多元表征：讓數(shù)學(xué)思維可見(jiàn)

束楓林

北京市特級(jí)教師華應(yīng)龍老師在“我不是笨小孩——以‘師徒年齡問(wèn)題為例”一課的教學(xué)中，妙用“投石問(wèn)路”，實(shí)現(xiàn)了“直觀操作思維—表象思維—算術(shù)思維—代數(shù)思維”四個(gè)思維階段的順利銜接。而后，華老師在課后反思中這樣寫(xiě)到：“數(shù)學(xué)家之所以能在工作中攻克一個(gè)又一個(gè)難關(guān)，一個(gè)重要方面是他們能夠?qū)?wèn)題在各種各樣的數(shù)學(xué)表達(dá)式間靈活轉(zhuǎn)換，這些數(shù)學(xué)表達(dá)方式包括符號(hào)、語(yǔ)言、圖形、表格、圖表等?！边@其中，符號(hào)、語(yǔ)言、圖形、表格、圖表等多種表達(dá)方式，即為數(shù)學(xué)內(nèi)容的多元表征。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)思維去思考和解決問(wèn)題一直是難點(diǎn)。由于年齡特點(diǎn)，小學(xué)生的思維仍處在由直觀思維向抽象思維的過(guò)渡階段。因此，作為教師，應(yīng)當(dāng)在教學(xué)中采取多元表征的形式，讓數(shù)學(xué)思維能夠以學(xué)生“可見(jiàn)”的方式，幫助他們?nèi)ダ斫夂驼莆罩R(shí)，發(fā)展數(shù)學(xué)能力。

一、恰當(dāng)呈現(xiàn)，讓知識(shí)內(nèi)核“看得見(jiàn)”

呈現(xiàn)學(xué)習(xí)對(duì)象多元表征，是指通過(guò)言語(yǔ)、操作、圖形、數(shù)據(jù)、符號(hào)等表征從不同的視角運(yùn)用不同的方式、不同的手段呈現(xiàn)數(shù)學(xué)對(duì)象，并引導(dǎo)學(xué)生分層次、逐步地抽象數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象。經(jīng)由多元化呈現(xiàn)后，數(shù)學(xué)知識(shí)的非本質(zhì)屬性得以逐步剝離，學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)、實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)意義的多元建構(gòu)自然而然，從而讓知識(shí)內(nèi)核真正“看得見(jiàn)”。以 “加法交換律”一課為例，加法交換律的內(nèi)容可以用以下四種方式表征。（如表1）

其中，以數(shù)據(jù)列舉的形式呈現(xiàn)加法交換律，學(xué)生很容易在頭腦中建構(gòu)起加法交換律的數(shù)據(jù)表征，以便發(fā)現(xiàn)交換律的外部特征，理解交換律的外延，意義建構(gòu)得以實(shí)現(xiàn);而以動(dòng)畫(huà)操作和圖形的形式呈現(xiàn)交換律，學(xué)生自然會(huì)在頭腦中建構(gòu)交換律的圖形表征，同時(shí)，這樣的圖形表征又為他們建構(gòu)交換律的文字表征以及符號(hào)表征提供了感性經(jīng)驗(yàn)支撐，使得理解交換律的本質(zhì)內(nèi)涵更容易，意義建構(gòu)水到渠成。

值得注意的是，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象的呈現(xiàn)一定要圍繞數(shù)學(xué)本質(zhì)選擇恰當(dāng)?shù)姆绞?，不可盲目認(rèn)為方式越多越好。要以相互映襯、相互補(bǔ)充、相互解釋的原則恰到好處地?fù)駲C(jī)呈現(xiàn)， 做到形不同而質(zhì)相同。這樣，才能在豐富的數(shù)學(xué)多元表征下構(gòu)成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，讓知識(shí)內(nèi)核真正“看得見(jiàn)”。

二、巧妙勾連，讓思維方法“看得清”

數(shù)學(xué)知識(shí)體系是一個(gè)有機(jī)的結(jié)構(gòu)性整體，數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要抓住數(shù)學(xué)表征內(nèi)在的多元聯(lián)系，引領(lǐng)學(xué)生實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容各種表征內(nèi)部的靈活轉(zhuǎn)換和表征之間的靈活轉(zhuǎn)譯，促使學(xué)生靈活提取數(shù)學(xué)知識(shí)并應(yīng)用于實(shí)踐，讓思維方法“看得清”。這既是實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)由認(rèn)識(shí)到理解的重要標(biāo)志，又是數(shù)學(xué)素養(yǎng)生成的重要標(biāo)志。

以“認(rèn)識(shí)面積單位”一課為例，教學(xué)“1平方厘米”時(shí)，可以采用視覺(jué)表征的形式，讓1平方厘米的正方形紙片貫穿教學(xué)始終。

首先，我讓學(xué)生拿出準(zhǔn)備好的1平方厘米紙片，明確其面積就是1平方厘米，使得學(xué)生對(duì)1平方厘米有一個(gè)直觀感知。其次，再讓學(xué)生用直尺量一量它的邊長(zhǎng)，并交流：“1平方厘米的正方形的邊長(zhǎng)是多少厘米？”在這一環(huán)節(jié)，學(xué)生通過(guò)測(cè)量，把視覺(jué)表征轉(zhuǎn)譯成“邊長(zhǎng)為1厘米的正方形，面積就是1平方厘米”的語(yǔ)言表征。最后，我引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)“摸一摸”“比一比”“找一找”等多種方式對(duì)1平方厘米形成表象，讓他們到生活中找尋1平方厘米的實(shí)物。學(xué)生有了具體的視覺(jué)表征和準(zhǔn)確的語(yǔ)言表征后，很自然地找出了許多生活中的1平方厘米大小的實(shí)物，從而在腦海里留下了關(guān)于“1平方厘米大小”的深刻表象。這樣，通過(guò)勾連視覺(jué)、語(yǔ)言、記憶三種表征之間的相互轉(zhuǎn)譯、互換，使得學(xué)生理解1平方厘米及面積單位的含義的思維方法一目了然。

三、內(nèi)外融合，讓思維過(guò)程“看得深”

如何將看不見(jiàn)、摸不著的數(shù)學(xué)思維可視化？一個(gè)重要的方式就是恰當(dāng)融合數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象的內(nèi)化表征和學(xué)生數(shù)學(xué)思維的外化表征，以構(gòu)成學(xué)生的生態(tài)學(xué)習(xí)循環(huán)系統(tǒng)，讓他們的思維過(guò)程“看得深”。

以 “解決問(wèn)題的策略——假設(shè)”一課為例，教材中有這樣一道例題：

小明把720毫升果汁倒入6個(gè)小杯和1個(gè)大杯，正好都倒?jié)M。已知小杯的容量是大杯的[13]，小杯和大杯的容量各是多少毫升？

把這道題以問(wèn)題表征的形式呈現(xiàn)給學(xué)生后，我先引導(dǎo)他們將自己內(nèi)心對(duì)學(xué)習(xí)對(duì)象加工的思維表象，用恰當(dāng)?shù)姆绞睫D(zhuǎn)譯成可視性表征。這時(shí)，發(fā)現(xiàn)了學(xué)生多元的個(gè)性化外部可視表征。

如有的學(xué)生用直觀形象的模擬圖表征。（如圖1、圖2）

有的學(xué)生則用更高抽象思維水平的線段圖表征、言語(yǔ)文字表征（如圖3、圖4）

在學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)對(duì)象的思維表象轉(zhuǎn)譯成可視的模擬圖表征、線段圖表征、言語(yǔ)文字表征后，緊接著，我引導(dǎo)他們更深入地將理解加工后的問(wèn)題表征進(jìn)一步轉(zhuǎn)譯成算式表征，又發(fā)現(xiàn)了學(xué)生不同的思維外顯。（如圖5、圖6、圖7、圖8）

觀察學(xué)生的算式表征，他們的思維過(guò)程一覽無(wú)遺：如圖5、圖6、圖7、圖8 ，他們是利用分?jǐn)?shù)和比之間的聯(lián)系，先將“小杯容量是大杯的 [13]”轉(zhuǎn)化成“小杯與大杯容量之比是1︰3”。以此，將大、小杯的個(gè)數(shù)進(jìn)行靈活轉(zhuǎn)化并替換成一種杯型的后列式來(lái)解答。圖5是把6個(gè)小杯換成2個(gè)大杯，這樣720 毫升的果汁就相當(dāng)于倒?jié)M3個(gè)大杯，就可先列式求大杯的容量，小杯容量也就迎刃而解。圖6是把1個(gè)大杯換成3個(gè)小杯，720 毫升的果汁就相當(dāng)于倒?jié)M9個(gè)小杯，于是先列式求小杯的容量，大杯容量同樣順利得解。而圖7、圖8，學(xué)生則是運(yùn)用了方程的思想，根據(jù)“小杯的容量是大杯的[13]”或把大杯容量設(shè)為x毫升，則小杯容量就是 [13]x毫升，或把小杯容量設(shè)為x毫升，則大杯容量就是3x毫升，然后再根據(jù)“把720毫升果汁倒入6個(gè)小杯和1個(gè)大杯，正好都倒?jié)M”列方程順利解決了問(wèn)題。

由此可見(jiàn)，同樣的問(wèn)題，不同學(xué)生內(nèi)化后所外化出來(lái)的表征是不同的，在這樣一個(gè)“內(nèi)化—外化—再內(nèi)化”的融合中，我們可以看出學(xué)生不同的認(rèn)知風(fēng)格以及不同深度的思維水平。

總之，數(shù)學(xué)多元表征的恰當(dāng)呈現(xiàn)、互換互譯、內(nèi)外融合能夠讓學(xué)生的思維可見(jiàn)，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)真正落地，能夠有效實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的整體提升。作為教師，我們應(yīng)恰當(dāng)將數(shù)學(xué)的多元表征學(xué)習(xí)融入到平時(shí)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)，發(fā)展綜合學(xué)力。

（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）