插值法與擬合法在傳染病問題中的應(yīng)用

楊瑩 閆澤飛 華瑛

DOI：10.16661/j.cnki.1672-3791.2107-5042-7919

摘? 要：該文是針對插值法與擬合法在傳染病問題上的應(yīng)用分析。搜集連續(xù)60天的患病人數(shù)作為處理數(shù)據(jù)，通過使用插值法和擬合法進(jìn)行模擬，求得累計(jì)患病人數(shù)與時間的關(guān)系。結(jié)果表明：（1）在精度上拉格朗日插值法與牛頓插值法的誤差相似。但是對于一些結(jié)構(gòu)復(fù)雜的函數(shù)，牛頓插值法的優(yōu)勢比起拉格朗日插值法更加明顯。（2）使用數(shù)據(jù)擬合法進(jìn)行傳染病問題的應(yīng)用分析，相較于插值法處理能得到更加精準(zhǔn)的結(jié)果。

關(guān)鍵詞：拉格朗日插值法? ?牛頓插值法? ?差商? ?數(shù)據(jù)擬合法? ?最小二乘法

中圖分類號：O314? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1672-3791（2021）08（a）-0183-04

Application of Interpolation Method and Fitting Method in Infectious Disease

YANG Ying? YAN Zefei? HUA Ying*

（College of Information Engineering， Xi'an University， Xi'an， Shaanxi Province， 710065 China）

Abstract： This paper analyzes the application of interpolation method and fitting method in the problem of infectious diseases. The number of patients in 60 consecutive days was collected as the processing data， and the relationship between the cumulative number of patients and time was obtained by using interpolation method and fitting method for simulation. The results show that： （1） The errors of Lagrange interpolation method and Newton interpolation method are similar in accuracy. However， for some functions with complex structure， the advantages of Newton interpolation method are more obvious than Lagrange interpolation method. （2） The application analysis of infectious disease problems using data fitting method can get more accurate results than interpolation method.

Key Words： Lagrange interpolation method; Newton interpolation method; Difference quotient; Data fitting method; Least square method

病毒威脅著人類的健康，所以能夠準(zhǔn)確地模擬和預(yù)測其傳播情況尤為重要?；诖耍覀冞\(yùn)用插值法和擬合法分別對病毒的傳播情況進(jìn)行模擬求解，計(jì)算與實(shí)際結(jié)果之間的誤差，并對誤差產(chǎn)生的原因進(jìn)行分析。

1? 數(shù)據(jù)選取與研究方法

1.1 數(shù)據(jù)選取

依據(jù)某傳染病發(fā)展的情況[1]，選取連續(xù)60天（2020年1月30日至3月20日）的累計(jì)患病人數(shù)作為處理數(shù)據(jù)分別進(jìn)行預(yù)測。

1.2 研究方法

1.2.1 插值法

（1）拉格朗日插值法。拉格朗日插值法[2]通過構(gòu)造插值基函數(shù)求解多項(xiàng)式插值函數(shù)?；诖藰?gòu)造插值多項(xiàng)式：

（2）牛頓插值法。牛頓插值[3]引入了差商的概念，其插值多項(xiàng)式具有承襲性，函數(shù)在點(diǎn)t0，t1，...，tk處的k階差商：

依據(jù)差商構(gòu)造差商表，進(jìn)而表示牛頓插值多項(xiàng)式中的系數(shù)：

于是，可得到滿足插值條件的n次牛頓插值多項(xiàng)式：

1.2.2 數(shù)據(jù)擬合法

如果涉及到較多數(shù)據(jù)，使用插值法計(jì)算的誤差較大，因此使用數(shù)據(jù)擬合法[4]求解，依據(jù)曲線的函數(shù)關(guān)系式式，它在處誤差為：

基于最小二乘原理，將總誤差的平方和最小化，使其逼近或擬合已知數(shù)據(jù)，即：

2? 結(jié)果分析

2.1 插值法

2.1.1 拉格朗日插值法

根據(jù)數(shù)值表使用一次插值法和二次插值法分別求得t=45處的累計(jì)確診人數(shù)如表1所示，可以得出：二次插值法比一次插值法求得的值更準(zhǔn)確，誤差更小。該文猜想是否插值的次數(shù)越高，誤差越小。

為驗(yàn)證猜想，進(jìn)行高次插值[5]，進(jìn)而得到累計(jì)患病人數(shù)與時間的變化的函數(shù)圖像，再將不同次數(shù)預(yù)測結(jié)果的誤差用圖像描述，見圖1、圖2。通過圖1可以看出：插值次數(shù)越高，預(yù)測值與實(shí)際值的誤差越小，因此，該文猜測是正確的。

通過圖2可以得出以下結(jié)論：

（1）隨著插值多項(xiàng)式次數(shù)的升高，預(yù)測的結(jié)果與實(shí)際值相比誤差逐漸越小。

（2）傳染病擴(kuò)散前期和后期誤差比中間要大，出現(xiàn)該現(xiàn)象的原因與病毒的潛伏期有關(guān)。

2.1.2 牛頓插值法

為對預(yù)測結(jié)果的誤差有一個準(zhǔn)確的評價，使用牛頓插值法進(jìn)行求解，繪出預(yù)測值與真實(shí)值對比圖像見圖3、圖4所示。

通過誤差分析圖可以得出以下結(jié)論：

（1）隨著插值多項(xiàng)式次數(shù)的升高，預(yù)測的結(jié)果與實(shí)際值相比誤差逐漸減小。

（2）使用三次、四次、五次插值法求得的結(jié)果在傳染病擴(kuò)散后期誤差均比前期要大得多，而使用六次插值該處的誤差大的現(xiàn)象得到了改善。

2.2 擬合法

在插值法的討論過程中，使用拉格朗日插值法計(jì)算，會導(dǎo)致病毒擴(kuò)散前期存在較大的誤差;使用牛頓插值法計(jì)算，則會導(dǎo)致病毒擴(kuò)散后期出現(xiàn)較大的誤差。雖然隨著插值次數(shù)的升高，所求的累計(jì)患病人數(shù)與實(shí)際值誤差越小，但是依然存在缺陷。在此基礎(chǔ)下，使用數(shù)據(jù)擬合法[6]分別對傳染病擴(kuò)散期間累計(jì)確診人數(shù)進(jìn)行擬合求解，圖5為擬合結(jié)果。

通過圖像可以得出以下結(jié)論：

（1）隨著階數(shù)的增高，誤差逐漸減小，這一結(jié)論與插值法所求得的結(jié)論基本一致。

（2）擬合法求出的擬合值與真實(shí)值更加地接近，求得的結(jié)果相較于插值法更準(zhǔn)確，誤差也明顯地減少。

3? 結(jié)語

在對傳染病問題的應(yīng)用分析中，使用插值法進(jìn)行求解，低次插值會導(dǎo)致誤差較大，如果要使結(jié)果更加準(zhǔn)確，就需要進(jìn)行高次插值求解，這就使得計(jì)算量大大增加，缺乏實(shí)用價值。而使用數(shù)據(jù)擬合法，可以避免這個問題，使得數(shù)據(jù)點(diǎn)在所擬合的曲線附近分布，該曲線能夠更加準(zhǔn)確地反映累計(jì)確診人數(shù)的總體變化趨勢。因此，在科研和生產(chǎn)實(shí)踐中，采用數(shù)據(jù)擬合法對已知點(diǎn)進(jìn)行擬合，是一種更加實(shí)用的方法。

參考文獻(xiàn)

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[5] 王玉春，王昆，陽海鵬，等.幾種插值和擬合算法在潮汐插值上的應(yīng)用分析[J].科技創(chuàng)新導(dǎo)報，2018，15（8）：114-115.

[6] 楊波，于振華，蔡遠(yuǎn)利.COVID-19傳播與控制數(shù)學(xué)建模研究[J/OL].西安交通大學(xué)學(xué)報：1-10[2021-07-20].http：//kns.cnki.net/kcms/detail/61.1069.t.20210716.1127.008.html.