參數(shù)可調(diào)的聯(lián)合子空間目標(biāo)檢測方法 *

高永嬋, 潘麗燕, 王 揚(yáng), 毛琳琳

(1. 西安電子科技大學(xué)， 陜西西安 710071； 2. 北京航天新立科技有限公司， 北京 100089；3. 中國科學(xué)院聲學(xué)研究所， 北京 100089)

0 引言

目標(biāo)檢測是雷達(dá)的基本任務(wù)之一，在過去的幾十年間，自適應(yīng)目標(biāo)檢測引起了學(xué)者的廣泛關(guān)注并得到了深入研究[1-6]。傳統(tǒng)的目標(biāo)檢測器假定目標(biāo)的導(dǎo)向矢量已知，將目標(biāo)建模為來自秩一空間的信號，但是這種信號模型沒有考慮導(dǎo)向矢量失配的情形，即可能出現(xiàn)名義導(dǎo)向矢量與實(shí)際導(dǎo)向矢量不匹配，大大降低了目標(biāo)檢測性能。為了克服導(dǎo)向矢量失配所帶來的影響，一系列的子空間目標(biāo)檢測器[7-13]被陸續(xù)提出，這種子空間目標(biāo)檢測器假定目標(biāo)信號來自一個已知的子空間，但是坐標(biāo)未知，通過將信號建模為多秩子空間信號來設(shè)計(jì)檢測器以實(shí)現(xiàn)導(dǎo)向矢量未知條件下的自適應(yīng)目標(biāo)檢測。文獻(xiàn)[7]基于子空間信號模型提出了針對距離擴(kuò)展目標(biāo)的反對稱檢測器，并通過實(shí)測數(shù)據(jù)驗(yàn)證了其在小訓(xùn)練樣本條件下的優(yōu)越檢測性能。文獻(xiàn)[8]提出了有色高斯噪聲環(huán)境中的子空間目標(biāo)檢測器，該檢測器可以抑制子空間干擾，并且在訓(xùn)練樣本數(shù)受限的條件下仍能保持較優(yōu)的檢測性能。

上述的子空間目標(biāo)檢測器均假定目標(biāo)來自一個低秩多維子空間，然而在實(shí)際的目標(biāo)檢測場景中，回波數(shù)據(jù)往往是通過不同模式之間的切換而生成的多元信號，此時子空間模型并不能對其進(jìn)行較為準(zhǔn)確的描述。文獻(xiàn)[14]提出了一種聯(lián)合子空間模型，這種模型假定目標(biāo)信號來自一個多子空間的聯(lián)合，可以更好地模擬實(shí)際目標(biāo)檢測場景中所接收的多元回波信號。在近幾年中，基于聯(lián)合子空間的目標(biāo)檢測方法得到了廣泛關(guān)注[15-19]，文獻(xiàn)[15]通過結(jié)合最大后驗(yàn)和奈曼-皮爾遜準(zhǔn)則實(shí)現(xiàn)對不同類別的目標(biāo)進(jìn)行預(yù)分類。文獻(xiàn)[16]提出了壓縮感知框架下的信號檢測問題，利用LASSO實(shí)現(xiàn)多元信號檢測，但是該文獻(xiàn)并沒有對各個子空間的幾何關(guān)系進(jìn)行深入分析。文獻(xiàn)[17]深入研究了聯(lián)合子空間模型下的目標(biāo)檢測問題，基于GLRT[20]準(zhǔn)則提出了一種聯(lián)合子空間檢測算法，推導(dǎo)出了子空間分類概率的邊界，并且研究了二元檢驗(yàn)與多元檢驗(yàn)之間的關(guān)系。

注意到，現(xiàn)存的目標(biāo)檢測器也僅有基于GLRT準(zhǔn)則的聯(lián)合子空間檢測器，并且其檢測性能與選擇性均無法調(diào)節(jié)。為此，基于Rao和Wald準(zhǔn)則，我們首先推導(dǎo)了兩種聯(lián)合子空間檢測器[5](UoS-Rao、UoS-Wald)，然后通過引入可調(diào)參數(shù)，提出一種可調(diào)檢測器(UoS-Tunable)，從而實(shí)現(xiàn)對檢測器的檢測性能和選擇性的靈活控制。所提的檢測器能夠有效實(shí)現(xiàn)聯(lián)合子空間目標(biāo)檢測，并且可以通過調(diào)節(jié)參數(shù)來靈活調(diào)節(jié)可調(diào)檢測器的檢測性能、分類性能與選擇性，具體為調(diào)小參數(shù)可以提高檢測器的檢測性能與分類性能，并會提高其對信號失配的魯棒性；調(diào)大參數(shù)則會降低檢測器的檢測性能與分類性能，但會提高其對于信號失配的選擇性。最后，仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提方法的有效性。

1 信號建模

假設(shè)雷達(dá)在一個相參處理時間(CPI)內(nèi)發(fā)射N個脈沖，將雷達(dá)所接收回波中的待測數(shù)據(jù)記為x∈CN，訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)記為xp,p=1,…,N0，其中，xp的均值為零，且其協(xié)方差矩陣為M，N0表示所利用的訓(xùn)練樣本數(shù)。當(dāng)待測數(shù)據(jù)中不存在感興趣的目標(biāo)信號時，可以將待測數(shù)據(jù)表示為x=n，其中n～CN(0,σ2M)為所接收到的噪聲信號，σ2表示功率失配因子；當(dāng)待測數(shù)據(jù)中存在目標(biāo)信號時，可以表示為x=s+n，在本文中，假定所接收的目標(biāo)信號s來自多個子空間的聯(lián)合，利用K0個不同的子空間Sk,k=1,…,K0分別對應(yīng)多元目標(biāo)信號的不同特性。此時，子空間聯(lián)合的目標(biāo)檢測問題可以建模為

(1)

式中，np為待測數(shù)據(jù)周圍距離單元的訓(xùn)練樣本，假設(shè)檢驗(yàn)H0表示待測數(shù)據(jù)中不包含目標(biāo)信號，假設(shè)檢驗(yàn)H1表示待測數(shù)據(jù)中包含來自聯(lián)合子空間的目標(biāo)信號，而假設(shè)檢驗(yàn)Hk不僅表明待測數(shù)據(jù)中存在目標(biāo)信號，還代表該目標(biāo)信號來自聯(lián)合子空間中的第k個子空間。在下文中，將目標(biāo)信號詳細(xì)記作s=Hkαk，其中，Hk∈CN×q表示子空間矩陣，αk∈Cq×1為對應(yīng)的坐標(biāo)，q為多普勒頻率數(shù)。

2 檢測器設(shè)計(jì)

本節(jié)針對檢測模型(式(1))，首先基于Rao和Wald準(zhǔn)則推導(dǎo)出聯(lián)合子空間檢測器(UoS-Rao、UoS-Wald)，然后通過引入可調(diào)參數(shù)，最終設(shè)計(jì)出一個可調(diào)聯(lián)合子空間檢測器(UoS-Tunable)，并推導(dǎo)出其檢測統(tǒng)計(jì)量和分類統(tǒng)計(jì)量的邊界。

Rao檢驗(yàn)一般可以用下式表示[21]：

(2)

(3)

式中，exp(·)表示指數(shù)函數(shù)，(·)H表示共軛轉(zhuǎn)置操作，|·|表示矩陣的行列式。

經(jīng)過推導(dǎo)計(jì)算(略)，可得基于Rao準(zhǔn)則的檢驗(yàn)為

(4)

Wald檢驗(yàn)一般可以用下式表示[22]：

(5)

(HHM-1H)-1HHM-1x

(6)

經(jīng)過推導(dǎo)計(jì)算(略)，可得基于Wald準(zhǔn)則的檢驗(yàn)為

(7)

(8)

(9)

相應(yīng)地，聯(lián)合子空間下的Wald檢驗(yàn)(UoS-Wald)為

(10)

通過比較式(4)和式(10)，我們引入一個可調(diào)參數(shù)γ，設(shè)計(jì)一個可調(diào)聯(lián)合子空間檢測器(UoS-Tunable)，從而實(shí)現(xiàn)聯(lián)合子空間目標(biāo)檢測性能的靈活調(diào)節(jié)，即

(11)

其中，可調(diào)參數(shù)范圍為γ≥0，根據(jù)系統(tǒng)設(shè)計(jì)需要，通過調(diào)節(jié)參數(shù)，參數(shù)可調(diào)檢測器可實(shí)現(xiàn)對信號的靈活檢測。值得指出的是，式(11)可看作聯(lián)合子空間檢測器族，而非單一的檢測器。當(dāng)可調(diào)參數(shù)γ=0時，可調(diào)檢測器退化為UoS-Rao檢測器；當(dāng)可調(diào)參數(shù)γ=1時，可調(diào)檢測器退化為UoS-Wald檢測器。

在檢測到目標(biāo)存在的基礎(chǔ)上，還需要將目標(biāo)正確歸類至相應(yīng)的子空間，此時就需要求得所提檢測器的分類統(tǒng)計(jì)量。分類階段可以概括為：首先檢測到待測數(shù)據(jù)中存在目標(biāo)信號，然后對待測數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，將目標(biāo)信號分類至檢測統(tǒng)計(jì)量最大值所在的子空間。因此，可調(diào)聯(lián)合子空間檢測器的分類概率下邊界可表示為

(K0-1)}

(12)

3 仿真分析

本節(jié)采用蒙特卡洛仿真實(shí)驗(yàn)評估所提可調(diào)檢測器的檢測性能、分類性能，以及其在分類階段的選擇性。首先分別考察檢測器在不同虛警概率下和不同信噪比下的檢測概率和分類概率，然后改變名義導(dǎo)向矢量與實(shí)際導(dǎo)向矢量的失配程度，考察檢測器的分類概率對不同失配條件的敏感性，用以反映檢測器的選擇性能。在蒙特卡洛仿真實(shí)驗(yàn)中，若無特別說明，仿真參數(shù)設(shè)置為：脈沖數(shù)m=4，訓(xùn)練樣本數(shù)N0=200，信噪比SNR=10 dB，一階遲滯系數(shù)ρ=0.9。

圖1給出了不同可調(diào)參數(shù)下可調(diào)檢測器與Rao和Wald檢測器的檢測概率與虛警概率的關(guān)系曲線。從圖中可以看出，隨著虛警概率的增加，檢測閾值下降，檢測器的檢測概率均有一定程度的提高，且Rao檢測器的檢測概率高于Wald檢測器。調(diào)節(jié)可調(diào)檢測器的參數(shù)，當(dāng)參數(shù)γ為0時，可調(diào)檢測器具有與Rao檢測器相同的檢測概率；當(dāng)參數(shù)γ為1時，可調(diào)檢測器具有與Wald檢測器相同的檢測概率；當(dāng)參數(shù)在0至1之間改變時，可調(diào)檢測器的檢測性能在Rao和Wald檢測器之間變化，其中大參數(shù)對應(yīng)低檢測性能，小參數(shù)對應(yīng)高檢測性能。

(a) γ=0

(b) γ=1

(c) γ=0.3

(d) γ=0.5

(e) γ=0.7圖1 可調(diào)檢測器在不同參數(shù)下的檢測概率與虛警概率的關(guān)系曲線

圖2給出了可調(diào)檢測器與Rao和Wald檢測器的檢測概率與信噪比的曲線。從圖中可以看出，隨著信噪比的提高，所對比的檢測器的檢測性能都得到提升，且Rao檢測器的檢測性能優(yōu)于Wald檢測器。在可調(diào)檢測器的參數(shù)變化時，得到的結(jié)論與圖1相近，即通過調(diào)節(jié)可調(diào)檢測器的參數(shù)可以實(shí)現(xiàn)Rao和Wald的檢測概率之間的轉(zhuǎn)換，其中，參數(shù)越小，其檢測性能越低，參數(shù)越大，檢測性能越高。

(a) γ=0

(b) γ=1

(c) γ=0.3

(d) γ=0.5

(e) γ=0.7圖2 可調(diào)檢測器在不同參數(shù)下的檢測概率與信噪比的關(guān)系曲線

(a) γ=0

(b) γ=1

(c) γ=0.3

(d) γ=0.5

(e) γ=0.7圖3 可調(diào)檢測器在不同參數(shù)下的分類概率與虛警概率的關(guān)系曲線

(a) γ=0

(b) γ=1

(c) γ=0.3

(d) γ=0.5

(e) γ=0.7圖4 可調(diào)檢測器在不同參數(shù)下的分類概率與信噪比的關(guān)系曲線

圖3與圖4給出了檢測器的分類性能，其中圖3為檢測器的分類概率與虛警概率的關(guān)系曲線，圖4為檢測器的分類概率與信噪比的關(guān)系曲線，從圖中可以看出，Rao檢測器的分類概率高于Wald檢測器，并且得到與圖1、圖2相近的結(jié)論，即可調(diào)檢測器可以通過改變參數(shù)實(shí)現(xiàn)Rao和Wald檢測器之間的分類性能轉(zhuǎn)換，其中，大參數(shù)對應(yīng)低分類性能，小參數(shù)對應(yīng)高分類性能。

(a) Rao

(b) Wald

(c) 可調(diào)檢測器γ=0.5圖5 分類概率等高線圖

圖5給出了Rao、Wald與可調(diào)參數(shù)γ=0.5時的可調(diào)檢測器的分類概率的等高線圖。從圖中可以看出，在相同的信噪比下，Rao檢測器的檢測概率高于Wald檢測器，但是Wald檢測器具有更好的選擇性，即Wald檢測器的檢測概率對失配程度cos2θ更加敏感。此外，可調(diào)檢測器則可以通過調(diào)節(jié)參數(shù)來改變檢測器的選擇性，如圖5(c)給出了參數(shù)γ=0.5時的可調(diào)檢測器的分類概率等高線圖，可以看出此時可調(diào)檢測器的選擇性位于Rao和Wald檢測器之間，其選擇性的改變在圖6中得到更清晰的展示。

(a) γ=0

(b) γ=1

(c) γ=0.3

(d) γ=0.5

(e) γ=0.7圖6 可調(diào)檢測器在不同參數(shù)下的分類概率與失配程度的關(guān)系曲線

圖6給出了在信噪比固定的情況下，檢測器的分類概率與失配程度的關(guān)系曲線。從圖中可以更直觀地看出，Rao檢測器的分類概率高于Wald檢測器，但是其選擇性不如Wald檢測器，而可調(diào)檢測器通過調(diào)節(jié)參數(shù)，可以實(shí)現(xiàn)選擇性的靈活改變，其中大參數(shù)對應(yīng)更優(yōu)的選擇性，小參數(shù)對應(yīng)更優(yōu)的魯棒性。

4 結(jié)束語

針對聯(lián)合子空間信號檢測問題，本文分別基于Rao和Wald檢驗(yàn)準(zhǔn)則推導(dǎo)了UoS-Rao和UoS-Wald檢測器，通過引入可調(diào)參數(shù)，設(shè)計(jì)出一個可調(diào)聯(lián)合子空間檢測器(UoS-Tunable)，并分別推導(dǎo)出其檢測統(tǒng)計(jì)量和分類統(tǒng)計(jì)量的邊界。所提檢測器能夠有效實(shí)現(xiàn)聯(lián)合子空間目標(biāo)檢測，并且所提可調(diào)聯(lián)合子空間檢測器可以通過改變參數(shù)來靈活調(diào)節(jié)檢測器的檢測性能、分類性能與選擇性，具體為當(dāng)可調(diào)參數(shù)較小時，可以提高檢測器的檢測性能與分類性能，并會提高其對信號失配的魯棒性；當(dāng)可調(diào)參數(shù)較大時，則會降低檢測器的檢測性能與分類性能，但會提高其對于信號失配的選擇性。最后，仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提方法的有效性。