大型圓柱殼體裝配平臺測量系統(tǒng)的誤差標(biāo)定方法

黃維邵，吳金波

(華中科技大學(xué)船舶與海洋工程學(xué)院，湖北 武漢 430074)

0 引言

大尺寸精密測量技術(shù)已在船舶、航空和高鐵等眾多工業(yè)領(lǐng)域發(fā)揮著重要的作用[1]。大型圓柱殼體尺寸龐大、結(jié)構(gòu)外形復(fù)雜，在其裝配過程中需要通過大尺寸測量系統(tǒng)對殼體任意位置的內(nèi)徑尺寸、板厚、焊縫間隙和板壁差值等數(shù)據(jù)進(jìn)行在線測量，以保證裝配的精度。當(dāng)前，龍門式測量機(jī)和全站儀都是常用于大型殼體測量的設(shè)備[2]。而對于本文研究的裝配平臺，需實(shí)時調(diào)整圓柱殼體形狀，龍門式測量機(jī)由于其自身尺寸結(jié)構(gòu)以及平臺裝配環(huán)境限制，無法滿足在裝配過程中對殼體尺寸在線測量的需求；而全站儀僅能實(shí)現(xiàn)單點(diǎn)測量，無法滿足裝配過程中對殼體焊縫間隙進(jìn)行掃描測量的需求，效率較低。

為滿足大型圓柱殼體裝配平臺在裝配過程中對殼體尺寸數(shù)據(jù)進(jìn)行在線測量的需求，提高測量的效率和精度，本文設(shè)計(jì)了一種適用于該平臺的測量系統(tǒng)。

同時，為了獲取準(zhǔn)確的殼體內(nèi)徑、板厚、焊縫間隙和板壁差值等尺寸數(shù)據(jù)，測量系統(tǒng)需滿足以下要求：首先，測量機(jī)構(gòu)末端傳感器的激光發(fā)射點(diǎn)在其基坐標(biāo)系下的空間位置精度需滿足測量需求；其次，測量前需獲得大型圓柱殼體實(shí)際圓心和測量系統(tǒng)基坐標(biāo)系原點(diǎn)間的圓心位置誤差。針對第1個要求，本文對測量機(jī)構(gòu)展開了誤差標(biāo)定工作：

a.由于硬件加工和安裝誤差，測量機(jī)構(gòu)運(yùn)行過程中的幾何參數(shù)往往和理論值有偏差，稱為幾何參數(shù)誤差。

b.為適應(yīng)裝配平臺的測量需求，設(shè)計(jì)的測量機(jī)構(gòu)的尺寸較大，故機(jī)械臂在沿立柱軸向平移以及自身伸縮運(yùn)動過程中,因自重引起的機(jī)構(gòu)柔性變形誤差也不可忽略。

依據(jù)上述2點(diǎn)，本文建立了測量機(jī)構(gòu)的誤差標(biāo)定模型，通過激光跟蹤儀測量出機(jī)械臂末端的實(shí)際位置，辨識和計(jì)算出誤差參數(shù)，并對誤差進(jìn)行補(bǔ)償，最終提高了測量機(jī)構(gòu)末端測量點(diǎn)的定位精度。

1 大型圓柱殼體裝配平臺及測量系統(tǒng)

隨著信息技術(shù)的不斷發(fā)展，工業(yè)生產(chǎn)制造開始向自動化智能化的方向發(fā)展[3]。圓柱類大型殼體的裝配一直是工業(yè)生產(chǎn)制造過程的難點(diǎn)，其對接質(zhì)量和效率直接影響到整體生產(chǎn)成本和周期[4]。因此，對圓柱殼體的裝配進(jìn)行研究，將信息化和自動化制造模式引入其生產(chǎn)制造中，提高制造的精度和效率，已成為行業(yè)的發(fā)展趨勢。

本文所研究的大型圓柱殼體裝配平臺如圖1所示。通過自動化調(diào)整系統(tǒng)在殼體拼裝階段根據(jù)測量機(jī)構(gòu)反饋的數(shù)據(jù)可實(shí)現(xiàn)殼體尺寸的周向調(diào)整、頂推調(diào)整和徑向調(diào)整，實(shí)現(xiàn)對殼體圓度、垂直度以及殼體間對接縱縫的調(diào)節(jié)。

圖1 裝配平臺 圖2 測量系統(tǒng)

測量系統(tǒng)工作時，通過圖2中的升降電機(jī)驅(qū)動絲桿，控制機(jī)械臂的升降運(yùn)動，完成殼體高度方向上的掃描測量。圖3中旋轉(zhuǎn)電機(jī)驅(qū)動齒輪組控制機(jī)械臂在水平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，完成殼體的環(huán)向掃描。測量機(jī)構(gòu)的伸縮機(jī)械臂由固定的基礎(chǔ)導(dǎo)軌和可移動的一級導(dǎo)軌、二級導(dǎo)軌組成，如圖4所示。機(jī)械臂伸出時，電機(jī)驅(qū)動絲桿推動一級導(dǎo)軌向外滑動，使1號滑輪和1號同步帶動作，拉動二級導(dǎo)軌同步伸出；反之，機(jī)械臂縮回時，絲桿帶動一級導(dǎo)軌縮回，2號滑輪和2號同步帶動作，拉動二級導(dǎo)軌同步縮回。因此，測量機(jī)構(gòu)可被認(rèn)為是具有旋轉(zhuǎn)、升降和伸縮功能的三自由度機(jī)器人。測量機(jī)構(gòu)的旋轉(zhuǎn)角度通過安裝在大齒輪上的編碼器測得；升降高度由伺服電機(jī)編碼器得到；而機(jī)械臂的伸長量則通過安裝在導(dǎo)軌上的磁柵尺測得。測量機(jī)構(gòu)末端測量點(diǎn)的位置為點(diǎn)激光位移傳感器激光發(fā)射點(diǎn)的位置。

圖3 旋轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)

圖4 伸縮機(jī)械臂側(cè)視圖

2 誤差標(biāo)定

2.1 運(yùn)動學(xué)建模

機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)誤差標(biāo)定分為建模、誤差測量、參數(shù)辨識和誤差補(bǔ)償4個步驟[5]。

首先建立測量機(jī)構(gòu)的名義運(yùn)動學(xué)模型，如圖5所示。

圖5 D-H坐標(biāo)系

本文以測量機(jī)構(gòu)底座絲桿中心為原點(diǎn)建立基座參考坐標(biāo)系{O0x0y0z0}，以旋轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)中心為原點(diǎn)建立升降機(jī)構(gòu)和旋轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)的坐標(biāo)系{O1x1y1z1}和{O2x2y2z2}，以伸縮機(jī)械臂末端點(diǎn)激光位移傳感器的激光發(fā)射點(diǎn)為原點(diǎn)建立機(jī)構(gòu)末端坐標(biāo)系{O3x3y3z3}。由圖5可知，θ2為x1軸到x2軸繞z1軸旋轉(zhuǎn)的角度，逆時針轉(zhuǎn)動為正，故本文中旋轉(zhuǎn)角度θ2為負(fù)值。旋轉(zhuǎn)角度0°位置和-90°位置，如圖5所示。

本文采用修正D-H模型進(jìn)行建模[6]，修正D-H參數(shù)如表1所示，d1為機(jī)械臂高度；θ2為機(jī)械臂的旋轉(zhuǎn)角度；d3為機(jī)械臂的總長度。

在確定測量機(jī)構(gòu)的修正D-H參數(shù)后，即可通過式(1)得到相鄰連桿坐標(biāo)系間的齊次變換矩陣為

(1)

其中，px=aicosθi，py=aisinθi，pz=di，nx=cosθicosβi-sinθisinαisinβi，ny=sinθicosβi+cosθisinαisinβi，nz=-cosαisinβi，ox=-cosαisinθi，oy=cosαicosθi，oz=sinαi，ax=cosθisinβi+sinαisinθicosβi，ay=sinθisinβi-sinαicosθicosβi，az=cosαicosβi。

(3)

(4)

機(jī)構(gòu)末端相對于基座參考坐標(biāo)系的位姿變換矩陣可由3個相鄰連桿坐標(biāo)系依次相乘得到[7]，即測量機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)模型為

(6)

(7)

2.2 幾何誤差建模

從上述運(yùn)動學(xué)模型可知，機(jī)構(gòu)末端位置為機(jī)械臂運(yùn)動學(xué)參數(shù)的多元函數(shù)。假設(shè)幾何參數(shù)誤差足夠小,則對機(jī)構(gòu)末端的位置進(jìn)行全微分,可近似得到機(jī)構(gòu)末端的幾何參數(shù)誤差模型為

Δpδ=JδΔq

(8)

Δpδ為幾何參數(shù)誤差引起的末端位置誤差；Jδ為誤差系數(shù)矩陣；Δq為幾何參數(shù)誤差矩陣。

進(jìn)行冗余性分析后[8]，即可得到幾何參數(shù)誤差模型為

(9)

(10)

Δq′=[Δθ1Δa1Δα1Δβ1Δα2Δd3]T

(11)

Jδθ1=[-d30 0]T

(12)

Jδa1=[cosθ20 -sinθ2]T

(13)

Jδα1=[0 -d3cosθ20]T

(14)

Jδβ1=[0 -d3sinθ20]T

(15)

Jδα2=[0 -d30]T

(16)

Jδd3=[0 0 1]T

(17)

2.3 柔性誤差建模

圖6 測量機(jī)構(gòu)柔性示意圖

(18)

m1、m2和m3分別為基礎(chǔ)導(dǎo)軌、一級導(dǎo)軌和二級導(dǎo)軌的質(zhì)量；L1、L2和L3分別為基礎(chǔ)導(dǎo)軌、一級導(dǎo)軌和二級導(dǎo)軌長度，如圖4所示。

設(shè)立柱柔度為C1，則角Δγ1與彎矩τ之間的關(guān)系為

Δγ1=C1τ

(19)

機(jī)械臂升降運(yùn)動時，立柱有效長度的改變導(dǎo)致其柔度的變化。同時，如圖5所示，立柱由4根導(dǎo)向桿組成，機(jī)械臂繞立柱旋轉(zhuǎn)過程中4根導(dǎo)向桿的受力方向改變，也會導(dǎo)致其整體柔度C1的變化。故升降和旋轉(zhuǎn)機(jī)械臂，都會導(dǎo)致角Δγ1的改變。因此，其柔度是關(guān)于機(jī)械臂高度d1和旋轉(zhuǎn)角度θ2的函數(shù)，即

C1=f1(d1,θ2)

(20)

而由材料力學(xué)的相關(guān)知識可知，當(dāng)旋轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)角度固定時，立柱柔度可寫為與立柱高度相關(guān)的線性函數(shù)[9]，即

C1=k1d1

(21)

k1為與立柱材料和橫截面尺寸相關(guān)的固定參數(shù)。所以，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角度θ2固定時，角Δγ1與彎矩τ之間的關(guān)系為

Δγ1=k1·(d1τ)

(22)

(23)

由于幾何參數(shù)誤差、立柱和機(jī)械臂彎曲導(dǎo)致的末端位置誤差滿足線性疊加關(guān)系[10-11]，則根據(jù)幾何關(guān)系可以得出彎曲偏移角Δγ1和Δγ3帶來的末端位置誤差為

(24)

(25)

cΔγ1為cosΔγ1；sΔγ1為sinΔγ1；sΔγ3為sinΔγ3；cθ2為cosθ2；sθ2為sinθ2。由于偏移角很小，所以cosΔγ1≈1，sinΔγ1≈Δγ1,cosΔγ3≈1,sinΔγ3≈Δγ3,故可將式(25)線性化處理為

(26)

因此，測量機(jī)構(gòu)統(tǒng)一的誤差標(biāo)定模型為

Δp=JΔx

(27)

(28)

JC1=[-d1sinθ2d1cosθ2-d3]T

(29)

JC3=[0 0 -d3]T

(30)

2.4 誤差測量、參數(shù)辨識及補(bǔ)償

本文采用激光跟蹤儀對測量機(jī)構(gòu)末端測量點(diǎn)的實(shí)際位置進(jìn)行測量，測得的位置坐標(biāo)pa=[paxpaypaz]T，并結(jié)合式(7)的名義運(yùn)動學(xué)模型，得到測量機(jī)構(gòu)末端測量點(diǎn)的位置誤差。

將式(10)～式(17)代入式(9)，系統(tǒng)幾何參數(shù)誤差模型為

(31)

基于式(31)可知，當(dāng)機(jī)械臂轉(zhuǎn)角θ2和長度d3固定時，改變高度d1，幾何參數(shù)誤差造成的末端位置誤差并不會發(fā)生變化。而由式(26)可知，當(dāng)機(jī)械臂長度d3不變時，改變高度d1，機(jī)械臂彎曲角Δγ3產(chǎn)生的末端位置誤差也保持不變。因此，結(jié)合統(tǒng)一誤差標(biāo)定模型(27)和式(22)所示的立柱彎曲角Δγ1可知，當(dāng)機(jī)械臂旋轉(zhuǎn)角度θ2和長度d3固定時，升高或降低機(jī)械臂引起的末端位置誤差的變化是由立柱彎曲角Δγ1的改變導(dǎo)致的。

基于上述結(jié)論，使用控制變量法，即可通過如下步驟對測量系統(tǒng)的立柱柔度參數(shù)、幾何參數(shù)誤差和機(jī)械臂彎曲偏移角進(jìn)行辨識和計(jì)算。

首先，劃分機(jī)械臂的工作空間。將工作范圍在0～-90.00°的機(jī)械臂旋轉(zhuǎn)角度θ2分為θ21、θ22、θ23、θ24、θ25和θ26，共6組；將工作范圍在467～1 867 mm的機(jī)械臂高度d1分為d11、d12、d13、d14、d15、d16、d17和d18，共8組；將工作范圍在3 275.00～3 875.00 mm的機(jī)械臂長度d3分為d31、d32、d33和d34，共4組。固定機(jī)械臂旋轉(zhuǎn)角度θ2和長度d3分別為θ21和d34，測得8組機(jī)械臂高度所對應(yīng)的末端位置誤差，根據(jù)式(27)建立8組誤差方程，即

(32)

Δpz141、Δpz142、Δpz143、Δpz144、Δpz145、Δpz146、Δpz147和Δpz148是高度為d11、d12、d13、d14、d15、d16、d17和d18時對應(yīng)的Z方向的末端位置誤差；Δpδz14為旋轉(zhuǎn)角度θ21和長度d34下由幾何參數(shù)誤差引起的Z方向的末端位置誤差；k11為轉(zhuǎn)角θ21對應(yīng)的立柱柔度參數(shù)；τ4和Δγ34分別為長度d34時的彎矩和機(jī)械臂彎曲角。建立誤差方程后，對式(32)兩兩作差，消去幾何參數(shù)誤差和彎曲角Δγ34導(dǎo)致的末端誤差，則可計(jì)算出旋轉(zhuǎn)角度為θ21時的立柱柔度參數(shù)k11，即

(33)

而后旋轉(zhuǎn)機(jī)械臂至θ22、θ23、θ24、θ25和θ26，重復(fù)上述操作，即可計(jì)算出6組旋轉(zhuǎn)角度對應(yīng)的立柱柔度參數(shù)k11、k12、k13、k14、k15和k16。通過三次樣條插值法[12]，即可確定整個0～-90.00°工作空間內(nèi)的立柱柔度參數(shù)k1。至此，完成柔度參數(shù)k1的計(jì)算共使用了6組旋轉(zhuǎn)角度和8組高度下對應(yīng)的48組數(shù)據(jù)。

在得到立柱柔度參數(shù)k1后，結(jié)合式(27)，則幾何參數(shù)誤差和機(jī)械臂彎曲導(dǎo)致的末端位置誤差Δp′為

Δp′=Δp-JC1k1d1τ

(34)

基于上述48組數(shù)據(jù)，采用迭代最小二乘法[13]，即可對幾何參數(shù)誤差和機(jī)械臂長度為d34時的機(jī)械臂彎曲偏移角Δγ34進(jìn)行辨識，辨識算法為:

(35)

(36)

(37)

最后，在得到立柱柔度參數(shù)k1和幾何參數(shù)誤差后，固定機(jī)械臂旋轉(zhuǎn)角度和高度分別為θ25和d18，依次伸長機(jī)械臂至d31、d32和d33，即可得到3組伸長量的機(jī)械臂彎曲偏移角Δγ3s，s=1,2,3，即

(38)

Δpz5s8是機(jī)械臂旋轉(zhuǎn)角度、高度和長度分別為θ25、d18和d3s時Z方向的末端位置誤差；Δpδz5s為旋轉(zhuǎn)角度θ25和長度d3s下由幾何參數(shù)誤差引起的Z方向的末端位置誤差；τ是長度為d3s時的彎矩。同理，經(jīng)三次樣條插值即可得到機(jī)械臂不同伸長狀態(tài)下由自身柔度導(dǎo)致的偏移角Δγ3。綜上所述，完成測量機(jī)構(gòu)幾何參數(shù)誤差及柔性誤差的標(biāo)定工作，共需測得51組數(shù)據(jù)。

(39)

3 驗(yàn)證和結(jié)論

為證明上述誤差標(biāo)定算法的有效性，選取Leica高精度激光追蹤儀ATS600為第3方測量儀器，以其測量數(shù)據(jù)作為標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)定和驗(yàn)證。由于激光追蹤儀默認(rèn)的工作坐標(biāo)系是以其激光出射點(diǎn)為原點(diǎn)的坐標(biāo)系，因此，試驗(yàn)開始之前要將測量機(jī)構(gòu)基坐標(biāo)系設(shè)置為激光跟蹤儀的工作坐標(biāo)系。激光跟蹤儀獲取測量機(jī)構(gòu)基坐標(biāo)系軸線數(shù)據(jù)后，使用附帶的Spatial Analyzer軟件即可擬合出測量機(jī)構(gòu)的基坐標(biāo)系，并將其作為工作坐標(biāo)系[14]。

實(shí)驗(yàn)時機(jī)械臂參數(shù)如表2和表3所示。

表2 機(jī)械臂導(dǎo)軌長度

表3 機(jī)械臂質(zhì)量

根據(jù)2.4節(jié)中的誤差標(biāo)定方法，并結(jié)合測量機(jī)構(gòu)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)場的工作區(qū)間大小、現(xiàn)場試驗(yàn)條件和靶標(biāo)位置，選取的51組測量點(diǎn)如圖7所示。其中，機(jī)械臂旋轉(zhuǎn)角度θ21、θ22、θ23、θ24、θ25和θ26分別為-4.24°、-5.24°、-34.10°、-35.10°、-63.90°和-64.90°；機(jī)械臂高度d11、d12、d13、d14、d15、d16、d17和d18分別為467 mm、667 mm、867 mm、1 067 mm、1 267 mm、1 467 mm、1 667 mm和1 867 mm；機(jī)械臂長度d31、d32、d33和d34分別為3 275.00 mm、3 475.00 mm、3 675.00 mm和3 875.00 mm。立柱柔度參數(shù)k1的計(jì)算結(jié)果如表4所示。

圖7 測量點(diǎn)位置

表4 立柱柔度參數(shù)計(jì)算結(jié)果

由于θ21和θ22、θ23和θ24、θ25和θ26的角度值較為接近，為方便計(jì)算，選取θ21、θ24和θ263個點(diǎn)進(jìn)行三次樣條插值，可得到不同工作空間內(nèi)的立柱柔度參數(shù)k1取值情況如下所述：

當(dāng)θ2∈(-90.00°，-64.90°)時，取值為

k1=(0.234 5-0.001 600(θ2+90.00))×10-12

(40)

當(dāng)θ2∈(-64.90°，-35.10°)時，取值為

k1=(0.194 5-0.001 800(θ2+64.90))×10-12

(41)

當(dāng)θ2∈(-35.10°，0)時，取值為

k1=(0.175 2+0.001 100(θ2+35.10)-

0.000 100 0(θ2+35.10)2×10-12

(42)

在計(jì)算出不同旋轉(zhuǎn)角度的k1后，即可通過式(34)～式(37)對幾何參數(shù)誤差和偏移角Δγ34進(jìn)行辨識，結(jié)果分別如表5和表6所示。

表5 幾何參數(shù)誤差辨識結(jié)果

在確定整個工作空間內(nèi)的vk1和幾何參數(shù)誤差后，通過式(38)計(jì)算出機(jī)械臂長度分別為d31、d32和d33時對應(yīng)的機(jī)械臂偏移角，計(jì)算結(jié)果如表6所示。

表6 機(jī)械臂彎曲角Δγ3

同理，經(jīng)三次樣條插值，得到機(jī)械臂伸長量區(qū)間內(nèi)偏移角Δγ3的取值情況如下所述：

(43)

(44)

(45)

得到測量系統(tǒng)的幾何參數(shù)誤差Δq′、立柱柔度參數(shù)k1和機(jī)械臂彎曲偏移角度Δγ3后，即可通過式(39)對上述誤差進(jìn)行補(bǔ)償。為了驗(yàn)證誤差補(bǔ)償?shù)男Ч?，以?46)為誤差指標(biāo)重新在工作區(qū)間內(nèi)隨機(jī)選取5個測量點(diǎn)進(jìn)行驗(yàn)證，可得測量機(jī)構(gòu)誤差補(bǔ)償前后對比如圖8所示。

圖8 補(bǔ)償前后誤差對比

(46)

由圖8可知，補(bǔ)償后測量系統(tǒng)末端測量點(diǎn)的定位精度提高至2 mm以內(nèi)，證明了誤差標(biāo)定算法的有效性。

4 結(jié)束語

本文設(shè)計(jì)了一種適用于大型殼體的尺寸測量系統(tǒng)，分析了系統(tǒng)的誤差來源。為保證測量系統(tǒng)末端測量點(diǎn)的定位精度，綜合考慮了幾何參數(shù)誤差和柔性誤差的影響，提出了誤差標(biāo)定方法，并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了標(biāo)定算法的有效性。