不同邊界條件薄壁截錐殼的高階振動(dòng)特性研究

楊志宏，李 昊，孟強(qiáng)強(qiáng)，夏 鑫，王 宇，于曉光

（遼寧科技大學(xué) 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，遼寧 鞍山114051）

薄壁構(gòu)件通常是厚度與結(jié)構(gòu)件最小平面跨度之比在1/80和1/5之間的彈性構(gòu)件［1-2］。薄壁截錐殼結(jié)構(gòu)廣泛應(yīng)用于航空航天和船舶等諸多領(lǐng)域。由于其工作環(huán)境較為惡劣，薄壁截錐殼結(jié)構(gòu)的振動(dòng)行為復(fù)雜，例如在高轉(zhuǎn)速或外部復(fù)雜載荷條件下，易產(chǎn)生高階共振和失穩(wěn)等現(xiàn)象。對(duì)薄壁截錐殼的高階振動(dòng)特性進(jìn)行研究，在構(gòu)件的設(shè)計(jì)和故障診斷中具有重要的應(yīng)用價(jià)值。

關(guān)于薄壁截錐殼的振動(dòng)問(wèn)題已有大量研究，但是大部分都集中于低階振動(dòng)特性的研究，對(duì)薄壁截錐殼的高階振動(dòng)特性研究較少。Shu等［3］提出一種微分求積的全局方法分析錐殼的振動(dòng)問(wèn)題，但求解誤差較大。Caresta等［4］在外載荷下分析了截錐殼低階振動(dòng)特性。Bagheri等［5］采用Donnell殼體理論，在考慮連續(xù)性條件的基礎(chǔ)上，將殼體分為兩部分，研究了帶中間環(huán)支撐殼體的振動(dòng)問(wèn)題。Jin等［6］采用一種改進(jìn)的傅里葉級(jí)數(shù)法，對(duì)一般邊界條件下截錐殼進(jìn)行了研究。Kouchakzadeh等［7］基于Donnell殼體理論和Hamilton原理，求解出圓柱-板等組合殼體的固有頻率。Wang等［8］基于傳遞矩陣法和有限元仿真，分析了不同邊界條件下篦齒對(duì)薄壁圓柱殼固有頻率的影響。Ma等［9］通過(guò)瑞利-里茲法求解了組合殼體低階固有頻率。任紅軍等［10］采用瑞利-里茲法分析了中心固支條件下薄壁圓盤的振型特性。江濱等［11］在Love殼體理論的基礎(chǔ)上，采用能量法求解圓錐殼結(jié)構(gòu)的固有頻率。朱顯明等［12］基于Donnell殼體理論，應(yīng)用冪級(jí)數(shù)法求解了圓錐殼的振動(dòng)特性。陳美霞等［13］采用Donnell殼體理論及冪級(jí)數(shù)法，對(duì)不同邊界下截錐殼體的振動(dòng)特性對(duì)比發(fā)現(xiàn)，邊界約束越多，頻率值越大。王宇等［14］采用解析法分析了薄壁圓柱殼不同邊界下的高階振動(dòng)特性。周云澤等［15］采用Donnell運(yùn)動(dòng)方程和冪級(jí)數(shù)法，計(jì)算了兩端簡(jiǎn)支條件下截錐殼的低階固有頻率。洪杰等［16］通過(guò)模態(tài)試驗(yàn)分析了薄壁殼結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性，但缺乏理論研究。

本文針對(duì)薄壁截錐殼，基于Love殼體理論和傳遞矩陣法，利用Mathematica編程，在簡(jiǎn)支-簡(jiǎn)支、固支-固支和大端固支-小端自由三種邊界條件下，求解薄壁截錐殼的高階振動(dòng)特性，并通過(guò)文獻(xiàn)和有限元仿真進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證。

1 基于傳遞矩陣法薄壁截錐殼的模態(tài)特性求解

1.1 結(jié)構(gòu)模型

薄壁截錐殼的模型如圖1所示。引入（s,θ,z）坐標(biāo)系，s代表截錐殼的母線方向，θ代表截錐殼的圓周方向，z代表截錐殼的面法線方向。u，v，w分別表示s，θ，z方向上相對(duì)應(yīng)的振動(dòng)位移。

圖1 薄壁截錐殼模型Fig.1 Thin-walled truncated cone shell model

設(shè)薄壁截錐殼母線長(zhǎng)為L(zhǎng)，厚度為H，殼體大端半徑為R2（坐標(biāo)系原點(diǎn)），半錐角為α，薄壁截錐殼上任一點(diǎn)半徑為R=R2-s?sinα。將薄壁截錐殼沿長(zhǎng)度方向分為N段，各段殼體的子午線長(zhǎng)度分別為L(zhǎng)1,L2,L3,…,Lk,…,LN（1≤k≤N）。

1.2 模態(tài)特性求解

基于Love殼體理論，建立薄壁截錐殼的動(dòng)力學(xué)平衡方程為［17］

式中：Ns，Nθ和Nsθ分別為中面上單位長(zhǎng)度的薄膜力和薄膜剪力；Qs，Qθ分別為s和θ方向中面上單位長(zhǎng)度的橫向剪力，表達(dá)式為

式中：Ms，Mθ，Msθ分別為s和θ方向中面上單位長(zhǎng)度的彎矩和扭矩。

對(duì)于各向同性的薄壁截錐殼，內(nèi)力與內(nèi)力矩的表達(dá)式為

式中：K為薄膜剛度；D為彎曲剛度；μ為泊松比；E為楊氏模量。

基于Love殼體理論，引入等效Kirchhoff面內(nèi)剪力P和橫向剪力T，計(jì)算式為

設(shè)模態(tài)薄壁截錐殼的動(dòng)力平衡方程的位移解為

式中：ωmn表示薄壁截錐殼的固有頻率；m、n分別表示軸向半波數(shù)和周向波數(shù)，即節(jié)徑數(shù)。

薄壁截錐殼的中面轉(zhuǎn)角?s和?θ分別為

將位移函數(shù)式（8）代入式（9），得

將位移函數(shù)式（8）代入式（2）、式（3）、式（4）、式（6）和式（7），得

如圖1所示的薄壁截錐殼，可以將將殼體分為n0段，有n0+1個(gè)分段截面0，1，2，…，n0，從截錐殼的一個(gè)端面到另一個(gè)端面的傳遞矩陣關(guān)系為

每一段薄壁截錐殼的傳遞矩陣關(guān)系定義

對(duì)于第i段薄壁截錐殼

為了精確求解，對(duì)于具有同一厚度的每段薄壁截錐殼體，沿軸線方向劃分長(zhǎng)度為L(zhǎng)1,L2,…,Lk的k個(gè)子段，其傳遞矩陣關(guān)系式

式中：G?(Lk)是薄壁截錐殼每一個(gè)子段間的傳遞矩陣

采用傳遞矩陣法分析薄壁截錐殼體的固有特性時(shí)，由于不同邊界條件的限制，導(dǎo)致特征方程不同。

當(dāng)式（21）的系數(shù)行列式為零時(shí)，可求得薄壁截錐殼的固有頻率，即

（2）固支-固支邊界條件。對(duì)于固支-固支邊界條件，u?=v?=w?=??s=0，可得整體傳遞矩陣關(guān)系

（3）大端固支-小端自由邊界條件。對(duì)于大端固支-小端自由邊界條件，，可得整體傳遞矩陣關(guān)系

將薄壁截錐殼具體的幾何參數(shù)和材料參數(shù)代入后，利用精細(xì)積分法［18］即可得到其固有頻率。

2 結(jié)果驗(yàn)證與算例分析

2.1 結(jié)果驗(yàn)證

首先對(duì)本文分析方法的有效性進(jìn)行驗(yàn)證。薄壁截錐殼的材料參數(shù)和幾何參數(shù)如表1所示。

表1 薄壁截錐殼材料和幾何參數(shù)Tab.1 Material and geometric parameters of thin-walled truncated conical shell

在簡(jiǎn)支-簡(jiǎn)支邊界條件下，基于傳遞矩陣法和有限元法求得薄壁截錐殼的固有頻率，具體數(shù)值見表2，并與文獻(xiàn)［6］中的改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)法進(jìn)行對(duì)比，如圖2所示。采用三種方法求得的固有頻率變化趨勢(shì)基本一致。傳遞矩陣法和有限元方法的計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)［6］的誤差最大0.53%，驗(yàn)證了本文分析方法的正確性。

表2 薄壁截錐殼的固有頻率，HzTab.2 Natural frequencies of thin walled truncated conical shell，Hz

圖2 兩端簡(jiǎn)支邊界下薄壁截錐殼的固有頻率Fig.2 Natural frequencies of thin walled truncated conical shells with boundary condition of simply-simply support at both ends

2.2 算例分析

采用Mathematica編程的傳遞矩陣法和有限元法，分別求解薄壁截錐殼在固支-固支、簡(jiǎn)支-簡(jiǎn)支和大端固支-小端自由三種邊界條件下的高階模態(tài)振動(dòng)特性。選取Ti-6Al-4V鈦合金［19-20］作為薄壁截錐殼材料，其材料參數(shù)和幾何參數(shù)如表1所示。

2.2.1 固支-固支邊界條件 在固支-固支邊界條件下，利用傳遞矩陣法計(jì)算薄壁截錐殼的高階固有頻率，并與有限元法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較。周向波數(shù)n=1~20，軸向半波數(shù)m=1~3時(shí)，兩種方法得到的固有頻率隨周向波數(shù)的變化曲線如圖3所示，薄壁截錐殼部分模態(tài)振型如圖4所示。

圖3 薄壁截錐殼高階固有頻率變化曲線Fig.3 High-order natural frequency change curve of thin-walled truncated conical shell

圖4 固支-固支邊界下薄壁截錐殼的模態(tài)振型圖Fig.4 Modal diagrams of thin-walled truncated conical shell under boundary condition of clamped-clamped support

利用傳遞矩陣法和有限元法得到的薄壁截錐殼高階固有頻率變化曲線吻合，相對(duì)誤差最大為1.56%。周向波數(shù)n由低階到高階的過(guò)程中，固有頻率先減小后增大，且階數(shù)越高增幅越大；隨著軸向半波數(shù)m的增大，固有頻率也隨之增大。當(dāng)m=1，n=7時(shí)，固有頻率最小，為400.1 Hz。當(dāng)m=1，n=20時(shí)，固有頻率最大，為2 106 Hz。

由于固支對(duì)邊界條件的約束，薄壁截錐殼的三維模態(tài)振型在低階時(shí)主要以周向模態(tài)振動(dòng)為主，高階時(shí)為周向和軸向模態(tài)的組合振型。

2.2.2 簡(jiǎn)支-簡(jiǎn)支邊界條件 在簡(jiǎn)支-簡(jiǎn)支邊界條件下，兩種方法求得薄壁截錐殼固有頻率隨周向波數(shù)的變化曲線如圖5所示，薄壁截錐殼部分模態(tài)振型如圖6所示。

圖5 薄壁截錐殼高階固有頻率變化曲線Fig.5 High-order natural frequency change curve of thin-walled truncated conical shell

圖6 簡(jiǎn)支-簡(jiǎn)支邊界下薄壁截錐殼的模態(tài)振型Fig.6 Modal diagrams of thin walled truncated conical shell under boundary condition of simply-simply support

利用傳遞矩陣法和有限元法求得的薄壁截錐殼高階固有頻率曲線變化趨勢(shì)基本一致，相對(duì)誤差在5%以內(nèi)。與固支-固支條件下計(jì)算結(jié)果不同的是，在n=1時(shí)頻率下降。在m=1~3，n=2~20范圍內(nèi)，周向波數(shù)n由低階到高階的過(guò)程中，固有頻率先減小后增大；最小固有頻率出現(xiàn)在m=1，n=7處，為325.6 Hz；隨著軸向半波數(shù)m的增大，固有頻率也隨之增大；當(dāng)m=3，n=20時(shí)，固有頻率最大，為2 002.3 Hz。

由于兩端簡(jiǎn)支對(duì)兩側(cè)節(jié)點(diǎn)的限制作用，使三維模態(tài)振型主要表現(xiàn)為中部的位移。

2.2.3 大端固支-小端自由邊界條件 在大端固支-小端自由邊界條件下，薄壁截錐殼高階固有頻率隨m和n的變化曲線如圖7所示，薄壁截錐殼部分模態(tài)振型如圖8所示。

圖7 薄壁截錐殼高階固有頻率變化曲線Fig.7 High-order natural frequency change curve of thin-walled truncated conical shell

圖8 大端固支-小端自由邊界下薄壁截錐殼的模態(tài)振型Fig.8 Modal diagrams of thin walled truncated conical shell under boundary condition of large end clamped-small end free support

利用傳遞矩陣法和有限元法求得的薄壁截錐殼高階固有頻率曲線重合，相對(duì)誤差在2%以內(nèi)。周向波數(shù)n由低階到高階的過(guò)程中，固有頻率先減小后增大。同時(shí)，當(dāng)軸向半波數(shù)增加時(shí)，固有頻率明顯增大。當(dāng)m=1，n=6時(shí)，固有頻率最小，為226.1 Hz；當(dāng)m=3，n=20時(shí)，固有頻率最大，為1 913.0 Hz。

大端固支-小端自由邊界條件下，三維模態(tài)振型低階時(shí)主要以周向模態(tài)振動(dòng)為主，且表現(xiàn)為自由端節(jié)點(diǎn)的振動(dòng)，即自由端的振動(dòng)位移最大。這是因?yàn)楣潭ǘ思s束了各節(jié)點(diǎn)的位移。

3 結(jié)論

基于Love殼體理論和傳遞矩陣法求解了三種邊界條件薄壁截錐殼的高階固有頻率，并與文獻(xiàn)和有限元法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

（1）采用傳遞矩陣法和有限元法計(jì)算固有頻率值與文獻(xiàn)數(shù)據(jù)基本一致，對(duì)比誤差最大0.53%。驗(yàn)證了傳遞矩陣法計(jì)算的準(zhǔn)確性。

（2）在固支-固支、簡(jiǎn)支-簡(jiǎn)支和固支-自由邊界條件下，采用傳遞矩陣法和有限元法計(jì)算薄壁截錐殼高階固有頻率相對(duì)誤差較小，且變化趨勢(shì)吻合。在固支-固支和大端固支-小端自由邊界條件下，高階固有頻率隨周向波數(shù)的增大先減小后增大，當(dāng)軸向半波數(shù)增加時(shí)固有頻率明顯增大。在簡(jiǎn)支-簡(jiǎn)支邊界條件下，n=1時(shí)呈現(xiàn)出頻率下降的現(xiàn)象，而在m=1~3，n=2~20范圍內(nèi)，頻率隨周向和軸向波數(shù)的變化規(guī)律與前兩者相同。

（3）薄壁截錐殼在固支-固支和簡(jiǎn)支-簡(jiǎn)支邊界條件下，固有頻率在m=1、n=7處取得最小值；在大端固支-小端自由邊界條件下，在m=1、n=6處取得最小值。三種邊界下最小值頻率值分別為400.1、325.6和226.1 Hz。最低階固有頻率隨邊界條件的不同而變化，邊界條件約束越多，頻率越大。固支-固支邊界條件下，頻率隨軸向半波數(shù)變化的速率較快。

（4）三種邊界條件下的模態(tài)振型低階時(shí)主要以周向模態(tài)振動(dòng)為主，高階時(shí)出現(xiàn)了周向和軸向疊加的模態(tài)振型。

附錄1

附錄2