基于四階累積量的非相干分布式信源測向算法

陳增茂，葛梁，白永珍，孫溶辰

哈爾濱工程大學(xué) 信息與通信工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001

信源參數(shù)估計一直是陣列信號處理的重要研究方向之一，在增強有用信號、抑制干擾信號以及非合作信號偵察等方面發(fā)揮著重要的作用[1?4]，主要包括空間譜估計及信源數(shù)估計等方面[5]。傳統(tǒng)的空間譜大多以點信源模型為基礎(chǔ)[6?7]，而實際中由于多徑等因素的影響接收信號往往具有一定的角度擴展特性。有學(xué)者基于接收信號特征的不同將此種具有角度擴展的接收信號模型分為相干分布源(coherently distributed,CD)和非相干分布源(incoherently distributed,ID)兩種[6]，國內(nèi)外學(xué)者基于此種信號模型在原有點信源模型算法上進行改進創(chuàng)新提出了多種算法。文獻[8]在分布式信源模型的基礎(chǔ)上利用信號的非圓特征擴展了陣列的輸出矩陣，同時基于回溯優(yōu)化的方法快速得到信號子空間。文獻[9]中提出了一種基于平行因子的低復(fù)雜度方法，在精度尚可的前提下降低了運算的復(fù)雜度。Bengtsson 等[10]利用泰勒展開提出了兩點近似模型，該模型在小角度擴展下忽略高階泰勒余項，將分布源近似為2 個點源表示，不需要已知角度擴展。文獻[11]基于此模型提出了一種針對分布式信源的ESPRIT 類算法，極大地降低了計算復(fù)雜度，但陣列結(jié)構(gòu)固定。崔維嘉等[12]將非圓信號特征引入分布式信源算法中提出了基于抽樣分解的非相干分布源波達方向估計(directional of arrival，DOA)方法。

由于非相干分布源的擴散特性，會導(dǎo)致相同陣元數(shù)時可測向目標數(shù)的減少。上述算法雖然可以很好地解決非相干分布式信源的測向問題，但并未對測向目標減少的問題進行優(yōu)化，可分辨目標數(shù)急劇減少的問題依然存在。四階累積量可以自動抑制任意加性高斯噪聲并且可以擴展陣列、增加虛擬陣元，因此四階累積量可以很好地解決非相干分布源的信號擴散帶來的分辨目標減少的問題。針對經(jīng)典測向模型，文獻[13]類比二階統(tǒng)計量的MUSIC 算法提出了一種基于四階累積量的MUSIC 算法，文獻[14]對上述四階累積量方法利用波束域進行改進，通過波束輸出矩陣降低了計算的復(fù)雜度。文獻[15]對文獻[13]算法中接收信號四階累積量矩陣的冗余項進行了去除從而有效地降低了計算的復(fù)雜度，提高了測向的實時性。文獻[16]中通過計算互質(zhì)陣列接收信號的四階協(xié)方差矩陣并利用稀疏陣列去冗余，同時利用ESPRIT 類方法代替MUSIC 類方法，在提升陣列自由度的前提下對復(fù)雜度進行了兼顧。但上述高階累積量算法并未考慮多徑情況，均采用點信源作為假設(shè)，不適用于非相干分布式信源。本文在非相干分布式信源模型的基礎(chǔ)上，利用高階累積量特性對接收信號進行陣列擴展，提高了非相干分布式信源情況下的陣列最大可識別信源個數(shù)。

1 信號模型

假設(shè)空間中存在著K個窄帶的分布源入射到M個陣元的均勻線陣上，每個子陣之間的間距都為d，則分布源的一般情況下的表達式可以表示為[5]

式中：si(θ,t;ψi)為 第i個 信源的角密度函數(shù)，θ為信源的入射角，ψi為第i個 信源的位置矢量，t為采樣時刻，α(θ)是M×1維 的陣列流形向量，N(t)為零均值的加性高斯噪聲。由于非相干分布源的各散射分量之間互不相關(guān)，因此接收信號也可以等效為

式中：si(t) 為 第i個信源的發(fā)射信號，信號為平穩(wěn)非高斯信號且不同信源之間發(fā)射信號相互獨立；γk.l(t)為時域上獨立同分布的復(fù)值零均值變量；Li為 第i個 信源 的入射路徑總數(shù)；θˉi,l(t)為 第l條路徑的DOA，的值為

式中：θi為第i個信源主徑信號的實 際入射角；φi,l(t)為隨機的角度偏差，其均值為0，方差為待估計的角度擴展。

式中：α′(θi)為 α(θi)的偏導(dǎo)數(shù)，由于角度擴展通常較小，因此泰勒展開中的高階余項幾乎為零，此處忽略不計。展開后的陣列流形帶入原信號中得到接收信號的另一種表達式為

將接收信號簡化為如式(1)的形式:

2 四階累積量

傳統(tǒng)的DOA 估計通常利用信號的二階統(tǒng)計特性，但有時二階統(tǒng)計特征不能完整地描述信號的特性，這時就需要采用高階累積量。常用的高階累計量通常為三階累積量和四階累積量，由于四階累積量具有自動抑制加性高斯噪聲和任意高斯色噪聲的能力，因此陣列信號處理中通常采用四階累積量。同時四階累計量還可以擴展陣列孔徑，因此可以實現(xiàn)在陣元數(shù)不變的情況下識別更多的信源。

假設(shè)信號 {x(n)}為零均值復(fù)平穩(wěn)非高斯信號，則其四階累積量定義為[17]

假設(shè)存在K個序列 {xk(n),k=1,2,···,K}，并且令式(2) 中的 τ1=τ2=τ3=0，則K維復(fù)向量矩陣x(n)=[x1(n),x2(n),···,xK(n)]的四階累積量可以表示為

式(3)為理論情況下的計算表達式，實際使用中也可以使用式(4)來近似估計:

3 算法原理

接收信號式(1) 的四階協(xié)方差矩陣可以表示為

式中：?表示克羅內(nèi)克積(Kromecker)運算；D1、D2、D3分別為

算法步驟如下：

1) 利用陣列輸出信號得到接收信號的四階累積量矩陣CX；

2) 對其進行特征值分解，對特征向量進行空間劃分得到信號的四階噪聲子空間UN；

3) 利用式(12)構(gòu)造空間譜函數(shù)并計算可能入射角度的譜函數(shù)f(θ)的值；

4) 找到譜函數(shù)f(θ)對應(yīng)的K個極大的峰值點找到K個入射角；

5) 根據(jù)搜索得到的K個入射角，利用式(13)得到角度擴展的估計值。

4 仿真分析

定義均方根誤差(root mean square error,RMSE)作為衡量估計精度的指標，RMSE 的計算公式為

式中：P表示蒙特卡洛仿真次數(shù)；表示第p次蒙特卡洛仿真時第k個信源的中心DOA 的估計值；θk表示第k個信源的中心DOA 的理論值。

仿真參數(shù)設(shè)定如下：每一信源的傳播路徑數(shù)為100；快拍數(shù)設(shè)置為500；陣列擺放為均勻陣列；角度擴展大小設(shè)為2°；分布方式采用高斯分布。

仿真1算法性能對比。將所提算法與廣義ESPRIT 算法及DSPE 算法進行性能對比。對比主要針對信噪比、陣元數(shù)對測向誤差的影響。對信噪比(signal to noise ratio，SNR)進行仿真時陣元數(shù)為9 個；對陣元數(shù)進行仿真時信噪比為10 dB；信號的中心DOA 為?10°，多次蒙特卡洛仿真后的結(jié)果如圖1、圖2 所示。

圖2 RMSE 隨陣元數(shù)變化曲線

四階累積量可以使陣列孔徑展寬從而提高測向性能。從圖1 可以看出，本文算法所提精度最高，DSPE 算法次之，廣義ESPRIT 算法最差。廣義ESPRIT 算法采用不同子陣相對應(yīng)的二階累積量信號空間的旋轉(zhuǎn)不變一致性來估計中心DOA，其數(shù)據(jù)維度最少，估計精度易受到相位影響，因此估計精度最差；DSPE 算法利用二階累積量矩陣信號空間與噪聲空間的正交性來估計中心DOA，雖然最后精度受到搜索步進影響，但數(shù)據(jù)維度高于廣義ESPRIT 算法，因此精度較好；相比之下本文算法采用四階累積量矩陣偽信號空間和偽噪聲空間之間的正交性來估計中心DOA，由于四階累積量擴展了虛擬陣元，因此估計精度相比DSPE 算法更好。

圖1 RMSE 隨SNR 變化曲線

從圖2 可以看出本文算法在低陣元數(shù)時測向誤差精度相對較高，陣元數(shù)較多時算法性能和DSPE 算法相近，兩者均優(yōu)于廣義ESPRIT 算法。所提算法由于采用四階累積量擴展了與實際陣元數(shù)相近的虛擬陣元，總陣元數(shù)(虛擬陣元數(shù)+實際陣元數(shù))可以近似為原來的2 倍，因此可以看到所提算法隨陣元數(shù)的增加性能提升并不明顯。而已有的2 種算法由于非相干分布源的信號空間擴展特性使得低陣元數(shù)時性能較差，陣元數(shù)較少時測向性能提升較為明顯，陣元數(shù)較多時與所提算法類似，測向誤差趨于穩(wěn)定。

仿真2驗證最大可識別目標數(shù)。傳統(tǒng)非相干分布式信源測向算法由于信號空間的擴展使得最大可識別目標數(shù)減少，若接收陣列的陣元個數(shù)為M，則傳統(tǒng)基于兩點近似模型的非相干分布式信源測向算法的最大可估計目標數(shù)為M?1/2，其中表示向下取整，若角度擴展較大，接收信號無法適用于兩點近似模型，則此時最大可識別目標數(shù)還會進一步降低。而經(jīng)過高階累積量擴展后，陣元數(shù)可等效為實際陣元與擴展虛擬陣元的和M+(M?1)，最大可識別目標數(shù)為(M+(M?1)?1)/2=M?1。表1 給出了2 種算法的最大可估計目

表1 可估計目標數(shù)對比

下面對陣列擴展的有效性進行仿真，假設(shè)陣列傳感器的個數(shù)為8 個，則由前面推導(dǎo)可以得出傳統(tǒng)算法最大識別目標數(shù)為3 個信源，本文算法的最大識別目標數(shù)為7 個信源。令接收陣列陣元數(shù)為8；空間中存在7 個獨立的信源，信源入射方位角分別為 ?60°、?40°、?20°、0°、20°、40°、60°。

譜峰搜索的結(jié)果如圖3 所示，可以看到譜峰搜索時可以得到清晰的7 個譜峰，仿真結(jié)果表明本文算法可以很好的實現(xiàn)最大可識別信源數(shù)的擴展。

圖3 最大可識別目標數(shù)

仿真 3算法復(fù)雜度。將本文的方法與廣義ESPRIT 和DSPE 算法進行復(fù)雜度的對比，復(fù)雜度的對比標準為復(fù)數(shù)乘法的運算次數(shù)。假設(shè)陣列個數(shù)為M，快拍數(shù)為N，信源數(shù)為K。廣義ESPRIT算法主要的運算在于M階矩陣的協(xié)方差矩陣及特征值分解運算、再加上需要進行搜索函數(shù)的構(gòu)建以及譜峰搜索；DSPE 算法主要運算為M階矩陣的協(xié)方差矩陣及特征值分解運算，再加上需要進行搜索函數(shù)的構(gòu)建以及譜峰搜索；本文算法主要為一個M2×M2階四階累積量矩陣的構(gòu)造，特征值分解及最后的譜峰搜索。各算法復(fù)雜度如表2 所示。表中l(wèi)為廣義ESPRIT 算法譜峰搜索的次數(shù)；l1和l2分別為DSPE 算法中中心DOA 和角度擴展譜峰搜索的次數(shù)。設(shè)定快拍數(shù)為500；方位角搜索范圍為 ?90°～ 90°；角度擴展搜索范圍為?5°～ 5°；搜索步進為 0.1°。此時各算法的復(fù)數(shù)乘法運算復(fù)雜度對比如圖4 所示。結(jié)合表2 和圖4可以看到，本文算法復(fù)雜度最高，DSPE 算法次之，廣義ESPRIT 算法最低。雖然3 種算法都需要通過峰值搜索得到中心DOA 的最優(yōu)估計值，但廣義ESPRIT 算法只需要二階累積量矩陣的計算、特征分解及一維的峰值搜索，因此在相同的搜索步進下復(fù)雜度最低；相比之下DSPE 算法同樣為二階累積量矩陣的計算、特征分解，但需要進行二維的峰值搜索，因此計算復(fù)雜度遠高于廣義ESPRIT；本文算法雖然只需要一維的峰值搜索，但需要四階累積量矩陣的計算、特征分解，同時峰值搜索時噪聲空間的矩陣維度也遠高于二階累積量的噪聲空間，因此計算復(fù)雜度相對較高。

表2 算法復(fù)雜度對比

圖4 算法復(fù)雜度對比

5 結(jié)論

非相干分布式信源的信號空間擴展特性會使陣列的最大可識別目標數(shù)急劇減少。針對上述問題本文利用四階累積量的陣列擴展特性對非相干分布式信源的測向算法進行改進，首先對基于泰勒展開的非相干分布式信源的兩點近似模型對接收信號的四階累計量矩陣處理進行簡化推導(dǎo)，之后根據(jù)簡化后的結(jié)果劃分偽信號空間和偽噪聲空間，最后得到非相干分布式信源模型下的四階累積量譜峰搜索函數(shù)，仿真結(jié)果表明，該方法有效地提升了非相干分布式信源下陣列的最大可識別目標數(shù)。

本文算法由于采用了四階累積量，在陣元數(shù)比較多時計算量的增加尤為明顯。因此，本文算法在陣元數(shù)較少且需要對多目標進行位置估計的情況下優(yōu)勢明顯。