基于阿波羅尼奧斯圓的無人機(jī)追逃問題研究

張澄安，鄧 文，王李瑞，龍 淼，姚怡舟

（1.國(guó)防科技大學(xué)電子科學(xué)學(xué)院CEMEE國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)，湖南長(zhǎng)沙410073；2.中國(guó)人民解放軍75836部隊(duì)，廣東 廣州510036）

0 引言

無人機(jī)具有低成本、無人員傷亡、操作方便、靈活可靠等優(yōu)點(diǎn)，近年來發(fā)展迅速，結(jié)合日益發(fā)展的網(wǎng)絡(luò)信息技術(shù)，無人機(jī)協(xié)同作業(yè)表現(xiàn)出巨大的應(yīng)用潛力，尤其是在軍事應(yīng)用領(lǐng)域[1]。對(duì)無人機(jī)的追逃問題進(jìn)行研究，是現(xiàn)代無人機(jī)作戰(zhàn)的基本要求，具有重要的意義。通常，對(duì)于追捕無人機(jī)速度大于逃跑無人機(jī)的情況，只要時(shí)間足夠，追捕無人機(jī)一定能夠截獲逃跑無人機(jī)，研究的內(nèi)容在于追捕時(shí)間和追捕空間等[2-6]。但對(duì)于追捕無人機(jī)速度小于逃跑無人機(jī)的情況，則存在一個(gè)策略選擇的問題：對(duì)于追捕無人機(jī)，采用某種策略，才能最大可能截獲無人機(jī)；對(duì)于逃跑無人機(jī)，采用某種策略或某種條件下，一定能夠成功逃逸。本文基于阿波羅尼奧斯圓相關(guān)定理[7-8]，研究在追捕無人機(jī)的追捕速度小于逃跑無人機(jī)的情況下無人機(jī)的追逃問題，并通過仿真實(shí)驗(yàn)，構(gòu)建追逃場(chǎng)景，驗(yàn)證所構(gòu)建模型的正確性和有效性。

1 2個(gè)單無人機(jī)追逃模型構(gòu)建

本節(jié)應(yīng)用阿波羅尼奧斯圓原理完成2個(gè)單無人機(jī)追逃模型的建立。首先對(duì)阿波羅尼奧斯圓進(jìn)行描述，阿波羅尼奧斯圓又稱為阿氏圓，如圖1所示[7]，已知平面上2點(diǎn)P、E，則對(duì)于平面上所有滿足k,k≠1的點(diǎn)P，其軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)圓就稱為阿氏圓。

圖1 阿波羅尼奧斯圓

其中點(diǎn)C與點(diǎn)D分別為阿氏圓的內(nèi)外分點(diǎn)，且：

阿氏圓原理給二維平面上無人機(jī)追逃問題提供了思路：若E、P分別為二維平面上逃跑無人機(jī)和追捕無人機(jī)所在的初始位置，則當(dāng)逃跑無人機(jī)和追捕無人機(jī)都按照理想的勻速直線運(yùn)動(dòng)，且逃跑無人機(jī)的速度vE和追捕無人機(jī)的速度vP的比例為vP/vE=k時(shí)，逃跑無人機(jī)剛好可以在阿氏圓上被追捕無人機(jī)截獲。

圖2為將阿氏圓應(yīng)用于無人機(jī)的追逃模型。

圖2 2個(gè)單無人機(jī)追逃模型

圖2中E、P分別代表逃跑無人機(jī)位置和追捕無人機(jī)位置，其坐標(biāo)分別為：E(xE,yE)和P(xP,yP)，則可以得到阿氏圓的坐標(biāo)為：

阿氏圓的半徑為：

假定逃跑無人機(jī)和追捕無人機(jī)均以恒定速度直線運(yùn)動(dòng)，逃跑無人機(jī)的速度和追捕無人機(jī)的速度分別為vE和vP，vP/vE=k＜1，E A和E B分別為點(diǎn)E對(duì)阿氏圓的切線，A、B分別為切點(diǎn)，則上述追捕問題可以概括為以下3種情況：

1）捕獲點(diǎn)在阿氏圓上

即追捕無人機(jī)剛好在阿氏圓上點(diǎn)M1截獲到逃跑無人機(jī)。

2）無法捕獲

因此，逃跑無人機(jī)比追捕無人機(jī)先到達(dá)M2，追捕無人機(jī)無法截獲逃跑無人機(jī)。

3）捕獲點(diǎn)在阿氏圓內(nèi)

追捕無人機(jī)在阿氏圓內(nèi)就可以成功截獲逃跑無人機(jī)。

上述2個(gè)單無人機(jī)追逃模型的構(gòu)建對(duì)問題進(jìn)行了簡(jiǎn)化，即假設(shè)逃跑無人機(jī)和截獲無人機(jī)都按照勻速直線運(yùn)動(dòng)進(jìn)行逃跑和截獲，沒有運(yùn)動(dòng)速度和方向的改變，這種簡(jiǎn)化可以求解一個(gè)極端情況，即在追捕無人機(jī)已經(jīng)知道逃跑無人機(jī)的逃跑意圖和路線，但是在絕對(duì)實(shí)力面前，逃跑無人機(jī)是否一定能夠在一定范圍內(nèi)逃逸成功的問題。這種情況對(duì)于指導(dǎo)逃跑無人機(jī)的逃跑方案規(guī)劃是有用的，可以在逃跑無人機(jī)速度大于追捕無人機(jī)的情況下求得逃跑無人機(jī)的絕對(duì)逃逸區(qū)域。

2 多無人機(jī)追捕模型構(gòu)建

對(duì)于多個(gè)追捕無人機(jī)追捕模型，只需要將第1節(jié)中單追捕無人機(jī)模型進(jìn)行擴(kuò)展即可。按照第1節(jié)給出的單無人機(jī)模型中阿氏圓的構(gòu)建，構(gòu)建多個(gè)追捕無人機(jī)相對(duì)于逃跑無人機(jī)的阿氏圓。圖3為含有n個(gè)追捕無人機(jī)和單個(gè)逃跑無人機(jī)的追逃示意圖。

圖3 多個(gè)追捕無人機(jī)追捕模型

設(shè)逃跑無人機(jī)的起始位置為E(x E,y E)，追捕無人機(jī)的起始位置分別為：P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，…，P n-1(x n-1,y n-1)，P n(x n,y n)，追捕無人機(jī)和逃跑無人機(jī)依然采用合適策略按照勻速直線運(yùn)動(dòng)，且追捕無人機(jī)和逃跑無人機(jī)的速度比為：

則第i個(gè)追捕無人機(jī)P i相對(duì)于逃跑無人機(jī)的阿氏圓O1,O2,…,O n，如圖3所示，第i個(gè)阿氏圓的圓心坐標(biāo)可以求得為：

第i個(gè)阿氏圓的半徑可以求得為：

相鄰2個(gè)阿氏圓O m和O m+1的圓心距可以計(jì)算為：

當(dāng)d m,m+1＞r m+r m+1時(shí)，相鄰2個(gè)阿氏圓不相交，即逃跑無人機(jī)只要采取相應(yīng)策略，一定可以從第m個(gè)追捕無人機(jī)和第m+1個(gè)追捕無人機(jī)之間逃逸。

由式（13）和（14）可以進(jìn)一步將逃跑無人機(jī)從第m個(gè)追捕無人機(jī)和第m+1個(gè)追捕無人機(jī)之間進(jìn)行逃逸的條件化簡(jiǎn)為：

反之，逃跑無人機(jī)不能從第m個(gè)追捕無人機(jī)和第m+1個(gè)追捕無人機(jī)之間進(jìn)行逃逸的條件為：

因此，逃跑無人機(jī)一定能夠成功逃逸的條件為存在阿氏圓O m′和O m′+1，使得d m′,m′+1＞r m′+r m′+1；反之，只要追捕無人機(jī)采取合適追捕策略，就一定能夠成功追捕到逃跑無人機(jī)的條件為對(duì)于任意阿氏圓O m″和O m″+1，d m″,m″+1≤r m″+r m″+1。

由式（15）、（16）和（11）可以看出逃跑無人機(jī)能否逃逸的條件只取決于逃跑無人機(jī)和追捕無人機(jī)的起始位置與速度，因此逃跑無人機(jī)在逃逸時(shí)只需要知道追捕無人機(jī)的速度和起始位置，就可以知道在最壞條件下，即追捕無人機(jī)采取最優(yōu)追捕策略時(shí)，自己能否逃逸。

3 仿真及分析

本節(jié)考慮單個(gè)逃跑無人機(jī)和2個(gè)追捕無人機(jī)在二維平面的追逃情況，如圖4所示。假設(shè)存在由邊A D和B C構(gòu)成的平面通道，通道寬度為M，逃跑無人機(jī)可以處于通道的任何位置，2個(gè)追捕無人機(jī)分別位于G1和G2，現(xiàn)逃跑無人機(jī)需要從通道左邊向右逃逸，實(shí)驗(yàn)旨在求得逃跑無人機(jī)的絕對(duì)逃逸區(qū)域，即不論追捕無人機(jī)采取什么樣的追捕策略，逃跑無人機(jī)一定能夠逃跑的絕對(duì)逃逸區(qū)域。

圖4 單個(gè)逃跑無人機(jī)和2個(gè)追捕無人機(jī)在二維平面的追逃示意圖

實(shí)驗(yàn)設(shè)置通道寬度M=70 km，D G1=C G2=20 km，逃跑無人機(jī)的速度為v E=250 m/s，追捕無人機(jī)的速度為v P=200 m/s，以第2節(jié)中逃跑無人機(jī)的逃跑條件為判斷準(zhǔn)則，通過仿真實(shí)驗(yàn)，得出逃跑無人機(jī)的絕對(duì)逃逸區(qū)域如圖5所示。

圖5中深色區(qū)域?yàn)樘优軣o人機(jī)的絕對(duì)逃逸區(qū)域，即當(dāng)逃跑無人機(jī)位于深色區(qū)域時(shí)，不論捕獲無人機(jī)采取什么樣的截獲策略，逃跑無人機(jī)一定能夠成功逃逸，原因在于當(dāng)逃跑無人機(jī)在此區(qū)域時(shí)，阿氏圓總是不相交的，也就給逃跑無人機(jī)提供了逃跑空間。

此外，根據(jù)逃跑無人機(jī)選用的逃跑路線可以將圖5中的絕對(duì)逃逸區(qū)劃分為5部分：上側(cè)逃逸區(qū)、中間逃逸區(qū)、下側(cè)逃逸區(qū)、雙側(cè)逃逸區(qū)1和雙側(cè)逃逸區(qū)2，如圖6所示。當(dāng)逃跑無人機(jī)位于上側(cè)逃逸區(qū)時(shí)，逃跑無人機(jī)只能選擇從G1上側(cè)逃逸；當(dāng)逃跑無人機(jī)位于中間逃逸區(qū)時(shí)，逃跑無人機(jī)只能選擇從G1與G2之間進(jìn)行逃逸；當(dāng)逃跑無人機(jī)位于下側(cè)逃逸區(qū)時(shí)，逃跑無人機(jī)只能選擇從G2下側(cè)段進(jìn)行逃逸；當(dāng)逃跑無人機(jī)位于雙側(cè)逃逸區(qū)1時(shí)，逃跑無人機(jī)可以選擇從G1上側(cè)或G1下側(cè)進(jìn)行逃逸；當(dāng)逃跑無人機(jī)位于雙側(cè)逃逸區(qū)2時(shí)，逃跑無人機(jī)可以選擇從G2上側(cè)或G2下側(cè)進(jìn)行逃逸。

圖5 逃跑無人機(jī)的絕對(duì)逃逸區(qū)域

圖6 絕對(duì)逃逸區(qū)域劃分示意圖

還可以觀察到絕對(duì)逃逸區(qū)域關(guān)于x軸對(duì)稱，這是由于選擇的初始化參數(shù)D G1與C G2相等，因此G1與G2關(guān)于x軸對(duì)稱所導(dǎo)致。

此實(shí)驗(yàn)為平面區(qū)域內(nèi)對(duì)于單一逃跑者和2個(gè)追逃者條件下的追逃實(shí)驗(yàn)，在一定條件約束下，求得了逃跑無人機(jī)的絕對(duì)逃逸區(qū)域，即只要當(dāng)逃跑無人機(jī)初始位置在絕對(duì)逃逸區(qū)域內(nèi)時(shí)，即使追捕無人機(jī)完全清楚逃跑無人機(jī)的意圖，采取最優(yōu)策略，逃跑無人機(jī)也一定能夠逃跑。在實(shí)際中追捕無人機(jī)不一定有條件采取最優(yōu)策略，這為逃跑無人機(jī)的逃逸進(jìn)一步提供了空間，逃跑無人機(jī)的成功逃逸區(qū)域則會(huì)更大。

4 結(jié)束語

本文基于阿波羅尼奧斯圓原理構(gòu)建了2個(gè)單無人機(jī)追逃模型和多無人機(jī)追捕模型，給出了逃跑無人機(jī)和追捕無人機(jī)能夠成功逃逸及成功追捕的條件，當(dāng)追捕者和逃跑者構(gòu)成的阿氏圓存在間隙時(shí)，逃跑無人機(jī)能夠成功逃逸；反之，當(dāng)阿氏圓不存在間隙時(shí)，追捕者采取合適的策略，一定能夠成功截獲逃跑者。此外，本文還對(duì)模型進(jìn)行了仿真分析，仿真結(jié)果表明在二維平面的逃逸通道內(nèi)，存在一個(gè)絕對(duì)逃逸區(qū)域，只要逃跑無人機(jī)初始位置位于此區(qū)域，逃跑無人機(jī)就一定能夠成功逃逸。