基于可觀性分析的高精度空間目標(biāo)跟蹤方法 *

周 琳， 刁偉峰， 王 祎

(南京電子技術(shù)研究所， 江蘇南京 210039)

0 引言

隨著各國航天技術(shù)迅速發(fā)展，地球周圍空間產(chǎn)生了包括航天器、火箭末級和空間碎片等在內(nèi)的大量人造物體，對空間目標(biāo)態(tài)勢的感知和掌握，是人類不斷開拓視野、不斷進(jìn)步的過程[1-2]?？臻g態(tài)勢感知包括對空間目標(biāo)的探測、跟蹤、識別，對空間事件的評估和預(yù)報等[3],空間態(tài)勢感知是人類開展航天活動的基礎(chǔ)?？臻g態(tài)勢感知按照信息源的部署位置劃分，主要分為地基和天基兩類，與地基相比，天基不會受到天氣、環(huán)境和地緣條件的限制，可長時間對空間目標(biāo)進(jìn)行觀測。同時，諸多實踐證明，天基觀測平臺對于監(jiān)視空間目標(biāo)很有優(yōu)勢，能夠很好地彌補地基觀測設(shè)備的不足[4]。因此，天基態(tài)勢感知受到了廣泛關(guān)注。

空間目標(biāo)跟蹤是天基空間態(tài)勢感知的關(guān)鍵技術(shù)之一。目前，空間目標(biāo)跟蹤主要分為測距跟蹤和測角跟蹤[3]。測距跟蹤主要是采用有源、主動式的工作方式，利用微波雷達(dá)、激光雷達(dá)等傳感器獲取到的目標(biāo)測距信息進(jìn)行跟蹤定軌。測距跟蹤具有較高的跟蹤精度，但傳感器功耗較大，且有源主動工作方式使其隱蔽性較差。測角跟蹤是空間目標(biāo)中更常見的跟蹤方式，利用光電傳感器獲取到的測角信息進(jìn)行定軌，采用無源、被動式的工作方式。此外，為了進(jìn)一步提升空間目標(biāo)跟蹤性能，獲取更加精確的狀態(tài)估計結(jié)果，可以使用多顆觀測衛(wèi)星對同一個目標(biāo)進(jìn)行跟蹤[5],并使用非線性的濾波算法[6]，進(jìn)一步提升空間目標(biāo)跟蹤能力。

空間目標(biāo)跟蹤系統(tǒng)的可觀測性是能通過濾波估計獲得較好跟蹤精度的先決條件。因此，研究跟蹤系統(tǒng)可觀測性有助于選擇相應(yīng)的策略提升系統(tǒng)的可觀測性，進(jìn)一步改善系統(tǒng)的跟蹤性能。本文針對傳統(tǒng)空間目標(biāo)跟蹤精度不高的問題，提出一種基于可觀測性分析的高精度空間目標(biāo)跟蹤方法。首先，基于Fisher信息矩陣法定義了一種新型可觀性指標(biāo)，并以空間目標(biāo)跟蹤為背景，針對采用天基雷達(dá)，天基紅外或地基雷達(dá)所得到的不同量測模型系統(tǒng)分別給出了可觀性指標(biāo)值，并選出一種可觀性指標(biāo)值最大的空間目標(biāo)量測模型。接著，基于無跡卡爾曼濾波和選擇的量測模型，實現(xiàn)空間目標(biāo)跟蹤。本文基于可觀性指標(biāo)篩選出觀測值較高的空間目標(biāo)跟蹤測量方案，進(jìn)而提高空間目標(biāo)跟蹤精度。

1 空間目標(biāo)動力學(xué)模型與測量模型

本文采用地心固連坐標(biāo)系OXYZ，大地坐標(biāo)系和傳感器本體坐標(biāo)系，分別如下所示。

1) 地心固連坐標(biāo)系OXYZ坐標(biāo)原點O位于地心，OX軸為格林尼治子午線與赤道面正向交線的方向，OZ軸垂直于赤道面并指向地球的北極，OY軸由OZ軸與OX軸根據(jù)右手螺旋定律確定。

2) 大地坐標(biāo)系包括大地緯度Be、經(jīng)度Le以及高度He。大地緯度Be為赤道平面與地球橢球面法線的夾角，向北為正，大地經(jīng)度Le為在赤道面內(nèi)從格林尼治向東度量的角度，大地高度He為從地球橢球表面量起的法向距離。

3) 傳感器本體坐標(biāo)系OSXSYSZS的坐標(biāo)原點OS為傳感器的中心位置，OSXS軸為地心O與傳感器的中心OS連線的延長線，OSZS軸為在OSXS軸與地球自轉(zhuǎn)軸組成的平面內(nèi)并垂直于OSXS軸，OSYS由OSZS軸與OSXS軸根據(jù)右手螺旋定律確定。

在OXYZ坐標(biāo)系下，假設(shè)空間目標(biāo)的位置r和速度v分別為

(1)

式中：x，y，z表示在OXYZ坐標(biāo)系3個方向的位置；vx，vy，vz表示在OXYZ坐標(biāo)系3個方向的速度矢量。

根據(jù)文獻(xiàn)[7]，可得在OXYZ坐標(biāo)系下，考慮J2項攝動的影響，空間目標(biāo)的軌道動力學(xué)方程為

(2)

(3)

式中：μe為地球引力常數(shù)，且μe=3.986 006 4×1014m3/s2；ωe為非慣性坐標(biāo)系的角速度，根據(jù)文獻(xiàn)[7]中的WGS-84模型，ωe=7.292 115×10-5rad/s；J2為參考地球模型的J2項攝動常數(shù)，且J2=1.082 626 836×10-3；r為空間目標(biāo)到地心的距離；Re為地球赤道半徑且Re=6.378 14×106m；ce為

(4)

選取狀態(tài)變量X=[rT,vT]T，且假設(shè)太陽光壓力攝動等未建模攝動的影響為零均值高斯白噪聲，根據(jù)式(2)和式(3)，得到空間目標(biāo)的連續(xù)狀態(tài)方程為

(5)

式中：w為未建模系統(tǒng)誤差，是零均值高斯白噪聲，且E(wwT)=Q。

根據(jù)式(5)，空間目標(biāo)的連續(xù)狀態(tài)方程在變量Xk-1處采用四階Runge Kutta方法展開，得到如下空間目標(biāo)的非線性離散狀態(tài)方程：

Xk=f(Xk-1)+wk-1

(6)

假設(shè)衛(wèi)星i(i=1, 2) 在OXYZ坐標(biāo)系下的位置矢量為ri(i=1, 2)，衛(wèi)星的緯度和經(jīng)度分別為φ和θ，則空間目標(biāo)在OSXSYSZS坐標(biāo)系下的位置矢量rSi為

rSi=MOXYZ→OSXSYSZS(ri-rS) (i=1, 2)

(7)

式中，MOXYZ→OSXSYSZS為OXYZ坐標(biāo)系到OSXSYSZS坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)移矩陣，且

(8)

圖1表示傳感器本體坐標(biāo)系。如圖 1所示，rSi=(xSi,ySi,zSi)表示空間目標(biāo)在OSXSYSZS坐標(biāo)系下的位置矢量，α和β分別為方位角和俯仰角，且

(9)

圖1 傳感器本體坐標(biāo)系

本文是基于天基雷達(dá)傳感器，在雙星觀測情況下，采用測角測量和測距測量，根據(jù)式(9)，考慮到測角誤差和測距誤差，測量方程為

Z=g(X)+v=

[α1,β1,rS1,α2,β2,rS2]T+v

(10)

式中：rSi(i=1,2)表示位置矢量rSi(i=1,2)的模；v為測量誤差，是零均值高斯白噪聲，且E(vvT)=R；Z為某一時刻空間目標(biāo)在兩顆衛(wèi)星的傳感器本體坐標(biāo)系下測角和測距的測量值。

根據(jù)式(10)，得到非線性離散觀測狀態(tài)方程：

Zk=g(Xk)+vk

(11)

2 無跡卡爾曼濾波

根據(jù)式(6)與式(11)，可得空間目標(biāo)的雙星天基雷達(dá)測量的離散化數(shù)學(xué)模型為

(12)

由于當(dāng)系統(tǒng)非線性程度較高時，傳統(tǒng)卡爾曼濾波及其改進(jìn)型擴展卡爾曼濾波算法精度會降低甚至?xí)l(fā)濾波發(fā)散。因此本文采用Julier和Uhlman[8]提出的無跡卡爾曼濾波方法。相比傳統(tǒng)卡爾曼濾波及其改進(jìn)型[9]，UKF法不需要解析求解雅克比矩陣，且易工程實現(xiàn)。而且，由于UKF法采用確定性采樣的方法，其在處理非線性估計時具有較高精度[10]。

無跡卡爾曼濾波過程如下：

1) 初始條件設(shè)置

(13)

(14)

2) 采樣點確定

(16)

3) 計算時間更新

(17)

(18)

(19)

4) 計算觀測更新

(20)

(21)

(22)

(23)

5) 計算濾波增益和濾波更新

(24)

(25)

(26)

上述為UKF濾波算法的詳細(xì)步驟，該算法針對非線性高斯系統(tǒng)，采用無跡變換對稱采樣的方式得到的狀態(tài)估計值能夠精確到Tayor展開級數(shù)3階[11]。針對任意非線性系統(tǒng)，狀態(tài)估計值逼近精度到Tayor展開級數(shù)2階[11]。本文測量方程的非線性程度較高，因此采用UKF算法進(jìn)行空間目標(biāo)的狀態(tài)估計。

3 Fisher信息矩陣法

空間目標(biāo)跟蹤系統(tǒng)可觀性是能通過濾波估計獲得較好的跟蹤精度的先決條件。因此，研究跟蹤系統(tǒng)可觀性有助于選擇相應(yīng)的策略提升系統(tǒng)的可觀性，進(jìn)一步改善系統(tǒng)導(dǎo)航性能。非線性系統(tǒng)可觀性計算矩陣判斷方法比線性系統(tǒng)更為復(fù)雜，本文通過線性化假設(shè)近似計算非線性系統(tǒng)可觀性矩陣的Fisher信息矩陣法[12]。

首先對系統(tǒng)狀態(tài)方程(6)和觀測方程(11)進(jìn)行線性化，得到線性化的系統(tǒng)模型：

(27)

式中，Φk和Hk分別表示狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和觀測轉(zhuǎn)移矩陣，且

(28)

(29)

線性化后的信息的遞推更新過程為

(30)

由于Fisher信息矩陣的逆代表著無偏估計的所能達(dá)到的誤差下線，因此可以利用該矩陣來衡量跟蹤系統(tǒng)的狀態(tài)估計性能。通常，可以使用Fisher信息矩陣的行列式或跡來度量系統(tǒng)可觀性，行列式或跡的值越大，空間目標(biāo)跟蹤系統(tǒng)可觀性更好。本文基于Fisher信息矩陣的跡，定義Ω表示可觀測性因子，選取所有離散時刻中Fisher信息矩陣的跡的最大值來定義可觀測性因子Ω的值，并利用該參數(shù)描述空間目標(biāo)跟蹤系統(tǒng)的可觀測性，且

Ω=logζ1{max[det(F)]-ζ2}

(31)

式中,det(F) 表示Fisher信息矩陣的行列式，ζ1，ζ2表示可觀測性因子參數(shù)，且ζ1=10，ζ2=9.996 999 71×1047。

4 仿真與分析

對近地軌道飛行衛(wèi)星編隊進(jìn)行仿真，考慮到地球J2項攝動的影響，以地球WGS-84模型為參考對象，采用如式(6)所示的動力學(xué)模型，比較三種不同的測量模型：①雙星均攜帶天基紅外傳感器；②一星攜帶天基雷達(dá)傳感器一星攜帶天基紅外傳感器；③雙星均攜帶天基雷達(dá)傳感器?；陔p星編隊對空間目標(biāo)的跟蹤數(shù)據(jù)，采用UKF算法實現(xiàn)空間目標(biāo)在OXYZ坐標(biāo)中精確定位。本文所采用的參考衛(wèi)星，伴隨衛(wèi)星和空間目標(biāo)的初始狀態(tài)矢量如表 1所示。

表1 初始狀態(tài)矢量

本文初始狀態(tài)估計誤差ΔX，初始協(xié)方差矩陣P0，初始Fisher信息矩陣F0和系統(tǒng)狀態(tài)方程噪聲協(xié)方差矩陣Q如下所示：

(32)

(33)

F0=inv(P0)=

(34)

(35)

測量模型1為雙星均攜帶天基紅外傳感器，則測量模型1為

Z1=g1(X)+v1=[α1,β1,α2,β2]T+v1

(36)

測量模型1的測量方程噪聲協(xié)方差矩陣R1為

(37)

測量模型2為一星攜帶天基雷達(dá)傳感器一星攜帶天基紅外傳感器，則測量模型2為

Z2=g2(X)+v2=

[α1,β1,α2,β2,rS2]T+v2

(38)

測量模型2的測量方程噪聲協(xié)方差矩陣R2為

(39)

測量模型3為雙星均攜帶天基雷達(dá)傳感器，測量模型3如式(10)所示。測量模型3的測量方程噪聲協(xié)方差矩陣R為

(40)

基于上述參數(shù)和式(31)，得出三種不同的測量模型情況下可觀測性因子值如表2所示。測量模型3的可觀測性因子值最高，測量模型1的可觀測性因子值最低。因此雙星編隊上攜帶天基雷達(dá)傳感器時，可觀測性因子值最好，此時該空間目標(biāo)跟蹤系統(tǒng)的跟蹤性能最好。圖2表示三種不同的測量模型情況下空間目標(biāo)跟蹤精度。在圖2中，橫坐標(biāo)為時間，縱坐標(biāo)為位置估計標(biāo)準(zhǔn)差以10為底的對數(shù)。如圖2所示，測量模型3的空間目標(biāo)跟蹤精度最高，測量模型1的空間目標(biāo)跟蹤精度最低，因此，雙星編隊上攜帶天基雷達(dá)傳感器時，空間目標(biāo)跟蹤精度最高，與采用可觀測性因子的分析結(jié)果一致，驗證了可觀測性因子的有效性。

表2 三種不同的測量模型情況下可觀測性因子值

圖2 三種不同的測量模型情況下空間目標(biāo)跟蹤精度

5 結(jié)束語

針對傳統(tǒng)空間目標(biāo)跟蹤精度不高的問題，提出一種可觀測性分析的高精度空間目標(biāo)跟蹤方法。首先，基于Fisher信息矩陣法定義了一種新型可觀性指標(biāo)，并以空間目標(biāo)跟蹤為背景，針對采用天基雷達(dá)，天基紅外或地基雷達(dá)所得到的不同量測模型系統(tǒng)分別給出了可觀性指標(biāo)值，并選出一種可觀性指標(biāo)值最大的空間目標(biāo)量測模型。接著，基于無跡卡爾曼濾波和選擇的量測模型，實現(xiàn)高精度的空間目標(biāo)跟蹤。相對于僅天基紅外，天基紅外與天基雷達(dá)相結(jié)合兩種方案，僅天基雷達(dá)的空間目標(biāo)跟蹤測量方案具有較大的可觀測性指標(biāo)值，進(jìn)而具有較高目標(biāo)跟蹤精度。最后，數(shù)值仿真驗證了該方法的有效性。