畫(huà)圖法在低段數(shù)學(xué)中的運(yùn)用

朱振華

（浙江省義烏市香山小學(xué)）

數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科是比較抽象的，對(duì)學(xué)生的思維能力有較高的要求。而現(xiàn)實(shí)的教學(xué)中，抽象思維能力不足、理解能力不強(qiáng)的學(xué)生，需要借助直觀(guān)的形象，才能更好地理解題意、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題。所以，畫(huà)圖法就成為學(xué)生解決問(wèn)題的重要方法。作為數(shù)學(xué)老師，尤其是低段的數(shù)學(xué)老師，在學(xué)生剛接觸解決問(wèn)題的知識(shí)時(shí)，就應(yīng)有意識(shí)地培養(yǎng)他們的畫(huà)圖意識(shí)和能力，將題目以更為直觀(guān)形象的方式表示出來(lái)，讓學(xué)生根據(jù)題意，靈活借助畫(huà)圖法來(lái)解決問(wèn)題。

一、畫(huà)圖法在低段數(shù)學(xué)教學(xué)中的價(jià)值和作用

所謂畫(huà)圖法，就是通過(guò)簡(jiǎn)單圖形表達(dá)出題中信息。具體而言，就是利用畫(huà)圖手段達(dá)到“化抽象為直觀(guān)，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，化隱性為顯性”的目的，讓學(xué)生更為直觀(guān)地理解抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題。教師將數(shù)學(xué)題目中的各種信息直觀(guān)地以圖形的形式呈現(xiàn)給學(xué)生，幫助學(xué)生快速理解題意，厘清思路，從而突破難點(diǎn)。

（一）巧用畫(huà)圖，提高興趣

一、二年級(jí)的學(xué)生邏輯思維能力還沒(méi)有形成，在分析某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，題意看不懂，思路不清晰，加之枯燥的數(shù)學(xué)計(jì)算，學(xué)生很容易產(chǎn)生厭煩、恐懼和排斥情緒。興趣是學(xué)習(xí)最好的老師，提高了學(xué)生對(duì)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的興趣，才能更好地調(diào)動(dòng)他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性，其思維能力才能得到提升。畫(huà)圖法能將枯燥、抽象的文字變得形象直觀(guān)，以畫(huà)促思，化難為易，讓他們?cè)趯?shí)踐中體會(huì)畫(huà)圖法解題的作用和價(jià)值。學(xué)生有了解決問(wèn)題的信心，自然而然對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生了興趣。例如，我們?cè)诮虒W(xué)雞兔同籠問(wèn)題時(shí)，就可以采用畫(huà)圖法。例題：“雞兔同籠，頭有5個(gè)，腿有12條，請(qǐng)問(wèn)籠里有幾只雞？”我們可以畫(huà)5個(gè)“○”表示5個(gè)頭；“|”表示腿，先假設(shè)全是雞，從圖1中可以看出，5只雞有10條腿，而信息中說(shuō)“腿有12條”，也就少了12-10=2（條）腿，什么原因呢？關(guān)鍵在于1只兔子有4條腿，一只兔子少算了2條腿，這樣在之前的示意圖上加兩條腿，如圖2，把一只雞變成一只兔子即可。借助畫(huà)圖，學(xué)生可以直觀(guān)地理解題意，從而明白其中的道理，這也為后續(xù)用假設(shè)法解決雞兔同籠問(wèn)題做好鋪墊。

圖1

圖2

（二）巧用畫(huà)圖，降低難度

低段小學(xué)生邏輯思維能力和分析問(wèn)題的能力不強(qiáng)，尤其是對(duì)于需多次轉(zhuǎn)彎思考的問(wèn)題存在較大的困難。針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，教師可以借助畫(huà)圖法，幫助學(xué)生理順?biāo)悸?，從而直觀(guān)、輕松地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。例題：“一排20個(gè)座位，其中有些座位已經(jīng)有人，小明無(wú)論坐在哪一個(gè)座位上，旁邊都有一個(gè)人與他相鄰，那么原來(lái)至少有多少人已經(jīng)就座？”

根據(jù)題意，要使小明無(wú)論坐在哪一個(gè)座位上，旁邊都有一人和他相鄰，那么兩個(gè)人之間就只能有兩個(gè)空位。如果第一個(gè)座位為空位的話(huà)，那么第二個(gè)座位必須有人。依據(jù)以上條件，座位有人的情況我們用“▲”表示，空位的情況用“△”表示，可以畫(huà)圖△▲△△▲△△▲△△▲△△▲△△▲△△▲，通過(guò)畫(huà)圖可以直觀(guān)地看出，原來(lái)至少有7個(gè)人已經(jīng)就座。

（三）巧用畫(huà)圖，提升思維

畫(huà)圖法不僅可以將問(wèn)題簡(jiǎn)單化、形象化，還可以歸納出同類(lèi)問(wèn)題（如排隊(duì)問(wèn)題、間隔問(wèn)題）類(lèi)型相同、條件不同時(shí)的解決方法，既提高學(xué)生的概括能力、觀(guān)察能力和思維能力，也節(jié)省了解決同類(lèi)問(wèn)題時(shí)的時(shí)間。

例題1：“合唱組參加表演。站成一排，從左往右數(shù)，淘氣是第8個(gè)，從右往左數(shù)，淘氣是第7個(gè)，合唱隊(duì)共有多少個(gè)同學(xué)參加表演？”我們依然可以引導(dǎo)學(xué)生借助畫(huà)圖法來(lái)理解。通過(guò)圖3，我們可以直觀(guān)看到，從左往右數(shù)，包括淘氣共有8人，從右往左數(shù)時(shí)，包括淘氣共有7人，如果直接計(jì)算8+7，那么淘氣就被重復(fù)算了，應(yīng)該減去1。因此正確計(jì)算方法為：8+7-1=14（個(gè)）。

圖3

例題2：“同學(xué)們排成一排，蘭蘭前面有7人，從后數(shù)蘭蘭是第9人，這一排一共有多少人？”同樣的，我們可以根據(jù)題意畫(huà)圖（圖4）。通過(guò)畫(huà)圖可以知道，蘭蘭的前面不包括蘭蘭在內(nèi)有7人，從后往前數(shù)包括蘭蘭在內(nèi)有9人，把前后數(shù)出的人數(shù)相加就是這一排的人數(shù)，即7+9=16（人）。

圖4

例題3：“一群小猴站成一排，小猴胖胖的左邊排有9只小猴，它的右邊有5只小猴，共有小猴多少只？”根據(jù)數(shù)學(xué)信息，我們可以畫(huà)圖（圖5）。從圖中我們可以看出，胖胖的左邊有9只小猴，右邊有5只小猴，如果只是將兩數(shù)相加，這一排就少了小猴胖胖，因此，把兩數(shù)相加后還得加1，即9+5+1=15（只）。

圖5

以上三道例題都屬于排隊(duì)問(wèn)題，都有一個(gè)中心人物，不同的是每個(gè)中心人物有重復(fù)出現(xiàn)的，有出現(xiàn)一次的，有一次都沒(méi)有出現(xiàn)的。我們通過(guò)畫(huà)圖比較分析可以得出：在同一排（或同一列）中，中心人物重復(fù)出現(xiàn)時(shí)，只要兩數(shù)相加后減1；中心人物只出現(xiàn)一次，只要將兩數(shù)直接相加；中心人物一次都沒(méi)有出現(xiàn)，兩數(shù)相加后加1。畫(huà)圖是為了更好地理解題目，通過(guò)畫(huà)圖讓學(xué)生學(xué)會(huì)解決一些實(shí)際問(wèn)題的手段，對(duì)于一些同類(lèi)問(wèn)題，教師不僅要教會(huì)學(xué)生畫(huà)圖的方法，更要讓學(xué)生通過(guò)直觀(guān)圖總結(jié)出解決的方法，這樣，再遇到此類(lèi)題目，他們就可以直接運(yùn)用掌握的方法解決問(wèn)題，而不是一味地作圖。

（四）巧用畫(huà)圖法，培養(yǎng)觀(guān)察思辨能力

通過(guò)圖形描述和分析問(wèn)題可以有效地提高學(xué)生的幾何直觀(guān)能力，而幾何直觀(guān)能力的提高有助于將抽象復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)單形象，從而更好地幫助學(xué)生探索數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決思路，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)。

如在教學(xué)“線(xiàn)的認(rèn)識(shí)”時(shí)，當(dāng)學(xué)生初步感知線(xiàn)段、射線(xiàn)和直線(xiàn)的特征后，教師可以讓學(xué)生畫(huà)一條3厘米長(zhǎng)的線(xiàn)段，再畫(huà)一條射線(xiàn)和一條直線(xiàn)。畫(huà)線(xiàn)段時(shí)，必須定起點(diǎn)，長(zhǎng)度為3厘米，最后定終點(diǎn)；畫(huà)射線(xiàn)時(shí)，定起點(diǎn)，畫(huà)直線(xiàn)；畫(huà)直線(xiàn)時(shí)，不定起點(diǎn)，直接畫(huà)。這樣一畫(huà)，“線(xiàn)段有兩個(gè)端點(diǎn)，有具體長(zhǎng)度，可量；射線(xiàn)只有一個(gè)端點(diǎn)，可以向一端無(wú)限延長(zhǎng)，無(wú)具體長(zhǎng)度，不可量；直線(xiàn)無(wú)端點(diǎn)，可以向兩端無(wú)限延長(zhǎng)，無(wú)具體長(zhǎng)度，不可量”的特征，教師無(wú)須多做解釋?zhuān)瑢W(xué)生已經(jīng)理解并牢記于心。

二、畫(huà)圖法在低段數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用研究

畫(huà)圖法是眾多解題策略中最基礎(chǔ)的策略，它能幫學(xué)生直觀(guān)地理解題意，找到解題突破口。但是題型不同，所采用的畫(huà)圖法也不一樣。下面我就談?wù)勗诙昙?jí)數(shù)學(xué)教學(xué)中常用的三種畫(huà)圖法。

（一）線(xiàn)段法，尋求解題突破口

線(xiàn)段法是由若干條線(xiàn)段組成，通過(guò)畫(huà)圖幫助學(xué)生厘清等量關(guān)系，進(jìn)行深入分析，尋求解題的突破口，從而降低解題難度，它可以有效地提高學(xué)生的抽象思維能力。

例題1：“一筐雞蛋第一次賣(mài)了全部的一半，第二次又賣(mài)了余下的一半，這時(shí)還剩下9個(gè)。原來(lái)這筐雞蛋有多少個(gè)？”

我們可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)畫(huà)線(xiàn)段圖來(lái)理解題意（圖6）。由圖中可知，第二次賣(mài)雞蛋的一半后還剩下9個(gè)雞蛋，而這9個(gè)雞蛋實(shí)際上和第二次賣(mài)的雞蛋一樣多，所以第一次賣(mài)雞蛋剩下的正好是9+9=18（個(gè)），而第一次賣(mài)的雞蛋正好是總雞蛋數(shù)的一半，所以原來(lái)的雞蛋有18+18=36（個(gè)）。

圖6

（二）簡(jiǎn)易圖形代替法，提升解題有效性

在平時(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，對(duì)于一些復(fù)雜的圖形，在進(jìn)行畫(huà)圖時(shí)我們可以采用簡(jiǎn)易幾何圖形代替法進(jìn)行，大大縮短審題、畫(huà)圖時(shí)間的同時(shí)，還能有效厘清關(guān)系，降低難度，加快解題速度，提高解題正確率。

例題2：“廣場(chǎng)上有一些阿姨在跳廣場(chǎng)舞，她們排成了一個(gè)方陣，無(wú)論從前往后數(shù)，從后往前數(shù)，還是從左往右數(shù)，從右往左數(shù)，李阿姨都排在第3，算一算一共有多少個(gè)阿姨在跳舞?！备鶕?jù)題意畫(huà)圖如下（圖7），△代表其他阿姨，●代表李阿姨。從圖中可以看到，李阿姨站的這一橫排人數(shù)是3+3-1=5（人），站的這一豎排人數(shù)是3+3-1=5（人），那么跳廣場(chǎng)舞的總?cè)藬?shù)就是5個(gè)5人，即5×5=25（人）。

圖7

（三）樹(shù)形圖，彰顯有序思考

樹(shù)形圖是畫(huà)圖方法中結(jié)構(gòu)最簡(jiǎn)單卻又十分重要的方法，在生活中、工作中都有廣泛的應(yīng)用。如搭配早餐、搭配衣服、挑選線(xiàn)路等排列組合問(wèn)題，要想做到結(jié)果不重復(fù)也不遺漏，選用樹(shù)形圖最合適，它既能直觀(guān)地呈現(xiàn)各種結(jié)果，又能不重復(fù)、不遺漏，有序地呈現(xiàn)結(jié)果。例題3：“蘭蘭有4件上衣，3條褲子，有幾種不同的搭配方法？”

我們可以把搭配的情況用連線(xiàn)的方法表示（圖8），從連線(xiàn)圖中，我們發(fā)現(xiàn)1件上衣可以分別與3條褲子搭配，那么4件上衣和3條褲子搭配就相當(dāng)于4個(gè)3，有3×4=12（種）不同的搭配方法。

圖8

三、畫(huà)圖法在低段數(shù)學(xué)教學(xué)中的一般步驟

蘇霍姆林斯基曾說(shuō)：“如果哪個(gè)學(xué)生學(xué)會(huì)了畫(huà)應(yīng)用題，我就可以有把握地說(shuō)，他一定能學(xué)會(huì)解應(yīng)用題?！笨梢?jiàn)，畫(huà)圖法在小學(xué)數(shù)學(xué)解決問(wèn)題中起到橋梁的作用。但是在實(shí)際教學(xué)中，很多學(xué)生只有在教師的提示下才會(huì)知道選用何種畫(huà)圖法來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。“授之以魚(yú)不如授之以漁”，方法比結(jié)果更為重要。作為教師，應(yīng)有意識(shí)、有方法地進(jìn)行畫(huà)圖法教學(xué)，讓學(xué)生在畫(huà)圖過(guò)程中體會(huì)方法、感悟策略，引導(dǎo)學(xué)生逐步踏上數(shù)學(xué)思維之旅。在教學(xué)中，我一般會(huì)按以下幾個(gè)步驟實(shí)施。

（一）熟讀題目，審清題意

“讀書(shū)百遍，而義自見(jiàn)?！弊x題是畫(huà)圖解決問(wèn)題的第一步，只有多讀，才能明確題目中的已知信息和問(wèn)題，弄清題意，為接下來(lái)的解題奠定基礎(chǔ)。在讀題時(shí)，我會(huì)讓學(xué)生畫(huà)出關(guān)鍵詞，如誰(shuí)比誰(shuí)多（或少），誰(shuí)是“1”倍量，等等。

（二）理解題意，確定畫(huà)法

讀懂題意之后，就是解題最重要的一步——正確畫(huà)圖。我會(huì)啟發(fā)學(xué)生思考，以往教師在解決此類(lèi)題時(shí)選用何種畫(huà)圖方法，方法選定后根據(jù)題目的已知信息和問(wèn)題，畫(huà)出相應(yīng)的圖形。

（三）找準(zhǔn)關(guān)系，分析作答

每道解決問(wèn)題其實(shí)都存在著一定的數(shù)量關(guān)系，畫(huà)圖能讓這些數(shù)量關(guān)系一目了然。我會(huì)引導(dǎo)學(xué)生借助直觀(guān)圖進(jìn)行分析，思考解決問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)，找出解決問(wèn)題的方法。

四、畫(huà)圖法在低段數(shù)學(xué)教學(xué)中的評(píng)價(jià)策略

對(duì)于低段學(xué)生的畫(huà)圖要求不宜過(guò)高，不能強(qiáng)求學(xué)生畫(huà)的圖與教師或教材中的圖一模一樣，只要所畫(huà)的圖合理即可。教師應(yīng)及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生畫(huà)圖的好方法，與全班交流分享，不僅可以?xún)?yōu)化畫(huà)圖方法，還可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。

總之，在學(xué)生數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)的重要階段，我們應(yīng)注重學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)。數(shù)學(xué)思想包括數(shù)形結(jié)合，而在低段數(shù)學(xué)中，數(shù)形結(jié)合的表現(xiàn)形式就是畫(huà)圖法。所以，在數(shù)學(xué)的教學(xué)中，教師應(yīng)善于將內(nèi)容化難為易，運(yùn)用直觀(guān)的畫(huà)圖法開(kāi)展教學(xué)活動(dòng)，提高教學(xué)效率和教學(xué)質(zhì)量。