Aw-Rascle交通模型的初值問題

張得霞,潘麗君

(南京航空航天大學(xué)理學(xué)院,江蘇 南京 211106)

本文研究Aw-Rascle(AR)交通模型[1]

(1)

其中,ρ≥0,v≥0,p(ρ)分別表示t時(shí)刻x位置處的汽車密度、速度和壓力。2000年,AW和RASCLE建立了上述模型,它修正了由DAGANZO[2]提出的二階模型在交通流中存在的問題。 AR模型是描述單向道路的交通流模型,常用來(lái)解釋交通擁堵等現(xiàn)象[3],有關(guān)AR模型的研究,可參考文獻(xiàn)[1,4-5]。

對(duì)于AR模型,AW和RASCLE提出壓力項(xiàng)p=ργ,γ>0。 最初,CHAPLYGIN[6]、TSIEN[7]和VON KARMAN[8]用壓力

p=-ρ-1

(2)

來(lái)近似飛機(jī)機(jī)翼的上升力。 2013年,PAN和HAN[9]采用狀態(tài)方程

(3)

研究AR模型的初邊值問題。 SHAO和HUANG[10]采用分離delta函數(shù)法研究模型(1)和(2)的相互作用問題。 需注意到,文獻(xiàn)[9-10]中都出現(xiàn)了delta解。 Delta激波具有超壓縮性,能夠描述車輛的匯聚過程,解釋交通的某些極端情形[11]。 關(guān)于delta激波的研究可參考文獻(xiàn)[4,12]等。 本文將文獻(xiàn)[9]的方程(3)推廣到更一般形式

(4)

其中A為任意常數(shù),B>0。我們將構(gòu)造出模型(1)和(4)的黎曼解,并分析當(dāng)A→0時(shí),黎曼解的漸近性態(tài)。 此外,討論AR模型的相互作用問題。

本文安排如下:在第1節(jié)中,介紹模型(1)和(4)的基礎(chǔ)知識(shí),求解模型的黎曼問題

(v,ρ)(x,0)=(v±,ρ±),±x>0,

(5)

其中常數(shù)v±,ρ±>0。在第2節(jié),采用特征分析的方法,研究AR模型初值為三片常數(shù)的相互作用問題,得到了4種不同結(jié)構(gòu)的解。

1 帶有Chaplygin項(xiàng)的AR模型的黎曼解

這一節(jié),主要討論模型(1),(4)和(5)的黎曼問題。將式(4)代入方程組(1)得

方程組(6)的特征值及特征向量為

(7)

接下來(lái)求有界間斷解ξ=σ。方程組(6)的Rankine-Hugoniot條件為

(8)

其中[ρ]=ρ+-ρ-,求解得到接觸間斷J,接觸間斷壓縮波S(簡(jiǎn)稱壓縮波S),

J(v-,ρ-):v=v-=σ,

(9)

(10)

由式(7)和(10)知,稀疏波曲線與壓縮波曲線重合。

將曲線(7),(9)和(10)在(v,ρ)平面表示出來(lái)。平面被分為3個(gè)區(qū)域:

III={(v,ρ)|v>v-}。

根據(jù)右狀態(tài)(v+,ρ+)的位置,下面構(gòu)造黎曼問題(5)和(6)唯一顯式整體解。

但是,如果(v+,ρ+)∈I,此時(shí)方程組(6)的黎曼問題具有如下形式的delta解

(11)

其中,x(t),vδ(t)∈[0,∞),δ(·)表示delta測(cè)度。x(t),vδ(t),ω(t)分別表示Sδ波的位置、速度和權(quán)。測(cè)度解(11)滿足下面的廣義Rankine-Hugoniot條件,

(12)

(13)

只證明式(13)的第二個(gè)等式,第一個(gè)等式可以類似證明。

(ρv2+Aρv-Bv)φx)dxdt=

((ρv2+Aρv-Bv)φ)x)dxdt-

(ρv2+Aρv-Bv)x)dxdt+

((ρv2-Bv)φ)x)dxdt+

求解帶有如下初值的常微分方程組(12),

x(0)=0,ω(0)=0,

(14)

得到

(x(t),vδ(t),ω(t))=

(15)

(x(t),vδ(t),ω(t))=

(16)

可以發(fā)現(xiàn)

通過計(jì)算有

因此,(v+,ρ+)∈I時(shí),黎曼解為(v-,ρ-)+Sδ+(v+,ρ+)。綜上我們得到:

定理1 黎曼問題(5)和(6)存在唯一的顯式黎曼解,且當(dāng)式(11)中A→0時(shí),黎曼解的結(jié)構(gòu)保持不變。

注1我們將狀態(tài)方程(3)推廣為(4),但AR交通模型黎曼解結(jié)構(gòu)不發(fā)生變化。

2 波的相互作用

這一部分主要研究模型(6)和(4)的三片常數(shù)的初值問題,

(17)

其中ε為任意給定常數(shù)。

根據(jù)從(-ε,0)和(ε,0)處發(fā)出的接觸間斷與delta激波的類型,將情況分為以下幾種,其中我們只對(duì)ρ+≠ρ-的情況進(jìn)行詳細(xì)分析,ρ+=ρ-情況類似討論。

通過前一部分的分析可以知道,若t足夠小,初值問題(6)和(17)的解結(jié)構(gòu)為

(v-,ρ-)+Sδ1+(vm,ρm)+Sδ2+(v+,ρ+)。

Delta激波Sδ1和Sδ2的速度分別為vδ1,vδ2,且

其中

ωδ1(t)=

ωδ2(t)=

由于vδ1>vδ2,那么在一定時(shí)間內(nèi),Sδ1會(huì)追上Sδ2,交點(diǎn)(x1,t1)滿足

(18)

x(t1)=x1,ω(t1)=β(t1),vδ(t1)=vδ0。

(19)

其中,

β(t1)=ωδ1(t1)+ωδ2(t1),

顯然vδ2

(20)

綜上討論,當(dāng)t>t1時(shí),問題(6)和(17)解的結(jié)構(gòu)為(v-,ρ-)+Sδ3+(v+,ρ+),如圖1所示。

圖1 兩個(gè)delta激波發(fā)生相互作用

注2Delta激波Sδ1,Sδ2的傳播速度為常速,但delta激波Sδ3的傳播速度為變速。

當(dāng)t很小時(shí),問題(6)和(17)解的結(jié)構(gòu)為

(v-,ρ-)+S1+(v1,ρ1)+

J1+(vm,ρm)+Sδ1+(v+,ρ+)。

(21)

綜上所述,當(dāng)t1t2時(shí),初值問題(6)和(17)的解為(v-,ρ-)+Sδ3+(v+,ρ+),如圖2(a)所示。

圖2 接觸間斷與delta激波發(fā)生相互作用

(v-,ρ-)+S1+(v1,ρ1)+

S2+(v2,ρ2)+J2+(v+,ρ+)。

當(dāng)t很小時(shí),問題(6)和(17)的解為

(v-,ρ-)+S1+(v1,ρ1)+J1+(vm,ρm)+

S2+(v2,ρ2)+J2+(v+,ρ+)。

wave

圖3 兩個(gè)接觸間斷發(fā)生相互作用

當(dāng)t很小時(shí),相互作用問題(6)和(17)的解結(jié)構(gòu)為

(v-,ρ-)+Sδ1+(vm,ρm)+S1+

(v1,ρ1)+J1+(v+,ρ+)。

通過上述討論,得到了delta激波與接觸間斷以及接觸間斷之間相互作用的結(jié)果,結(jié)論如下:

定理2 相互作用問題(6)和(17)存在唯一的整體顯式解,delta激波與接觸間斷相互作用后會(huì)導(dǎo)致delta激波的速度由常速變?yōu)樽兯佟?/p>