“兩次倒轉(zhuǎn)”：數(shù)學(xué)概念教學(xué)的應(yīng)然選擇*
——以“無理數(shù)”教學(xué)為例

王 華

在知識本位的數(shù)學(xué)課堂中，數(shù)學(xué)的概念、原理和法則都是作為靜態(tài)的知識呈現(xiàn)的，不少學(xué)生掌握知識，卻不會思考知識、追問知識，教學(xué)過程功利化、形式化，缺乏“悟”的時間。然而回顧歷史，每個數(shù)學(xué)概念的創(chuàng)生都凝聚了前人無數(shù)的心血和智慧，雖然簡單重復(fù)前人的探究歷程不現(xiàn)實也不經(jīng)濟，但以“再創(chuàng)造”的方式簡化、重現(xiàn)、模擬前人探究的典型過程卻非常必要。北京師范大學(xué)郭華教授提出的“兩次倒轉(zhuǎn)”教學(xué)機制，旨在通過“倒過來”明確教學(xué)的內(nèi)容與方向，通過“轉(zhuǎn)回去”再現(xiàn)概念探究的典型過程，從而將外在、顯性、普遍的知識轉(zhuǎn)化為人內(nèi)在、隱性、個體的解決問題的立場、方法與觀點。那么，在概念教學(xué)中如何運用“兩次倒轉(zhuǎn)”展現(xiàn)過程與方法，從而達成深度教學(xué)呢？本文以蘇科版數(shù)學(xué)七上“無理數(shù)”概念的教學(xué)為例，談?wù)劸唧w的教學(xué)路徑。

一、“倒過來”，明確內(nèi)容與方向

數(shù)學(xué)概念的教學(xué)既不能簡化成概念的簡單堆砌、直接傳遞，也不能只是重復(fù)人類初獲概念時的實踐、試誤。教學(xué)過程應(yīng)當(dāng)將人類認(rèn)識的終點當(dāng)成學(xué)生認(rèn)識的起點，這樣的認(rèn)識過程是一種“倒過來”的過程。這種過程能讓教師明晰教學(xué)的內(nèi)容和方向，明了教材邏輯與學(xué)生心理的巨大落差，有著獨特的教學(xué)優(yōu)越性。

1.解構(gòu)多重教學(xué)內(nèi)容。

數(shù)學(xué)概念的教學(xué)不能僅限于事實性知識的“記中學(xué)”，還應(yīng)包括方法性知識的“做中學(xué)”和價值性知識的“悟中學(xué)”。如有教師認(rèn)為，“無理數(shù)”這一概念十分簡單，即無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，學(xué)生記住就行，沒什么可教。顯然這樣的觀點將無理數(shù)教學(xué)內(nèi)容簡化成“僵化的知識”，忽略了無理數(shù)創(chuàng)生歷程之艱難及隱藏在無理數(shù)背后的人類理性精神。因此，無理數(shù)的教學(xué)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是多重的、有層次的，不僅僅包括無理數(shù)的概念，還應(yīng)包括無理數(shù)概念創(chuàng)生背后的數(shù)學(xué)學(xué)科思維、方法和價值。

2.明了巨大認(rèn)知落差。

數(shù)學(xué)概念的呈現(xiàn)主要有兩條線索，其一是學(xué)科邏輯，其二是學(xué)生心理邏輯。如無理數(shù)內(nèi)容是安排在蘇科版數(shù)學(xué)教材七上第二章“有理數(shù)”之中。它便于引出實數(shù)，明晰“實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)”，從學(xué)科邏輯上講這樣的安排是很有必要的，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的嚴(yán)謹(jǐn)與客觀。但是，從學(xué)生的心理來看存在兩個認(rèn)知困境：其一， 2 為什么不是有理數(shù)？直接用反證法去邏輯推理顯然無懈可擊，但對從來沒有接觸過反證法的學(xué)生來說將是一個挑戰(zhàn)。其二，無理數(shù)是無限不循環(huán)的，無限意味著無法窮舉，不循環(huán)意味著沒有規(guī)律，這看不見摸不著的東西怎么讓人信服與接納？因而人類的認(rèn)識成果與學(xué)生心理認(rèn)知之間產(chǎn)生了巨大的認(rèn)知落差。

3.設(shè)置高階教學(xué)目標(biāo)。

基于數(shù)學(xué)概念的多重教學(xué)內(nèi)容，以及學(xué)科邏輯和心理邏輯間的落差，教學(xué)需設(shè)置高階目標(biāo)化解學(xué)生產(chǎn)生的認(rèn)知沖突，多維度完成教學(xué)任務(wù)，讓學(xué)生在關(guān)注事實性知識的同時，感悟概念所蘊含的學(xué)科思維、方法和價值。具體而言，教師的教學(xué)目標(biāo)是利用多種方式和途徑建立“人類對無理數(shù)的認(rèn)識”與“學(xué)生的認(rèn)知困境”之間的聯(lián)系。學(xué)生的學(xué)習(xí)目標(biāo)為：（1）無理數(shù)是實實在在存在的；（2）“ 2 是無理數(shù)”是有道理的；（3）感受無理數(shù)創(chuàng)生過程中的理性光輝。

二、“轉(zhuǎn)回去”，展現(xiàn)過程與方法

“轉(zhuǎn)回去”是在明晰人類認(rèn)識和學(xué)生認(rèn)識的關(guān)系之后，從情境中提出問題，簡約地、模擬地去經(jīng)歷人類認(rèn)識的典型過程，引導(dǎo)學(xué)生將新知識轉(zhuǎn)化為前行的基礎(chǔ)和力量［1］17，獲得研究問題的方法，并進一步轉(zhuǎn)化為“承載著情感與偏見、蘊含著歷史文化和生活時空的主體性、意義性存在”的“個人知識”［2］。

1.確定起點，設(shè)計情境。

通過解構(gòu)人類認(rèn)識的過程獲得概念教學(xué)的多重任務(wù)，通過分析人類認(rèn)識與學(xué)生認(rèn)識的差異設(shè)定概念教學(xué)的目標(biāo)。在教學(xué)實施中，應(yīng)當(dāng)依據(jù)內(nèi)容和目標(biāo)，以學(xué)生生活經(jīng)驗或數(shù)學(xué)經(jīng)驗為認(rèn)知起點，設(shè)計合適的情境，引導(dǎo)學(xué)生提出問題、主動探究，進而自主“發(fā)現(xiàn)”并建構(gòu)人類已有的認(rèn)識成果。

從無理數(shù)產(chǎn)生的歷史看，在早期，人們認(rèn)為宇宙萬物都可以用兩整數(shù)之比（即有理數(shù)）來解釋。也就是說，給定任意兩條線段，必存在第三條線段（或許很短），它可以整數(shù)次度量完給定的兩條線段，即任意兩條線段可公度。在這樣的認(rèn)識基礎(chǔ)之上，有理數(shù)顯得非?！巴昝馈保菫槭裁磿霟o理數(shù)呢？關(guān)鍵是人們發(fā)現(xiàn)了不可公度量的存在。因此，讓學(xué)生典型而簡約地重演無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)過程，感受不可公度量的存在，他們才能切身體會到無理數(shù)學(xué)習(xí)的必要性。

根據(jù)學(xué)生現(xiàn)有的水平、經(jīng)驗以及發(fā)展需要，可以確定學(xué)生學(xué)習(xí)的起點為判別兩條線段可公度，能通過拼圖求正方形的對角線長。進而設(shè)置下列問題情境：（1）將兩個邊長為1 的小正方形沿對角線剪開，可以拼成一個大正方形，求大正方形的邊長；（2）能否找到第三條線段，使其能以整數(shù)次量完大正方形的邊長 2 和小正方形的邊長1。［3］教師通過這一環(huán)節(jié)的設(shè)置，促使學(xué)生能夠走進歷史，感受認(rèn)知沖突，進而提出無理數(shù)概念。

2.聚焦問題，展示求解。

知識僵化變成教條，其實不是知識本身的錯誤，而是人們遺忘了知識創(chuàng)生背后的問題。問題具有指向性和邀請性的特點，問題的指向性可以聚焦學(xué)習(xí)者的思維，使目標(biāo)物凸顯在學(xué)習(xí)者的眼前，否則學(xué)習(xí)者的思維就會因缺乏對象而無從下手、一無所獲；而問題的邀請性則代表問題期盼學(xué)習(xí)者的回答，否則“化知為識”“轉(zhuǎn)識成智”就喪失了內(nèi)在的動力和支撐。如果說聚焦問題是數(shù)學(xué)概念教學(xué)的支點，那么展示問題求解則是獲得數(shù)學(xué)概念的重要路徑。

古希臘之后的兩千多年來，人們圍繞“無理數(shù)是不是數(shù)”這個問題，一直進行著各種爭論，直到19 世紀(jì)才由戴德金、柯西、魏爾斯特拉斯等數(shù)學(xué)家構(gòu)造嚴(yán)密的實數(shù)理論，消除了人們對無理數(shù)的神秘感。中學(xué)階段不便涉及實數(shù)理論，只要將其作為已經(jīng)建設(shè)好的平臺，放心去使用就行了。［4］在中學(xué)里，無理數(shù)有兩種不同方式的定義，一是不能表示成兩個整數(shù)之比的數(shù)，一是無限不循環(huán)小數(shù)。兩種定義是人類認(rèn)識不同階段的產(chǎn)物，其對學(xué)生的教育意義不同，前者符合無理數(shù)的緣起，比后者更適合作為認(rèn)知的固著點，而后者形象且具體，學(xué)生更容易感知。教學(xué)時，可以通過聚焦問題，簡約地模擬出人類認(rèn)知無理數(shù)概念的過程。

基于學(xué)生的心理認(rèn)知，將“無理數(shù)是不是數(shù)”這個問題進一步教學(xué)化，聚焦以下三個問題：（1）

2 究竟有多大？（2）是否真的存在既無限不能窮舉，又無規(guī)則不循環(huán)的小數(shù)？（即無理數(shù)的存在性問題）（3）為什么 2 是無理數(shù)？教學(xué)時，采用“十分法”逼近和計算機結(jié)果演示兩種手段，讓學(xué)生感受 2 的結(jié)果可以表示成小數(shù)，它是沒完沒了，又不循環(huán)的。但畢竟探索和機器演示的結(jié)果是有限的，那這樣無限不循環(huán)的小數(shù)真實存在嗎？此時，“你能否構(gòu)造一個無限不循環(huán)小數(shù)？”的問題順時而出，學(xué)生通過構(gòu)造0.10100100010000…（相鄰兩個1之間依次多一個0）便證明了無限不循環(huán)小數(shù)的存在，進而引出無理數(shù)的定義。而 2 是無理數(shù)的結(jié)論不是靠猜想，而是靠嚴(yán)格的邏輯證明得到，進而展示古人的求解方法，即用反證法證明 2 是無理數(shù)。

3.參悟知識，躍遷教學(xué)。

盡管一些教師也是基于問題，并在求解中演繹數(shù)學(xué)的概念，卻很難真正做到“轉(zhuǎn)識成智”，其原因就在于缺乏對知識的參悟，局限于事實性知識的“記中學(xué)”，未能觸及概念所蘊含的邏輯形式和意義層面，從而參悟不到方法性和價值性的知識。在“轉(zhuǎn)回去”的過程中應(yīng)當(dāng)增加學(xué)生“做”和“悟”的機會，提升概念教學(xué)的層級，實現(xiàn)教學(xué)的躍遷，從而彰顯出知識形成中人的思考、思維、方法、情感與意志的作用，呈現(xiàn)概念教學(xué)新的景象。

教學(xué)時，學(xué)生不僅要了解無理數(shù)的概念（課程標(biāo)準(zhǔn)的要求），而且要簡要地經(jīng)歷無理數(shù)的“發(fā)現(xiàn)”過程，更重要的是感受到西帕蘇斯發(fā)現(xiàn)無理數(shù)是人類理性思維的勝利。另外，不可公度量的發(fā)現(xiàn)本身就是一個傳奇，這是極好的教學(xué)素材。顯然，要想真正“轉(zhuǎn)識成智”，教師必須走出狹隘的教學(xué)觀，而把教學(xué)設(shè)定于“師生生命活動”的視域中，循著人類的理性精神，學(xué)生可以人為地“造出”無理數(shù)。而進一步論證 2 是無理數(shù)的反證法也可以變得易于學(xué)生理解，因為許多場合都用到反證法，如蘇軾的《琴詩》便是極好的例證，“若言琴上有琴聲，放在匣中何不鳴?若言聲在指頭上，何不于君指上聽?”由此可見，人文的論辯和數(shù)學(xué)的證明，都需要遵循邏輯規(guī)則。在意境上，古詩和數(shù)學(xué)可以相通，其背后的思維價值極高。

三、“兩次倒轉(zhuǎn)”，圓融知識與智慧

在“兩次倒轉(zhuǎn)”（先“倒過來”，再“轉(zhuǎn)回去”）的概念教學(xué)中，教師、學(xué)生和知識得以高度的統(tǒng)一，教師的教引發(fā)著學(xué)生高質(zhì)量、有意義的學(xué)，學(xué)生與知識相互交融，構(gòu)成全新的學(xué)習(xí)主體與知識對象的關(guān)系，即“對象對主體的意義不在于它或他是可以認(rèn)識的物，而在于在對象上凝聚了主體的客觀化了的生活和精神”［5］?？梢哉f“兩次倒轉(zhuǎn)”融合了主體與對象，圓融（圓者周遍之義，融者融通融和之義）了知識與智慧，從而積淀為“個人知識”，化知識為德性。

1.“兩次倒轉(zhuǎn)”相互依存。

首先，“倒過來”的新知識是學(xué)習(xí)的目標(biāo)和學(xué)習(xí)的重點。其次，“轉(zhuǎn)回去”重演數(shù)學(xué)概念的創(chuàng)生過程，揭示出凝聚在歷史長河中的數(shù)學(xué)家們創(chuàng)生知識背后的數(shù)學(xué)學(xué)科思維、方法和價值，喚起學(xué)生進一步達成高階目標(biāo)的心智，讓學(xué)生走進知識。最后，“倒過來”為“轉(zhuǎn)過去”提供了新的探討點。如嘗試解決“用第三條線段整數(shù)次度量完長為 2 的線段和長為1的線段”這一問題后，讓學(xué)生閱讀材料“正五邊形、不可公度及無理數(shù)”，相當(dāng)于再次經(jīng)歷人類理性思維的勝利，進一步生發(fā)智慧。

2.“兩次倒轉(zhuǎn)”積淀知識。

在“兩次倒轉(zhuǎn)”的概念教學(xué)中，人類的認(rèn)識成果“倒過來”成為學(xué)生的認(rèn)識起點，而后用“轉(zhuǎn)回去”的方式，讓概念基于學(xué)生現(xiàn)實經(jīng)驗，成于“歷史相似性”的學(xué)生艱苦探究。學(xué)生獲得事實性知識的同時，參悟概念蘊涵的邏輯形式與意義，在持續(xù)的反思中建構(gòu)“個人知識”。無理數(shù)概念的教學(xué)必須讓學(xué)生經(jīng)歷無理數(shù)的發(fā)生發(fā)展過程，感受一個概念生成的艱難曲折，明晰一絲不茍的純粹理性指引著無理數(shù)的“從無到有”，從而學(xué)生會被這種精神所折服，自然地徜徉在數(shù)學(xué)的歷史長河之中，“再創(chuàng)造”地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，積淀“個人知識”，進而“轉(zhuǎn)識成智”。

3.“兩次倒轉(zhuǎn)”涵養(yǎng)德性。

在“兩次倒轉(zhuǎn)”的教學(xué)活動中，學(xué)生在教師的幫助下將靜態(tài)的知識（人類認(rèn)識成果）轉(zhuǎn)化為自身的本質(zhì)力量，也在自己的心里種下能夠承擔(dān)未來社會歷史實踐重任的責(zé)任心、價值觀，發(fā)展出能夠承擔(dān)未來社會歷史實踐重?fù)?dān)的能力、情懷與品格。［1］20黑格爾認(rèn)為，一個人做了這樣或那樣一件合乎倫理的事，還不能說他是有道德，只有當(dāng)這種行為成為他性格中固定要素時，才可以說他是有德的。教學(xué)就是要完成這個使命，使它的知識化為學(xué)生的智慧，使這種智慧內(nèi)化為他們的德性。