基于卡爾曼濾波的大跨度斜拉橋變形預(yù)測研究

張 豪，張利莎

(浙江工業(yè)大學(xué) 土木工程學(xué)院，浙江 杭州 310023)

橋梁是交通運輸?shù)闹匾M成部分，是交通行業(yè)的關(guān)鍵節(jié)點。大型橋梁結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性引起了人們對橋梁運營安全性的重視。國外斜拉橋檢測的研究主要集中于結(jié)構(gòu)的新型檢測方法，Ho等[1]介紹了基于圖像檢測的新型結(jié)構(gòu)損傷檢測理論，在實際工程中可以適用3 種索；Zonta等[2]通過將基于貝葉斯數(shù)據(jù)融合到傳感器系統(tǒng)應(yīng)用到實際工程中，研究表明該鋼混疊合梁斜拉橋因索力松弛導(dǎo)致實際與設(shè)計出現(xiàn)較大偏差，需要對結(jié)構(gòu)進行承載力評估。常用的預(yù)測分析方法有多種，如多元線性回歸理論、灰色系統(tǒng)分析理論和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分析理論等，但在實際工程中，引起結(jié)構(gòu)變形的因素較復(fù)雜，難以用固定的模態(tài)表示出自變量與因變量之間的關(guān)系，且通用性較差。筆者采用的卡爾曼濾波預(yù)測理論具有強大精準的預(yù)測功能和通用性，被廣泛應(yīng)用在橋梁、大壩、基坑和地鐵等土木領(lǐng)域的數(shù)據(jù)研究中。

卡爾曼濾波模型是一種動態(tài)的數(shù)據(jù)分析模型，利用一組狀態(tài)方程和觀測方程描述觀測體系，并在觀測過程中不斷修正、迭代其預(yù)測值。奕瑞明[3]提出將Kalman濾波方法應(yīng)用到形變監(jiān)測數(shù)據(jù)處理中，導(dǎo)出多種形式的形變監(jiān)測網(wǎng)的狀態(tài)方程和觀測方程；張福榮[4]較為系統(tǒng)地闡述了Kalman濾波的基本原理，并重點討論和研究了利用方差補償自適應(yīng)Kalman濾波理論建立的監(jiān)測數(shù)據(jù)處理理論、方法和模型；陳小杰等[5]通過建立卡爾曼濾波模型，對上海某歷史建筑在基礎(chǔ)托換期間的沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)進行濾波和預(yù)測，同時基于卡爾曼濾波數(shù)據(jù)進行多項式回歸預(yù)測，與傳統(tǒng)的多項式回歸分析模型進行預(yù)測對比分析，取得了較好的結(jié)果。筆者將卡爾曼濾波理論運用到預(yù)測大跨度斜拉橋的結(jié)構(gòu)變形的問題中，利用相近位置監(jiān)測點應(yīng)變和撓度的設(shè)計值與實測值的偏差，預(yù)測下一位置應(yīng)變和撓度，為橋的工程設(shè)計、施工、健康監(jiān)測提供理論依據(jù)和技術(shù)支撐。

1 基于卡爾曼濾波理論的結(jié)構(gòu)變形預(yù)測模型

變形現(xiàn)象普通存在于自然界中，在土木工程領(lǐng)域，當(dāng)建筑物或構(gòu)筑物的變形量超過其本身所能承受的極限值時，便會發(fā)生安全事故。大型橋梁的變形特征可分為長期形變和短期形變兩種情況。長期形變是指由索力松弛、橋體斷裂等引起的長久性形變；短期形變是指由風(fēng)、地震、橋面交通運輸荷載變化引起的短暫性形變。長期變形不可恢復(fù)，但隨著外力的減小，短期變形可恢復(fù)或基本恢復(fù)至原始狀態(tài)[6]。

筆者以浙江省某大跨度疊合梁斜拉橋為監(jiān)測對象，利用卡爾曼濾波預(yù)測模型對其初始應(yīng)變和撓度的監(jiān)測數(shù)據(jù)進行處理、分析，以研究該橋的變形情況?？柭鼮V波理論是最初由R.E.Kalman在1960年提出的一種線性遞推優(yōu)化方法，算法本質(zhì)是從被噪聲污染的信號中提取真實的部分，進而估計出系統(tǒng)的真實狀態(tài)。筆者將變形監(jiān)測點數(shù)據(jù)作為觀測序列輸入到一個隨機系統(tǒng)，利用直觀的監(jiān)測方法，推導(dǎo)出白噪聲作用下非穩(wěn)定系統(tǒng)的卡爾曼濾波預(yù)測方程?；诳柭鼮V波理論的預(yù)測分析無需現(xiàn)場記錄諸多系統(tǒng)過去的狀態(tài)值，只需掌握前一個狀態(tài)預(yù)測結(jié)果的誤差協(xié)方差矩陣即可，故可適用于實時動態(tài)系統(tǒng)[7]。

1.1 線性隨機系統(tǒng)的離散化模型

取觀測點的狀態(tài)向量為

(1)

(2)

其解為

(3)

故線性隨機系統(tǒng)的離散時間模型可表示為

yk=μk-1yk-1+Gk-1ωk-1

(4)

zk=Ekyk+rk

(5)

式中：yk為系統(tǒng)狀態(tài)向量；zk為觀測向量；ωk為系統(tǒng)噪音；rk為觀測噪音；μk-1為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；Ek為觀測矩陣；Gk-1為系統(tǒng)噪音的系數(shù)矩陣。

1.2 基于卡爾曼濾波理論的結(jié)構(gòu)變形預(yù)測模型

初始的卡爾曼濾波方程是最優(yōu)估計問題的唯一實際的有限維解決方法，可對無法控制的動態(tài)系統(tǒng)可能出現(xiàn)的未來行為進行預(yù)測，如橋梁應(yīng)變、撓度等。首先，利用該系統(tǒng)的過程模型預(yù)測系統(tǒng)下一個狀態(tài)[8]。設(shè)yk為第k個監(jiān)測點的設(shè)計值，φk是線性轉(zhuǎn)換系數(shù)，其計算公式為

(6)

由于在實際工程中，結(jié)構(gòu)變形監(jiān)測點的實測值與設(shè)計值是不一致的，測量誤差是客觀存在的，因此該預(yù)測模型引入線性轉(zhuǎn)換系數(shù)，線性轉(zhuǎn)換系數(shù)可解決卡爾曼濾波預(yù)測模型誤差較大的難題。設(shè)當(dāng)前系統(tǒng)狀態(tài)是k，P表示其協(xié)方差，該系統(tǒng)的模型可利用系統(tǒng)的前一狀態(tài)預(yù)測當(dāng)前系統(tǒng)狀態(tài)，該系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

(7)

(8)

以已知的當(dāng)前監(jiān)測點的預(yù)測結(jié)果為基礎(chǔ)，結(jié)合當(dāng)前監(jiān)測點的實測值，可得到當(dāng)前狀態(tài)k的最優(yōu)化估算值為

(9)

(10)

(11)

2 工程實例

2.1 工程概況

浙江省某座特大橋的約束采用半漂浮體系，其主梁為鋼結(jié)構(gòu)，橋面為混凝土結(jié)構(gòu)。橋梁中心樁號K149+442，橋梁全長948 m。橋梁結(jié)構(gòu)形式為(85+145+488+145+85)m雙塔整幅疊合梁斜拉橋[9]，邊中跨比0.471，邊跨設(shè)輔助墩，橋梁位于半徑R=25 000 m、切線長T=587.5 m、外矢距E=6.903 m的圓弧豎曲線上；橫向布置為2.75 m(風(fēng)嘴及索道)+0.50 m(防撞護欄)+15.25 m(車行道)+1.50 m(中央護欄)+15.25 m(車行道)+0.50 m(防撞護欄)+2.75 m(風(fēng)嘴及索道)。鋼梁主體結(jié)構(gòu)采用Q345D低合金鋼，混凝土預(yù)制橋面板采用C55海工耐久混凝土，接縫采用C55微膨脹混凝土，箱梁壓重混凝土采用鐵砂混凝土，容重不小于38.0 kN/m3。該橋橋型的布置如圖1所示。

圖1 該橋主通航孔橋橋型布置圖(單位：cm)

2.2 試驗測試截面的確定

對于大跨度斜拉橋，應(yīng)重點觀測主跨、主梁、主塔、輔助墩、變跨主梁、斜拉索等結(jié)構(gòu)受力以及其他變形敏感部位。筆者依據(jù)該橋的實際工程情況并結(jié)合橋梁荷載試驗的相關(guān)規(guī)范要求，選取邊跨主梁最大正彎矩、撓度(Ⅰ-Ⅰ截面)、Z2#輔助墩墩頂主梁最大負彎矩(Ⅱ-Ⅱ截面)、次邊跨主梁最大正彎矩、撓度(Ⅲ-Ⅲ截面)、中跨Z3#墩附近主梁負彎矩(Ⅳ-Ⅳ)截面、中跨l/2跨主梁最大正彎矩/主梁跨中最大撓度(Ⅴ-Ⅴ)、主塔最不利彎矩(Ⅵ-Ⅵ)、主塔頂部最大偏位(VII-VII)、Z1#墩頂主梁縱橋向變位(VIII-VIII)、活載下最大索拉力等共9 個測試位置[10-11]。測試截面和測試內(nèi)容如表1所示。

表1 靜載試驗測試截面及測試位置

2.3 試驗測試截面監(jiān)測點的確定

該橋結(jié)構(gòu)設(shè)置應(yīng)變和撓度的監(jiān)測點較多。因篇幅受限，故只詳細介紹主梁的應(yīng)變和撓度監(jiān)測點。

2.3.1 主梁應(yīng)變監(jiān)測點

因I-I，II-II截面箱內(nèi)底板存在壓重塊，故無法布置箱內(nèi)底板應(yīng)變片。將I-I，II-II截面測點均布置于箱室外，每個截面布置17 個應(yīng)變測點，如圖2所示。

圖2 橋梁Ⅰ-Ⅰ，Ⅱ-Ⅱ測試截面應(yīng)變監(jiān)測點布置示意圖(單位：cm)

2.3.2 主梁撓度監(jiān)測點

該橋主梁橋面縱向撓度采用兩臺Leica TCA2003智能全站儀進行測試，測站分別架設(shè)于兩側(cè)主墩承臺上，測點采用棱鏡固定于鋼箱梁底板兩側(cè)。全橋主梁左右側(cè)各布置15 個(共30 個)撓度測點，縱橋向分別位于邊跨2等分點、次邊跨4等分點、主跨8等分點處[12]，如圖3所示。

圖3 橋梁撓度監(jiān)測點布置示意圖(單位：cm)

3 卡爾曼濾波預(yù)測模型在橋梁變形中的應(yīng)用

卡爾曼濾波主要通過反復(fù)迭代計算實現(xiàn)，即通過了解某一特定時刻的觀測值和前一期的最優(yōu)估計值，然后利用該系統(tǒng)的狀態(tài)方程采用遞推的方式獲取新一期的估計值。尤其適用針對大型橋梁結(jié)構(gòu)的變形研究，即通過對監(jiān)測對象的變形量不斷的觀測及預(yù)測，估計出該系統(tǒng)的實際狀態(tài)，進而達到對橋梁結(jié)構(gòu)的每一工況進行實時控制的目的?？柭鼮V波預(yù)測的難點是如何精準地確定系統(tǒng)的初始狀態(tài)，當(dāng)觀測數(shù)據(jù)量有限時，倘若初始值的選取不準確，就容易使得所測結(jié)果收斂較慢甚至發(fā)散且誤差較大，進而導(dǎo)致部分信息被隱藏，難以達到濾波的最佳效果。

研究表明：初始狀態(tài)向量可通過前兩期觀測結(jié)果確定，可取第二期平差后的測點位置作為新的初始位置，根據(jù)監(jiān)測網(wǎng)等級和變形監(jiān)測的精確度要求確定初始值的方差值，觀測噪聲的方差矩陣通常根據(jù)觀測儀器的精度和測量方法確定[13-14]。本次試驗通過分別監(jiān)測該橋的應(yīng)變變形和撓度變形，確定該橋的變形狀況，為評價該橋的結(jié)構(gòu)健康及安全狀況提供基礎(chǔ)資料。因該工程所布設(shè)的監(jiān)測點較多，監(jiān)測數(shù)據(jù)較多，故以圖2中I-I截面的11號混凝土應(yīng)變監(jiān)測點和圖3中左側(cè)L8撓度監(jiān)測點為例進行分析。

3.1 I-I截面11號位置應(yīng)變的預(yù)測

選取圖2中I-I截面7，8，9，10號應(yīng)變設(shè)計值和實測值，其基本數(shù)據(jù)如表2所示。

表2 應(yīng)變預(yù)測基本數(shù)據(jù)準備表

選取11號混凝土應(yīng)變?yōu)橛^測向量，狀態(tài)向量為10號混凝土應(yīng)變，初始值的實測值為2 με，則該系統(tǒng)的觀測數(shù)據(jù)向量為

Z9=(-2，-5，-8，2)

觀測函數(shù)為e(2,11)=(-18，-22，-26，-22)，可知其觀測矩陣為

(-3，-5，-9，-7)

依據(jù)式(3～11)，可得出該監(jiān)測點應(yīng)變的卡爾曼估計結(jié)果，如表3所示。11號監(jiān)測點應(yīng)變的預(yù)測數(shù)據(jù)首次迭代后的預(yù)測值為-0.637 με，與迭代多次后的結(jié)果0.969 με相差較大。說明卡爾曼濾波法去噪不是一次迭代完成的，需要進行多次迭代，使預(yù)測值逐漸逼近去噪后的數(shù)值。在第3 次時迭代應(yīng)變預(yù)測差值最大，為1.238 με，之后便從第4 次開始收斂。11號點的應(yīng)變值最終預(yù)測結(jié)果為0.969 με，與實測值相差0.031 με。

3.2 左側(cè)L8位置撓度的預(yù)測

左側(cè)L8位置撓度預(yù)測基本數(shù)據(jù)準備表如表4所示。

表4 撓度預(yù)測基本數(shù)據(jù)準備表

選取L8號撓度為觀測向量，狀態(tài)向量為L7號撓度，初始值取-7.58 mm，則該系統(tǒng)的觀測數(shù)據(jù)向量為

Z9=(3.52，1.71，-2.49，-5.17，-7.58)

Y8=-7.58

觀測函數(shù)為e(-7.58,8)=(6.96，3.67，-5.14，-10.21，-13.63)，可知其觀測矩陣為

(3.11，1.35，-2.64，-6.58，-9.34)

取觀測噪音的方差為2，系統(tǒng)噪音ω為0.1，取初始值Y0的方差為2，根據(jù)式(3～11)可得出圖3中左側(cè)L8監(jiān)測點撓度預(yù)測值，如表5所示。從表5數(shù)可知，L8監(jiān)測點的撓度值經(jīng)首次迭代的預(yù)測值為-5.107 mm，反復(fù)迭代后預(yù)測值為-6.434 mm，與實測值相差0.044 mm。

表5 撓度變形預(yù)測結(jié)果表

同理可得該橋主梁I-I截面17 個應(yīng)變監(jiān)測點和主梁左側(cè)15 個撓度監(jiān)測點的濾波曲線，如圖4～5所示。為便于分析，將該橋主梁I-I截面中布設(shè)的各個應(yīng)變監(jiān)測點和主梁左側(cè)撓度的監(jiān)測點分別自然排序、編號。從圖4可知：主梁I-I截面中17 個應(yīng)變監(jiān)測點預(yù)測值與實測值的差值最大的點為第7 個監(jiān)測點和第17 個監(jiān)測點，分別約為1.94，2.32 με，可見卡爾曼濾波理論用于大跨度斜拉橋的結(jié)構(gòu)變形預(yù)測的理論值與實測值較為接近，在實際工程預(yù)測問題中具有良好的精準度。由圖5可知：主梁左側(cè)撓度監(jiān)測點預(yù)測值與實測值差值最大的點為L3，L10，分別約為1.72，1.79 mm。測點布設(shè)的數(shù)量對預(yù)測結(jié)果的收斂速度和精準度有很大影響，一般而言，測點越多收斂速度越快，收斂精度也越高。

圖4 卡爾曼濾波應(yīng)變結(jié)果

圖5 卡爾曼濾波撓度結(jié)果

實際工程應(yīng)用時受到較多因素影響，與理論之間存在偏差，因此通常需參照荷載最大值進行橋的設(shè)計。采用卡爾曼濾波理論預(yù)測大型橋梁的變形情況為橋梁的前期設(shè)計提供有力的依據(jù)，可以提高材料的利用率，亦為橋梁后續(xù)的健康監(jiān)測提供科學(xué)有效的技術(shù)支撐[15]。

4 結(jié) 論

大型斜拉橋在國家交通的正常運行中起著不可或缺的作用，它們影響著國民生活、生產(chǎn)的各個方面。至2020年底，我國新建的大、中、小各式橋梁約20余萬座。在橋梁的設(shè)計、施工和運營管理中存在的不足會導(dǎo)致橋梁的實際壽命達不到其設(shè)計使用期限。筆者將卡爾曼預(yù)測模型運用到大跨度疊合梁斜拉橋的結(jié)構(gòu)變形預(yù)測中，通過掌握該橋主梁中具有代表性的17 個應(yīng)變監(jiān)測點和15 個撓度監(jiān)測點的原始數(shù)據(jù)，預(yù)測所選截面下一狀態(tài)的應(yīng)變變形與撓度變形情況并與其實測值進行對比。研究表明：卡爾曼濾波預(yù)測模型可以精準地預(yù)測大跨度疊合梁斜拉橋的結(jié)構(gòu)變形情況，為此類橋梁結(jié)構(gòu)的運營工作及長期的健康監(jiān)測提供科學(xué)可靠的理論依據(jù)。