基于觀測(cè)器的時(shí)滯T-S模糊廣義切換系統(tǒng)的異步無(wú)源控制

楊冬梅, 王 傲

(東北大學(xué) 理學(xué)院, 遼寧 沈陽(yáng) 110819)

切換系統(tǒng)作為一種重要的混合系統(tǒng),是一個(gè)融合了諸如信息處理、微分方程和工業(yè)生產(chǎn)等學(xué)科的全新研究課題.隨著現(xiàn)代控制理論的發(fā)展,以及同其他學(xué)科的深度融合,一種更加普遍更加貼近現(xiàn)實(shí)的系統(tǒng)得到了越來(lái)越多的關(guān)注,被稱(chēng)為“廣義切換系統(tǒng)”.如今,控制理論大多是根據(jù)數(shù)學(xué)模型來(lái)研究的.然而在實(shí)際建模時(shí),大多數(shù)系統(tǒng)無(wú)法用線性模型表示,且系統(tǒng)參數(shù)很可能隨時(shí)間變化而改變,甚至系統(tǒng)結(jié)構(gòu)也發(fā)生改變,而系統(tǒng)又因?yàn)椴荒芡耆c外部隔離,或多或少會(huì)受到外部干擾,以及工業(yè)水準(zhǔn)受限使精度出現(xiàn)細(xì)微的偏差而導(dǎo)致的不確定性等因素,都導(dǎo)致難以建立精確的數(shù)學(xué)模型.即使對(duì)一些復(fù)雜系統(tǒng)成功建立了數(shù)學(xué)模型,模型也常常太過(guò)復(fù)雜不利于研究,無(wú)法實(shí)現(xiàn)有效控制,因此,對(duì)于模糊控制理論的研究就變得尤為重要[1].在實(shí)際控制問(wèn)題中,由于系統(tǒng)的切換需要時(shí)間識(shí)別,因此控制器的切換不可避免地落后于系統(tǒng)的切換,導(dǎo)致子系統(tǒng)與控制器之間出現(xiàn)短暫的不同步.無(wú)源性作為一種特殊的耗散性,是以系統(tǒng)的輸入和輸出的叉乘作為系統(tǒng)的供給率,在有些情形下儲(chǔ)存函數(shù)可以作為系統(tǒng)的能量函數(shù),因此對(duì)于廣義切換系統(tǒng)的無(wú)源性和異步控制問(wèn)題的研究同樣尤為重要.文獻(xiàn)[2]針對(duì)具有結(jié)構(gòu)不確定性的非線性切換系統(tǒng),提出了魯棒半無(wú)源性和實(shí)用穩(wěn)定性分析.文獻(xiàn)[3]針對(duì)一類(lèi)廣義Lurie切換系統(tǒng)采用類(lèi)李雅普諾夫函數(shù)的方法研究了系統(tǒng)的魯棒無(wú)源性.文獻(xiàn)[4]針對(duì)具有多個(gè)存儲(chǔ)函數(shù)和多個(gè)供給率的離散非線性切換系統(tǒng)的幾何擬無(wú)源性、反饋擬通性及其相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行了研究.文獻(xiàn)[5]針對(duì)一類(lèi)嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)在適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)依賴(lài)切換律下研究了基于無(wú)源性的鎮(zhèn)定問(wèn)題.文獻(xiàn)[6]分析了非線性切換系統(tǒng)，提出增量式無(wú)源性、增量式無(wú)源化和增量式鎮(zhèn)定問(wèn)題.然而對(duì)于T-S模糊廣義切換系統(tǒng)的無(wú)源性問(wèn)題的研究成果鮮有人發(fā)表.

本文對(duì)一類(lèi)時(shí)滯T-S模糊廣義切換系統(tǒng)引入一種新的無(wú)源不等式,探討了在控制器切換不同步情況下系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性和無(wú)源性問(wèn)題,并利用分段李雅普諾夫函數(shù)和線性矩陣不等式的方法,得到了使時(shí)滯T-S模糊廣義切換系統(tǒng)全局一致指數(shù)穩(wěn)定且嚴(yán)格指數(shù)無(wú)源的充分條件.由于系統(tǒng)的狀態(tài)不易得到,本文得出了一種基于觀測(cè)器的控制器設(shè)計(jì)方法，并通過(guò)仿真證明了該方法的有效性.

1 問(wèn)題描述

本文主要探討時(shí)滯T-S模糊廣義切換系統(tǒng)的無(wú)源性問(wèn)題,其子系統(tǒng)模型由如下形式的模糊規(guī)則構(gòu)成：

Rj:ifξ1isM1j… andξγisMγj,then

(1)

其中：ni為模糊規(guī)則數(shù);

Mγj(ξj)表示ξγ在模糊集Mγj上的隸屬度.且hj(ξ(t))滿足

假設(shè)系統(tǒng)(1)是能檢測(cè)的,設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器和控制器,其系統(tǒng)描述為

(2)

得到增廣閉環(huán)系統(tǒng)為

(3)

(4)

定義1[13]對(duì)于切換信號(hào)σ(t)和?t≥t0≥0,Ni(t0,t),Ti(t0,t)分別表示子系統(tǒng)在時(shí)間間隔(t0,t)上的切換次數(shù)和運(yùn)行時(shí)間,如果滿足：

且τi>0,稱(chēng)τi為子系統(tǒng)i的平均駐留時(shí)間.

定義2[14]對(duì)于給定的α>0,系統(tǒng)的輸入u(t)和輸出y(t),如果：

成立,其中V(t)是一個(gè)非負(fù)函數(shù),那么系統(tǒng)是嚴(yán)格指數(shù)無(wú)源的.

定義3[15]系統(tǒng)平衡點(diǎn)x=0在切換信號(hào)σ(t)作用下是全局一致指數(shù)穩(wěn)定的,系統(tǒng)的解x(t)在給定初始值x(t0),以及ω(t)=0時(shí)滿足：

‖x(t)‖≤ke-δ(t-t0)‖x(t0)‖C1,?t≥t0;

其中,k≥1,δ>0.

引理1[16]對(duì)于任意的n維向量x,y和任意常量ε>0,有

±2xTy≤εxTx+ε-1yTy.

2 主要結(jié)果

為證明過(guò)程方便,令T↓i(t0,t),T↑i(t0,t)分別表示子系統(tǒng)i在時(shí)間間隔(t0,t)上的控制器匹配和不配的運(yùn)行時(shí)間,T↓(t0,t),T↑(t0,t)分別表示系統(tǒng)在時(shí)間間隔(t0,t)上的控制器匹配和不配的運(yùn)行時(shí)間.

(5)

(6)

(7)

(8)

式中:

Ξi44=-e-κhTλ.

其中,κ∈{αi,-βi}.當(dāng)κ=αi時(shí),λ=ι=i;當(dāng)κ=-βi時(shí),λ=li,ι=l,則系統(tǒng)(4)對(duì)于滿足平均駐留時(shí)間：

證明 將系統(tǒng)按照αi+βi的取值分為兩類(lèi),當(dāng)αi+βi≤0時(shí),子系統(tǒng)屬于θ1={1,2,…,m},當(dāng)αi+βi>0時(shí),屬于θ2={m+1,m+2,…,p}.令:

當(dāng)t∈(ti+τi,ti+1)時(shí),構(gòu)造如下李雅普諾夫函數(shù):

當(dāng)t∈(ti,ti+τi)時(shí),構(gòu)造如下李雅普諾夫函數(shù):

對(duì)V1i(t)和V2i(t)求導(dǎo),并且由式(8)可知

我倆誰(shuí)也沒(méi)說(shuō)話，端酒，碰杯，再端酒，再碰杯。不大會(huì)一瓶酒就快見(jiàn)底了。我覺(jué)得自己開(kāi)始頭暈了，看看劉鐵頭，他也是紅光滿面精神煥發(fā)。劉鐵頭長(zhǎng)著滿臉的小紫疙瘩，這會(huì)兒紫疙瘩們像涂了層油，個(gè)個(gè)飽滿挺拔亮光閃閃。

(9)

(10)

在t∈[t0,t)上令:

由式(9),式(10)可得

(11)

再由式(6),式(7)可得

(12)

令Δmax=maxΔi,N0=0，則由式(13),式(14)可得

(13)

其中:

對(duì)于Ω1,有αi+βi≤0,則

對(duì)于Ω2,有T↑i(t0,t)≤ΔmaxNi(t0,t),則

由V(t)易得

(14)

其中:

b1=λmax(Oi)+hλmax(Ri);

b2=λmax(Oli)+hλmax(Rli);

再由式(13),式(14)可得

考慮:

由于定理1中的不等式條件不是線性的,不容易求解,下面基于引理1適當(dāng)?shù)乜s放不等式的條件,使之成為線性矩陣不等式.

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

其中:

T+κETN,

κ∈{-αi,βi}.當(dāng)κ=-αi時(shí),

X=Xi,N=Ni,U=Ui,T=Ti;

當(dāng)κ=βi時(shí),

X=Xli,N=Nli,U=Uli,T=Tli.

定理1中的控制器和觀測(cè)器的增益矩陣:

證明 利用引理1對(duì)式(8)進(jìn)行變換,可得到式(8)可由式(17)～式(24)推出,定理得證.

3 算 例

考慮如下有兩個(gè)子系統(tǒng)的例子.

Rj:ifx1(t) isM1jthen

規(guī)范化隸屬函數(shù)分別為

各子系統(tǒng)的局部子系統(tǒng)的參數(shù)為

C111=[-0.1 -0.2],C112=[-0.2 -0.1],

C121=[0.1 -0.2],C122=[0.3 -0.2],

C211=[0.5 -0.9],C212=[0.2 -0.3],

C221=[0.1 -0.2],C222=[-0.4 -0.3],

D11=D12=D21=D22=0.3,

H11=H12=H21=H22=6.

選取α1=1.33,α2=1.2,β1=-1.3,β2=-0.7,按照上述定理得到控制器和觀測(cè)器增益矩陣為

K11=[2.357 2 -2.614 8],

K12=[1.443 2 -3.142 5],

K21=[-1.360 2 -0.380 1],

K22=[-2.019 1 -0.293 3].

圖1 狀態(tài)軌跡

圖2 切換信號(hào)

4 結(jié) 語(yǔ)

本文引入了一種新的無(wú)源不等式,給出了時(shí)滯T-S模糊廣義切換系統(tǒng)在控制器存在切換滯后的情況下保證系統(tǒng)是全局指數(shù)穩(wěn)定且嚴(yán)格指數(shù)無(wú)源的充分條件,通過(guò)數(shù)值仿真驗(yàn)證了該結(jié)果的有效性.