清華簡(jiǎn)《算表》再研究

衣?lián)嵘?/p>

（河北經(jīng)貿(mào)大學(xué)發(fā)票博物館，河北石家莊 050061）

清華簡(jiǎn)《算表》是目前所知我國(guó)最早的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)，也是我國(guó)最早的計(jì)算器，還是世界上最早的十進(jìn)制乘法表的實(shí)物，它的發(fā)現(xiàn)在我國(guó)數(shù)學(xué)史上占據(jù)重要意義，引起廣泛關(guān)注。學(xué)者對(duì)此有許多探討[1-5]，其中全面介紹《算表》功能的，是李均明、馮立昇兩位先生的論文《清華簡(jiǎn)〈算表〉的形制特征與運(yùn)算方法》（以下簡(jiǎn)稱《運(yùn)算》）[6]、《清華簡(jiǎn)〈算表〉的功能及其在數(shù)學(xué)史上的意義》（以下簡(jiǎn)稱《功能》）[7]。《運(yùn)算》和《功能》稱，該表“可能還用于開平方運(yùn)算，但我們不能確定這一算表當(dāng)時(shí)已被用于開方這樣的復(fù)雜運(yùn)算，這一問題尚待進(jìn)一步探討?！边@一論述無疑是審慎而可取的。其中的原因，除了《運(yùn)算》所說的開平方計(jì)算是“復(fù)雜運(yùn)算”之外，可能更重要的原因是：《運(yùn)算》所描述的開平方運(yùn)算，用的是《九章算術(shù)》中的方法，而《九章算術(shù)》成書的兩漢之際距離《算表》所在的戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，相差了二百年以上，未必能作為《算表》具有開平方功能的證據(jù)。以和《算表》時(shí)代相近的張家山漢簡(jiǎn)《算數(shù)書》為證，證明《算表》確實(shí)具有開平方功能，只是計(jì)算方法和《運(yùn)算》描述的有所不同。在此基礎(chǔ)上，筆者得出一個(gè)具有學(xué)術(shù)史意義的結(jié)論：早在戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，我國(guó)就已經(jīng)產(chǎn)生了具有開平方功能的計(jì)算器。

具體說來，《運(yùn)算》以2 304 為例，解說《算表》的開平方功能：

先在對(duì)角線中找出小于2 304 但與其最近的數(shù)1 600，將通過1 600 的縱橫引線分別延伸至第一功能區(qū)，所見數(shù)字40 即確定了平方根之十位數(shù)。以1 600 減2 116 得516，即2 304－1 600=704，在縱橫引線找到最接近但小于704 一半（352）的數(shù)320，通過另兩條分別過兩個(gè)320 的正交引線可確定平方根之個(gè)位數(shù)位為8。而320 的2 倍是640，704－640=64=82，因此正好被開盡。因此可求得，=48[6]。

這段描述有一個(gè)小錯(cuò)誤：“以1 600 減2 116 得516”，這句話莫名其妙，原文沒有2 116，也不該有516。我懷疑，《運(yùn)算》本來以2 116 為例（平方根為46），不知為何，中途改成以2 304 為例（平方根為48）。改動(dòng)時(shí)，“以1 600 減2 304得516”這句話，應(yīng)該改為“以1 600 減2 304得704”，由于疏忽而未改。

在張家山漢簡(jiǎn)《算數(shù)書》中，找到比《九章算術(shù)》更早的開平方計(jì)算。《算數(shù)書》的擁有者為漢初某低級(jí)官吏，該官吏的下葬時(shí)代在漢朝呂后二年（前186）?！端銛?shù)書》的算題為摘抄性質(zhì)，是廣泛地從各種書籍中摘錄而來，并非原創(chuàng)，我們可以得出兩個(gè)重要結(jié)論：第一，《算數(shù)書》的算題與算法的來源時(shí)間必然不晚于呂后二年，學(xué)界一般推測(cè)為戰(zhàn)國(guó)時(shí)期或秦代。也就是說，其年代距離《算表》非常相近，可以作為我們研究《算表》的參考。第二，《算數(shù)書》的內(nèi)容為低級(jí)官吏抄錄而來，說明這些算題在當(dāng)時(shí)較為常見，流傳較廣。如此高水平的《算表》，其制作者肯定是知道《算數(shù)書》中記載的數(shù)學(xué)知識(shí)的。也就是說，《算數(shù)書》的知識(shí)可以用于推算《算表》的功能。

《算數(shù)書》中，有一道名為“方田”的算題，其實(shí)質(zhì)為整數(shù)的開平方近似計(jì)算，其內(nèi)容如下：

方田田一畝方幾何步？曰：方十五步卅一分步十五。術(shù)曰：方十五步不足十五步，方十六步有余十六步。曰：并贏、不足以為法，不足子乘贏母，贏子乘不足母，并以為實(shí)，復(fù)之，如啟廣之術(shù)[8]。

這道算題實(shí)際上是求240 的平方根是多少。計(jì)算方法是：容易知道，平方根位于15～16 之間。152=225，不足240，所以稱15 為“不足母”，余數(shù)240－152=15 稱為“不足子”。162=256，超過240，所以稱16 為“贏母”，余數(shù)162－240=16稱為“贏子”。以“不足母＋贏母”作為分母，以“不足子×贏母＋贏子×不足母”作為分子，得到的分?jǐn)?shù)就是其近似值。

《算數(shù)書》計(jì)算整數(shù)開平方的方法，和《運(yùn)算》描述的不同，思路簡(jiǎn)單而巧妙：將復(fù)雜的開平方運(yùn)算變?yōu)楹?jiǎn)單的乘方運(yùn)算，這樣就極大地降低了計(jì)算的難度。如果不能開盡，則找到“不足子”“不足母”和“贏子”“嬴母”，用盈不足術(shù)取得近似值。用這種方法計(jì)算《運(yùn)算》中的例題2 304的平方根，計(jì)算方法為：

（1）先在對(duì)角線中找出小于2 304 但與其最近的數(shù)1 600，將通過1 600的縱橫引線分別延伸至從第一功能區(qū)，所見數(shù)字40 即確定了平方根之十位數(shù)。下面嘗試找到小于平方根的“不足母”和大于平方根的“盈母”；

（2）因數(shù)40，1 兩條引出線與因數(shù)40，1 兩條引出線縱橫相交于1 600，40，40，1 四個(gè)交點(diǎn)，將此四數(shù)相加為1 681，小于2 304，繼續(xù)嘗試；

（3）因數(shù)40，2 兩條引出線與因數(shù)40，2 兩條引出線縱橫相交于1 600，80，80，4 四個(gè)交點(diǎn)，將此四數(shù)相加為1 764，小于2 304，繼續(xù)嘗試；

（4）因數(shù)40，3 兩條引出線與因數(shù)40，3 兩條引出線縱橫相交于1 600，120，120，9 四個(gè)交點(diǎn)，將此四數(shù)相加為1 849，小于2 304，繼續(xù)嘗試；

（5）因數(shù)40，4 兩條引出線與因數(shù)40，4 兩條引出線縱橫相交于1 600，160，160，16 四個(gè)交點(diǎn)，將此四數(shù)相加為1 936，小于2 304，繼續(xù)嘗試；

（6）因數(shù)40，5 兩條引出線與因數(shù)40，5 兩條引出線縱橫相交于1 600，200，200，25 四個(gè)交點(diǎn)，將此四數(shù)相加為2025，小于2 304，繼續(xù)嘗試；

（7）因數(shù)40，6 兩條引出線與因數(shù)40，6 兩條引出線縱橫相交于1 600，240，240，36 四個(gè)交點(diǎn)，將此四數(shù)相加為2 116，小于2 304，繼續(xù)嘗試；

（8）因數(shù)40，7 兩條引出線與因數(shù)40，7 兩條引出線縱橫相交于1 600，280，280，49 四個(gè)交點(diǎn)，將此四數(shù)相加為2 209，小于2 304，繼續(xù)嘗試；

（9）因數(shù)40，8 兩條引出線與因數(shù)40，8 兩條引出線縱橫相交于1 600，320，320，64 四個(gè)交點(diǎn)，將此四數(shù)相加為2 304?？梢?8即為平方根。

對(duì)于《算數(shù)書》的開平方算法而言，計(jì)算2 304 的平方根實(shí)在是太過簡(jiǎn)單的事情，就連2 305 等無法開盡的平方根，它都有辦法處理。其計(jì)算方法為：

（1）先計(jì)算平方根的十位數(shù)，結(jié)果為40：在對(duì)角線中找出小于2 305 但與其最近的數(shù)1 600，將通過1 600 的縱橫引線分別延伸至從第一功能區(qū)，所見數(shù)字40 即確定了平方根之十位數(shù)；

（2）計(jì)算41 的平方，看其與2 305 的關(guān)系：因子40，1兩條引出線與因子40，1兩條引出線縱橫相交于1 600，40，40，1 四個(gè)交點(diǎn)，將此四數(shù)相加為1 681，即412＝1 681，小于2 305，繼續(xù)嘗試；

（3）以此類推，分別計(jì)算422，432，442……482，492與2 305 的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)482為2 304，小于2 305，492為2 401，大于2 305，則個(gè)位數(shù)為8；

（4）由（3）可知，“不足母”為48，“不足子”為2 305－482＝1，“贏母”為49，“贏子”為492－2 305＝96，則最終的結(jié)果為(1×49＋48×96)/(48＋49)＝。

需要注意的是，今天的數(shù)學(xué)計(jì)算追求絕對(duì)準(zhǔn)確，所以會(huì)覺得古人沒法計(jì)算2 305 的平方根，但所追求的首先是實(shí)用，而不是絕對(duì)準(zhǔn)確。比如，秦漢時(shí)期的π 取值為3，誤差較大，就是出于實(shí)用的目的而非絕對(duì)準(zhǔn)確?！端銛?shù)書》計(jì)算整數(shù)開平方運(yùn)算，也是類似的并不完全準(zhǔn)確的實(shí)用方法。這樣就導(dǎo)致《運(yùn)算》眼中的“復(fù)雜運(yùn)算”，在古人的近似計(jì)算中卻相當(dāng)簡(jiǎn)單。我想，這種思路上的差別可能是李、馮兩位先生不太敢相信《算表》可以被用于計(jì)算整數(shù)開平方計(jì)算的原因。

綜上所述，《算表》具備計(jì)算整數(shù)開平方的功能，而且計(jì)算方法應(yīng)該和《算數(shù)書》“方田”算題相近。因此，我國(guó)產(chǎn)生具有開平方功能的計(jì)算器的時(shí)間，可以毫無疑問地提前到戰(zhàn)國(guó)時(shí)期。