的問題”“我們只有不斷和古書對(duì)比,才能研究出‘斜二測(cè)畫法”“通過古人不同的畫法擬定一個(gè)方便的值”“通過與古書對(duì)比,我發(fā)現(xiàn)‘斜二測(cè)畫法更容易畫且更美觀”“古書中的畫法為‘斜二測(cè)畫法奠定了基礎(chǔ),‘斜二測(cè)畫法汲取了古書中畫法的優(yōu)點(diǎn)”等。

    在長(zhǎng)方體“斜二測(cè)”畫法中,為什么寬要取原來長(zhǎng)度的一半、平行四邊形一個(gè)夾角為什么畫成45°?學(xué)生的回答如圖17所示。

    四、結(jié)語

    從教師教的角度,本節(jié)課構(gòu)建了三個(gè)層次:“就題論題”“就題論法”“就題論道”。(1)在“就題論題”的層面,本節(jié)課的核心是學(xué)會(huì)用“斜二測(cè)”畫法畫長(zhǎng)方體的直觀圖。在教學(xué)中,教師通過板演,按照四個(gè)步驟引導(dǎo)學(xué)生一起畫圖,通過課后反饋發(fā)現(xiàn),全班學(xué)生掌握了這種畫法。(2)在“就題論法”的層面,本節(jié)課借助項(xiàng)目化學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)史料構(gòu)建情境,借助歷史相似性原則,讓學(xué)生一起討論制訂長(zhǎng)方體直觀圖畫法的規(guī)則,真實(shí)還原“斜二測(cè)”畫法產(chǎn)生的過程。(3)在“就題論道”的層面,教師課前設(shè)計(jì)“選美大賽”和“古書修訂”兩個(gè)環(huán)節(jié),引發(fā)學(xué)生對(duì)“選美標(biāo)準(zhǔn)”和“修訂規(guī)則”的制訂,進(jìn)而形成三條規(guī)則,得出“斜二測(cè)”畫法,在最后的小結(jié)中,用一個(gè)“序”字結(jié)尾,使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)讓“無序”的世界變得“有序”。

    從學(xué)生學(xué)的角度,本節(jié)課踐行了數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾的數(shù)學(xué)教學(xué)原則。課前學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”為會(huì)用斜投影法畫長(zhǎng)方體直觀圖,但沒有形成“斜二測(cè)”畫法;教師從學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”出發(fā),引導(dǎo)學(xué)生“數(shù)學(xué)化”活動(dòng)體驗(yàn)[9],設(shè)置“選美大賽”和“修訂古書”兩個(gè)情境;通過合作探究引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“再創(chuàng)造”,制訂長(zhǎng)方體直觀圖的畫法三條規(guī)則,形成“斜二測(cè)”畫法;整節(jié)課貫穿數(shù)學(xué)“思想實(shí)驗(yàn)”原則,教師設(shè)置的大部分問題都是開放性問題,沒有固定的答案,實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的自我構(gòu)建。

    本節(jié)課運(yùn)用數(shù)學(xué)史重構(gòu)式開展教學(xué),讓學(xué)生經(jīng)歷“斜二測(cè)”畫法的產(chǎn)生過程,構(gòu)建了知識(shí)之諧;借助“古書修訂”任務(wù)驅(qū)動(dòng)學(xué)生開展討論,營(yíng)造了探究之樂;通過數(shù)學(xué)與藝術(shù)的聯(lián)系、長(zhǎng)方體直觀圖選美的活動(dòng),展示了文化之魅;通過呈現(xiàn)古今長(zhǎng)方體直觀圖畫法的演進(jìn),讓學(xué)生形成動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)觀,達(dá)成德育之效。

    此外,本節(jié)課融合HPM微視頻、希沃投屏等教育信息技術(shù),帶動(dòng)數(shù)學(xué)史內(nèi)容的可視化呈現(xiàn)和情景創(chuàng)設(shè),引發(fā)學(xué)生探究,是項(xiàng)目化學(xué)習(xí)與HPM視角下的課堂教學(xué)相結(jié)合的一次有益嘗試。

    參考文獻(xiàn):

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    (責(zé)任編輯:陸順演)

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