關(guān)于有限群的循環(huán)子群的注記

史江濤,任惠瑄

(煙臺大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 山東 煙臺 264005)

1 概 述

循環(huán)子群是有限群中一類非常重要的子群, 它是可以由一個元素生成的特殊的交換子群。 文獻[1]定理6.8指出: 設(shè)G是n階群, 如果(n,φ(n))=1, 則G循環(huán), 這里φ(n)是正整數(shù)n的歐拉函數(shù)。 文獻[2]習(xí)題1.4.3有下述結(jié)論: 設(shè)G是有限群, 假設(shè)|{x∈G|xn=1}|≤n,?n∈, 那么G是循環(huán)群。作為此結(jié)論的推廣, 在本文中我們證明了下述定理1成立, 證明見第2部分。

定理1設(shè)G為有限群,若G的每個循環(huán)子群H都滿足: 對任意x∈GH都有o(x)不整除|H|, 則G是循環(huán)群。

顯然,文獻[2]的習(xí)題1.4.3是上述定理1的一個直接推論。

設(shè)G為有限群,A為G的子群,CG(A)表示A在G中的中心化子,NG(A)表示A在G中的正規(guī)化子。文獻[3]研究了每個極小子群皆正規(guī)的有限群的結(jié)構(gòu), 這樣的群稱為PN-群。 在文獻[4]中我們用初等方法證明了: 設(shè)G為有限群,若對每個極小子群X均有NG(X)循環(huán), 則G循環(huán)。 作為這些結(jié)論的進一步推廣, 在本文中把極小子群的正規(guī)性和具有循環(huán)的正規(guī)化子結(jié)合起來考慮, 得到了定理2, 證明見第3部分。

定理2設(shè)G是有限群,G′為G的導(dǎo)子群。 若對G′的每個極小子群X都有或者X正規(guī)于G或者NG(X)循環(huán), 則或者G′為2-群,或者對于|G′|的任意奇素因子p都有G′為p-冪零。 特別地,G可解。

需要說明的是, 定理2中的群G不一定超可解。 例如, 24階特殊線性群SL2(3)只有2階和3階的極小子群, 其中2階極小子群是正規(guī)的, 每個3階極小子群的正規(guī)化子是6階循環(huán)群, 但SL2(3)是非超可解的。

如果假設(shè)G是冪零群,類似定理2的證明中的討論,易得下述定理3成立,本文省略證明。

定理3設(shè)G是冪零群,p為|G|的素因子。 若對G的每個p階極小子群X都有或者X正規(guī)于G或者NG(X)循環(huán), 則必有X≤Z(G)。

下述結(jié)論是定理2的一個直接推論。

推論1設(shè)G是有限群, 若對G′的每個極小子群X都有或者X正規(guī)于G或者NG(X)循環(huán), 則G′=[P]M,其中P∈Syl2(G′)且P正規(guī)于G′,M為G′的奇數(shù)階冪零Hall-子群。

在文獻[5]定理2.6中我們利用極小子群的中心化子和正規(guī)化子給出了循環(huán)群的一個等價刻畫:設(shè)G為Sylow子群皆循環(huán)的有限群, 則G循環(huán)當且僅當對每個極小子群X均有CG(X)=NG(X)。在文獻[6] 定理1.3中我們證明了:設(shè)G是有限群,p為|G|的最小素因子, 若對G的每個非循環(huán)p-子群A均有A=NG(A)或A正規(guī)于G,則G可解。 下面給出文獻[5]定理2.6的一個改進, 證明見第4部分。

定理4設(shè)G是有限群, 若對G的每個極小子群X均有CG(X)循環(huán)且CG(X)=NG(X), 則G循環(huán)。

本文符號都是標準的, 見文獻[1]。

2 定理1的證明

證明設(shè)G是極小階反例。 令K是G的任意真子群, 對于K的每個循環(huán)子群H, 對任意x∈KH, 當然有x∈GH。 由題設(shè)有o(x)不整除|H|, 說明題設(shè)條件對G的每個真子群都成立, 則由G的極小性有G的每個真子群都循環(huán)。

如果存在G的循環(huán)真子群H使得H不正規(guī)于G, 說明存在g∈G使得Hg≠H, 則Hg∩H

若G恰有一個極大子群, 則顯然有G是循環(huán)群, 與假設(shè)矛盾。

下設(shè)G至少有2個極大子群, 令H1和H2是G的任2個極大子群且H1≠H2。 如果|H1|=|H2|, 因為H1≠H2, 有H1∩H2

下設(shè)|H1|≠|(zhì)H2|。 注意由極小階反例的假設(shè)有H1和H2循環(huán), 從而由上述討論, 知H1正規(guī)于G和H2正規(guī)于G。 因為H1和H2都是G的極大子群, 則有|G:H1|=p,|G:H2|=q,p和q是兩個不同的素數(shù)。 令|H1|=h1,|H2|=h2,h1≠h2, 則|G|=h1p=h2q。 設(shè)h1=l1pα, 其中(l1,p)=1,α≥0。 由h1p=h2q且(p,q)=1, 知pα+1|h2但pα+2不整除h2。 設(shè)h2=l2pα+1, 其中(l2,p)=1。 因為H1和H2都循環(huán), 令H1=,H2=。 令K1=, 則|K1|=l1。 令K2=, 則|K2|=pα+1。 令c=apabl2,由K1正規(guī)于G和K2正規(guī)于G, 有(apα)-1(bl2)-1apαbl2∈K1∩K2。因為(|K1|,|K2|)=1,得K1∩K2=1。 于是(apα)-1(bl2)-1apαbl2=1, 得apαbl2=bl2apα。 進而因為(|K1|,|K2|)=1, 有o(apαbl2)=l1pα+1=h1p=|G|。 得G=是循環(huán)群, 與假設(shè)矛盾。

綜上, 極小階反例不存在, 故G是循環(huán)群。 證畢。

3 定理2的證明

證明如果G′不是2-群, 令p為|G′|的任一奇素因子。 分兩種情形:

(1) 假設(shè)存在G′的某個p階極小子群X使得X不正規(guī)于G。 由題設(shè)條件知NG(X)循環(huán)。 設(shè)P∈Sylp(G)使得X≤P, 有Np(X)=P∩NG(X)循環(huán)。 若Np(X)

(2) 假設(shè)對于G′的每個p階極小子群X都有X正規(guī)于G。 由N/C定理[1],G/CG(X)=NG(X)/CG(X)≤Aut(X)為循環(huán)群,得G′≤GG(X)。 于是X≤CG(G′)。 從而X≤G′∩CG(G′)=Z(G′), 即G′的每個p階極小子群都包含于Z(G′)。 由It引理[7]關(guān)于內(nèi)p-冪零群的結(jié)構(gòu)性質(zhì), 可得G′為p-冪零。

綜上, 得或者G′為2-群或者對于|G′|的任一奇素因子p都有G′為p-冪零。

下證G是可解的。 設(shè)G是極小階反例, 題設(shè)條件對G的每個真子群都成立, 則G是極小非可解群。 令Φ(G)為G的Frattini子群, 則G/Φ(G)為極小非交換單群。于是(G/Φ(G))′=G/Φ(G), 即G′Φ(G)/Φ(G)=G/Φ(G)。 得G′Φ(G)=G, 故G=G′。 因為G為非可解群,則|G|至少含2個不同的素因子。 由G=G′知|G′|必含奇素因子。 根據(jù)上述討論, 對于任意奇素數(shù)p||G′|, 此時G=G′為p-冪零。 從而G/Φ(G)為p-冪零, 即G/Φ(G)有非平凡的正規(guī)p-補, 這與G/Φ(G)是極小非交換單群矛盾。 故極小階反例不存在, 說明G可解。 證畢。

4 定理4的證明

證明設(shè)P為G的任一Sylow子群, 先證: 如果對于P的任一極小子群X均有Gp(X)循環(huán), 則P循環(huán)。

設(shè)P為極小階反例,上述條件假設(shè)對P的每個真子群都成立,則P是內(nèi)循環(huán)群, 即P非循環(huán)但P的每個真子群都循環(huán)。 于是P至少含兩個不同的極大子群。 不妨設(shè)P1和P2是P的兩個不同的極大子群, 則P1和P2都正規(guī)于P。 因為P非循環(huán), 則P1>1,P2>1。令X是P1的一個極小子群, 由假設(shè)知Cp(X)循環(huán)。 于是有P1≤Cp(X)

由上討論知G為Sylow子群皆循環(huán)的群, 于是由文獻[5]定理2.6知G循環(huán)。 證畢。