踏“學(xué)”有痕，潤(rùn)“數(shù)”無聲
——以“數(shù)圖形的學(xué)問”為例探討數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用

朱 先

（浙江省義烏市香小教育集團(tuán)楊村校區(qū)）

“數(shù)圖形的學(xué)問”是四年級(jí)數(shù)學(xué)教材“數(shù)學(xué)好玩”中的內(nèi)容。本課重在把故事情境抽象成數(shù)線段問題，并借助圖形直觀描述和分析問題，再從圖形上升到算式符號(hào)，有序思考，做到不重不漏。大部分學(xué)生具備有序數(shù)的意識(shí)，對(duì)線段圖也并不陌生，但對(duì)于生活情境抽象成圖形描述存在困難，找不到它的數(shù)學(xué)模型。本文以“數(shù)圖形的學(xué)問”為例，從數(shù)學(xué)的數(shù)形結(jié)合、歸納推理、擇優(yōu)、聯(lián)想類比等方面講述數(shù)學(xué)思想在“數(shù)學(xué)好玩”課中的應(yīng)用。

一、對(duì)比篩選，化繁為簡(jiǎn)

我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休?！薄皵?shù)”與“形”代表事物兩個(gè)方面的屬性，數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)具體化、直觀化，從而達(dá)到“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”的目的，優(yōu)化解題途徑。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，通常是將生活中的現(xiàn)實(shí)問題和數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化成線段圖來解決問題。

片段1：

出示鼴鼠鉆洞情境圖。

1.讀題：讀一讀鉆洞的規(guī)則，你有什么想說的？

明確規(guī)則：向前走，也就是不能從第二個(gè)洞進(jìn)去從第一個(gè)洞出來?？梢詮娜魏我粋€(gè)洞口進(jìn)入和出來。

2.想題：有多少條不同的路線？你是怎么想的？

3.畫題：一共有多少條路線？（寫寫、畫畫、數(shù)數(shù)）

依次展示學(xué)生的作品并說說自己的想法。

從繁到簡(jiǎn)依次展示“圖” 解釋畫圖想法images/BZ_58_294_708_725_1031.png生1：我先把山洞畫出來，再從一個(gè)洞口鉆進(jìn)去，從另一個(gè)洞口鉆出來，用線來表示一種鉆洞的方法，最后數(shù)了數(shù)，一共有6條。images/BZ_58_294_1092_725_1416.png生 2：我是用 1、2、3、4表示4個(gè)洞的名字，用帶箭頭的線來表示路線：從1洞口進(jìn)去，再從2、3、4洞口分別出來；從2洞口進(jìn)去，從3、4洞口出來；最后從3洞口進(jìn)，4洞口出，一共6條路線。images/BZ_58_294_1472_725_1795.png生3：我和龔妙言想法很像，但我是用A、B、C、D表示洞口的，而且我還寫了算式：3+2+1=6（條）images/BZ_58_294_1831_725_2154.png生4：我是用線段圖來畫的，這兩個(gè)點(diǎn)之間的線就表示路線，3表示從第一點(diǎn)出發(fā)的3條路，2表示從第二點(diǎn)出發(fā)的2條路，1表示從第三點(diǎn)出發(fā)的1條路，所以也是6條。images/BZ_58_294_2201_729_2527.png生5：我的圖比羅天多了字母，這樣說起來比較方便，AB、AC、AD、BC、BD、CD。

4.擇優(yōu)：對(duì)比這些畫圖方法，你認(rèn)為哪種更好？為什么？

生1：第一種圖畫起來太麻煩了，線段圖更簡(jiǎn)單些。

生2：用箭頭來表示進(jìn)去和出來的不同，這個(gè)我很喜歡。

生3：我更喜歡用字母來表示洞口，因?yàn)槿绻脭?shù)字表示洞口，那么1、2又是12，容易混淆。

生4：我覺得用線段圖很好，這樣我們就可以把“鉆洞問題”變成“數(shù)線段問題”，數(shù)線段我們很熟悉，之前都學(xué)過的。

學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最多接觸的是“數(shù)”，頭腦中對(duì)圖形往往缺乏準(zhǔn)確性或者過于廣泛化。課堂中學(xué)生畫圖的情況不一，代表了學(xué)生原來的畫圖經(jīng)驗(yàn)，因此從繁到簡(jiǎn)依次展示不同思維層次學(xué)生的想法，逐步從情境圖中抽象出線段圖，將數(shù)學(xué)抽象對(duì)接學(xué)生原有經(jīng)驗(yàn)。然后組織學(xué)生討論與交流哪一種畫圖方法更好，放手讓學(xué)生自己去對(duì)比、篩選、發(fā)現(xiàn)哪一種圖更好，實(shí)現(xiàn)方法的擇優(yōu)。經(jīng)歷從低思維水平向高思維水平發(fā)展的過程，可以培養(yǎng)學(xué)生畫圖的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。這樣的“畫圖”的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，既可以讓學(xué)生學(xué)會(huì)抽象，又可以有序思考。通過“畫”與“數(shù)”來解決鼴鼠鉆洞問題，學(xué)生“畫”得越簡(jiǎn)單越抽象也就越能表達(dá)自己有序思考的過程。數(shù)學(xué)知識(shí)化繁為簡(jiǎn)，直觀形象，有助于“數(shù)形結(jié)合”思想的內(nèi)化。

二、激發(fā)思考，方法多元

數(shù)學(xué)教育的目的不僅僅是要讓學(xué)生掌握知識(shí)，更重要的是讓學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的思維。數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)方法多樣化，不同的方法滲透著不同的思維，使得學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握更全面、更系統(tǒng)、更牢固。課堂中要讓學(xué)生經(jīng)歷算法多樣的過程，用多樣化的數(shù)學(xué)思想方法來分析、解決問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

片段2：

師：剛才我們從鼴鼠鉆洞問題中找到了“數(shù)線段”的方法，現(xiàn)在老師把它畫在黑板上（圖1），你還有其他有序數(shù)線段的方法嗎？

圖1

生：一段一段地?cái)?shù)AB、BC、CD，兩段兩段地?cái)?shù)AC、BD，三段三段地?cái)?shù)AD，算式也是3+2+1=6（條）。

師：你聽明白了嗎？誰愿意再來說一說他的方法？

生：他是這樣數(shù)的，單獨(dú)一段的線段有3條，兩段合在一起組成的線段有2條，三段合在一起的線段只有1條。

師根據(jù)學(xué)生描述板書。（圖2）

圖2

師：這兩種方法之間有什么相同點(diǎn)？（小組交流討論并匯報(bào)）

生1：都是有序地?cái)?shù)，不會(huì)重復(fù)也不會(huì)遺漏。

生2：都是解決同一個(gè)問題。

生3：都是一樣的算式。

師：這兩種方法之間有什么不同點(diǎn)？

生1：思考方法不一樣，第一種是固定一個(gè)點(diǎn)來數(shù)，第二種是根據(jù)線段的數(shù)量來數(shù)。

生2：我覺得雖然算式一樣，但是算式表示的意思是不一樣的，第一種的3表示AB、AC、AD，而第二種的3表示AB、BC、CD。

通過引導(dǎo)學(xué)生思考“你還有不同的有序數(shù)線段的方法嗎”，抓住數(shù)線段方法的本質(zhì)，即有序地?cái)?shù)；同時(shí)發(fā)散學(xué)生的思維，激發(fā)創(chuàng)新意識(shí)，滲透數(shù)學(xué)方法多樣化的思想。這個(gè)年齡的孩子注意力不夠穩(wěn)定，思維專注力較弱，缺乏挑戰(zhàn)困難的勇氣。單一的解決問題的方法不僅會(huì)限制學(xué)生的思維，形成思維定式，還會(huì)抑制學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。課堂中提供給學(xué)生充分的時(shí)間和空間，讓其感受解決問題策略的多樣性?！皵?shù)線段”的兩種方法沒有優(yōu)劣之分，只是思考角度有所不同。學(xué)生對(duì)兩種方法的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)的交流與討論，溝通了不同方法之間的內(nèi)在聯(lián)系，可以更好地利用直觀的圖形模型解釋符號(hào)模型，培養(yǎng)學(xué)生有序思考的習(xí)慣。學(xué)生根據(jù)自己的實(shí)際情況，選擇自己擅長(zhǎng)的方法，不同層次的學(xué)生獲得不同的發(fā)展。

三、舉例聯(lián)想，豐富模型

在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)幫助學(xué)生建立數(shù)感、符號(hào)意識(shí)，發(fā)展運(yùn)算能力和推理能力，初步形成模型思想。構(gòu)建模型的過程包括：從具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號(hào)表示數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求解并討論其意義。數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)的思想方法，是解決實(shí)際問題的一種有效手段。

片段3：

師：數(shù)線段幫我們解決了有多少條路線的問題，像這樣的方法還能解決哪些問題呢？4人小組內(nèi)說一說。

小組匯報(bào)：

images/BZ_59_1346_1261_1729_1437.png圖形聯(lián)想 解決問題聯(lián)想數(shù)角 比賽問題香山小學(xué)四年級(jí)要進(jìn)行足球友誼賽，每?jī)蓚€(gè)班都要比一場(chǎng)，4個(gè)班一共要比多少場(chǎng)？ 數(shù)三角形images/BZ_59_1384_1555_1689_1761.png握手問題4人小組內(nèi)，每2人握一次手，一共需要握多少次手？ images/BZ_59_1335_1869_1729_2051.png數(shù)長(zhǎng)方形 打電話問題新年到了，4個(gè)小朋友要打電話互相送祝福，請(qǐng)問一共需要打多少次？ 數(shù)正方形（有序） 購票問題義烏到杭州共有4個(gè)車站，有多少種不同的車票？

學(xué)生從“鼴鼠鉆洞”問題中初步抽象出圖形模型（線段圖）和符號(hào)模型（算式），本環(huán)節(jié)中重在思考“用這樣的方法還能解決生活中的哪些問題”，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行舉例聯(lián)想，利用遷移，圍繞同一個(gè)模型去發(fā)散思維。讓學(xué)生感受到生活中類似的問題，豐富學(xué)生剛建立的模型，更好地感悟數(shù)學(xué)模型的思想，辨別正例與反例，促進(jìn)思維模型的完善和靈活運(yùn)用。久而久之，學(xué)生會(huì)在諸如分析、理解數(shù)量關(guān)系時(shí)用到“畫線段圖”，形成幾何直觀的意識(shí)。

四、觀察思考，歸納推理

歸納推理是從特殊到一般的推理方法，即依據(jù)一類事物中部分對(duì)象的相同性質(zhì)推出該類事物都具有這種性質(zhì)的一般性結(jié)論的推理方法。歸納推理一般需要經(jīng)歷觀察、求聯(lián)、猜測(cè)、驗(yàn)證4個(gè)步驟。

片段4：

出示菜地旅行情境圖。

1.讀完題目你有什么想問的？

“單程”是什么意思？

2.現(xiàn)在你會(huì)根據(jù)情境畫出圖，有序地?cái)?shù)一數(shù)了嗎？

學(xué)生獨(dú)立思考解決，根據(jù)學(xué)生作業(yè)板書。（圖3）

圖3

你來說一說你是怎么數(shù)的？（匯報(bào)兩種數(shù)線段方法）

3.如果再增加1個(gè)車站，請(qǐng)問會(huì)多出幾種不同的票？

追問：為什么多了1個(gè)車站，不是多1張票而是多出5張呢？

連一連，F(xiàn)A、FB、FC、FD、FE，一共是5條。（圖4）

圖4

4.如果是8個(gè)、9個(gè)車站呢？

5.你有什么發(fā)現(xiàn)？（同桌交流）

6.延伸：如果有50個(gè)車站，你知道有多少種不同的車票嗎？課后有興趣可以去探究。

“車票問題”由易到難，逐層深化，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考和探索，在數(shù)的過程中注重算式與圖形一一對(duì)應(yīng)，有序思考。引導(dǎo)學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)：新增加的這個(gè)車站，需要與前面的所有車站連線，線段增加的條數(shù)等于原來的點(diǎn)數(shù)。通過觀察求5個(gè)、6個(gè)、8個(gè)、9個(gè)車站的車票數(shù)中線段圖與算式的變化，發(fā)現(xiàn)蘊(yùn)藏的規(guī)律并解釋這個(gè)規(guī)律的合理性，感受數(shù)學(xué)的規(guī)律美，滲透歸納推理思想方法，提高對(duì)數(shù)學(xué)問題探索的興趣。

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的靈魂，有利于學(xué)生的終身發(fā)展。踏“學(xué)”有痕，相信凡是經(jīng)歷過的思考過程必會(huì)留下思維的痕跡；潤(rùn)“數(shù)”無聲，讓學(xué)生在潛移默化中形成數(shù)學(xué)思維能力，提升其邏輯思考能力。數(shù)學(xué)思想方法的滲透是一個(gè)漫長(zhǎng)反復(fù)的過程，只有日積月累方能讓課堂迸發(fā)出新的活力。