具有環(huán)境差異的SIQR校園傳染病模型

王銘健，胡煜寒，武力兵

（遼寧科技大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 鞍山114051）

隨著新型冠狀肺炎疫情的持續(xù)影響，校園內(nèi)的傳染病防控成為社會(huì)關(guān)注的重點(diǎn)。從數(shù)學(xué)角度分析傳染病的傳播規(guī)律是一種科學(xué)的研究方法，以微分方程為基礎(chǔ)的傳染病動(dòng)力學(xué)模型已經(jīng)成為預(yù)測(cè)傳染病規(guī)模和評(píng)估傳染病風(fēng)險(xiǎn)的重要手段之一。已有研究表明［1-4］，環(huán)境因素會(huì)對(duì)傳染病的傳播起到干預(yù)作用。陳田木等［5］采用SIQR（Susceptible infectious quarantined recovered）模型評(píng)估一起校園內(nèi)急性出血性結(jié)膜炎疫情的隔離效果。在無(wú)干預(yù)情況下，全校人群的罹患率將達(dá)到99.73%，采取干預(yù)措施后疾病的爆發(fā)規(guī)模大幅度降低。張亞楠等［6］采用SIR（Susceptible-infectious-recovered）模型，將人群分為環(huán)境衛(wèi)生條件好和環(huán)境衛(wèi)生條件差兩組，分析無(wú)隔離措施下的人群患病率。結(jié)果表明，環(huán)境衛(wèi)生條件好的人群占比越大，發(fā)病高峰越低，患病率越小。經(jīng)典SIR模型的缺陷在于不能夠充分地描述隔離措施、病情潛伏期等實(shí)際情況［7］。隔離可以有效防止疫情的蔓延，因此具有隔離措施的SIQR傳染病模型被廣泛應(yīng)用［8-10］。本文以2011年長(zhǎng)沙市某校爆發(fā)的急性出血性結(jié)膜炎疫情為例，將人群分為環(huán)境衛(wèi)生條件好和環(huán)境衛(wèi)生條件差兩組，建立具有環(huán)境差異的分組SIQR模型，評(píng)估校園傳染病爆發(fā)的規(guī)模和風(fēng)險(xiǎn)。

1 具有環(huán)境差異的SIQR模型

校園環(huán)境相對(duì)封閉，人群接觸較為密切。校園常見的傳染病，如流感、水痘、急性出血性結(jié)膜炎等疾病，具有傳播速度快、潛伏時(shí)間短、致死率較低的特點(diǎn)。在校園環(huán)境中，假設(shè)校園內(nèi)總?cè)藬?shù)為N，學(xué)生的轉(zhuǎn)入、轉(zhuǎn)出以及出生率、死亡率忽略不計(jì)，依據(jù)當(dāng)前環(huán)境分為兩組，一組是環(huán)境衛(wèi)生好的人群N1，另一組是環(huán)境衛(wèi)生差的人群N2，并且兩類學(xué)生以比例混合的方式接觸［11］。

具有環(huán)境差異的分組SIQR模型：環(huán)境衛(wèi)生好環(huán)境衛(wèi)生差

式中：Si(t)表示t時(shí)刻第i組易感者的數(shù)量；Ii(t)表示t時(shí)刻第i組感染者的數(shù)量；Qi(t)表示t時(shí)刻第i組隔離者的數(shù)量；Ri(t)表示t時(shí)刻第i組恢復(fù)者的數(shù)量；cij為第i組成員與第j組成員的接觸比例，即cij=Nj/(Ni+Nj)，i,j=1,2；定義ε為感染者被隔離的比率，即隔離率；r為感染者的恢復(fù)率；φ為隔離者的恢復(fù)率。

假設(shè)傳染病是通過(guò)易感者與感染者的接觸來(lái)傳播。當(dāng)易感者與感染者接觸后，根據(jù)自身免疫能力，有一定的概率成為感染者，α表示環(huán)境衛(wèi)生條件差的傳染病傳播速率，該環(huán)境標(biāo)準(zhǔn)發(fā)病率為αSI/N。δ為傳染病傳播的抑制率，表示由于環(huán)境因素所降低的感染率，則環(huán)境衛(wèi)生條件好的群體傳染病傳播速率為αδ，該環(huán)境標(biāo)準(zhǔn)發(fā)病率為αδSI/N。

2 平衡點(diǎn)及基本再生數(shù)

2.1 平衡點(diǎn)的存在性

所有參數(shù)均為非負(fù)變量，考慮到實(shí)際意義，需要在可行域

內(nèi)進(jìn)行定性分析。為了得到模型的無(wú)病平衡點(diǎn)，令模型（1）和（2）中的方程等于0，可得

即模型（1）和（2）存在唯一非負(fù)平衡點(diǎn)

2.2 基本再生數(shù)

利用下一代矩陣法［12］計(jì)算式（3）和式（4）的基本再生數(shù)。在初始時(shí)刻S(0)=N,S1(0)=N1,S2(0)=N2，令

則原系統(tǒng)可以被寫作

通過(guò)式（5）可以得到

由式（6）和式（7）求出矩陣FV-1的特征方程

由于兩種習(xí)慣人群以比例混合的方式接觸，則c11c22=c12c21，所以有

λ的最大值即模型（1）和（2）的基本再生數(shù)

基本再生數(shù)越小，越有利于對(duì)傳染病的控制，當(dāng)R0＜1時(shí)傳染病會(huì)逐漸減小直至消亡。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

選取2011年長(zhǎng)沙市某校急性出血性結(jié)膜炎疫情數(shù)據(jù)進(jìn)行MATLAB仿真實(shí)驗(yàn)。全校共740人，假設(shè)初始感染者人數(shù)為50人，其余皆為易感者。急性出血性結(jié)膜炎的感染期為7至10天，選取1/r=8，即感染者的恢復(fù)率r=0.125，通過(guò)最小二乘法模擬得到傳染率α=0.048。

選取兩組環(huán)境衛(wèi)生條件人數(shù)的比值N1∶N2=3∶1，傳染病傳播的抑制率δ為0.5，感染者的恢復(fù)率r和隔離者的恢復(fù)率φ均為0.125，隔離率ε為0.5。有無(wú)隔離時(shí)感染人數(shù)隨時(shí)間變化如圖1所示。兩組曲線趨勢(shì)一致，峰值同步出現(xiàn)，但感染者峰值以及感染者全部康復(fù)的時(shí)間明顯不同。有隔離措施時(shí)，隨著時(shí)間推移，感染人數(shù)在快速增長(zhǎng)，在第11天達(dá)到峰值，為160人；高峰過(guò)后感染者的人數(shù)逐漸回落，在40天后感染者全部康復(fù)。無(wú)隔離措施時(shí)，感染者峰值為262人，在60天后感染者全部康復(fù)，有隔離后最大感染人數(shù)下降了38.94%。無(wú)隔離時(shí)感染者最終規(guī)模是4 842，有隔離時(shí)感染者最終規(guī)模是2 690，有隔離后最終規(guī)模下降了44.44%。因此，隔離措施可以有效降低感染者的峰值和最終規(guī)模。

圖1 有無(wú)隔離時(shí)感染人數(shù)隨時(shí)間變化Fig.1 Infected numbers with and without quarantine

選取兩組環(huán)境衛(wèi)生條件人數(shù)的比值N1∶N2=3∶1，傳播的抑制率δ為0.9，感染者的恢復(fù)率r和隔離者的恢復(fù)率φ均為0.125，隔離率ε在0到0.9之間變化。不同隔離率時(shí)的最大感染人數(shù)如圖2所示。隔離率ε從0增加到0.3時(shí)，最大感染人數(shù)急劇減少；當(dāng)隔離率ε大于0.3后，最大感染人數(shù)無(wú)明顯變化。因此，選取適當(dāng)?shù)母綦x措施，例如實(shí)施單人隔離，禁止患者外出、探視，嚴(yán)格執(zhí)行消毒措施等，使至少30%的感染者進(jìn)入隔離狀態(tài)，感染規(guī)模就可以控制在較低范圍。

圖2 不同隔離率時(shí)的最大感染人數(shù)Fig.2 Maximum infected numbers at different quarantine rates

選取兩組環(huán)境衛(wèi)生條件人數(shù)的比值N1∶N2=3∶1，傳播的抑制率δ為0.9，感染者的恢復(fù)率r和隔離者的恢復(fù)率φ均為0.125，不同隔離率時(shí)感染人數(shù)隨時(shí)間的變化如圖3所示。隨著隔離率ε由0增加到0.9，感染者全部康復(fù)時(shí)間由60天逐漸縮短至21天，感染人數(shù)也在大幅度減少。說(shuō)明隔離措施可以有效抑制傳染病的傳播。

圖3 不同隔離率時(shí)感染人數(shù)隨時(shí)間的變化Fig.3 Infected numbers over time at different quarantine rates

4 結(jié)論

本文建立了具有環(huán)境差異的SIQR模型，將人群分為環(huán)境衛(wèi)生條件好與環(huán)境衛(wèi)生條件差兩組，選取2011年長(zhǎng)沙市某校急性出血性結(jié)膜炎疫情數(shù)據(jù)，仿真分析有隔離和無(wú)隔離、不同隔離率的感染人數(shù)，以及不同隔離率時(shí)感染人數(shù)隨時(shí)間的變化。兩組環(huán)境衛(wèi)生條件人數(shù)的比值為3∶1時(shí)，有隔離時(shí)疾病傳播的最大感染人數(shù)較無(wú)隔離時(shí)下降了38.94%，最終規(guī)模下降了44.44%，康復(fù)時(shí)間從60天縮短至40天。隔離率從0增加到0.3時(shí)，最大感染人數(shù)急劇減少，當(dāng)隔離率大于0.3后，最大感染人數(shù)無(wú)明顯變化；隨著隔離率由0增加到0.9，感染者全部康復(fù)時(shí)間由60天逐漸縮短至21天。因此，隔離措施可以有效降低最大感染人數(shù)和最終規(guī)模，選取適當(dāng)?shù)母綦x措施，使隔離率達(dá)到0.3，感染規(guī)模就可以控制在較低范圍，加大隔離力度可以大幅度縮短傳染病的持續(xù)時(shí)間。