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    多視角賞析一道高考題

    2021-11-24 09:36:00賀鳳梅
    數(shù)理化解題研究 2021年31期
    關鍵詞:高考題橢圓例題

    賀鳳梅

    (新疆伊犁鞏留縣高級中學 835400)

    一、題目呈現(xiàn)

    (1)求C的方程;

    二、試題解答

    以下重點探討第(2)問.

    分析1 利用直線的點斜式方程將兩條直線分別表示出來,再將兩條直線分別與雙曲線方程聯(lián)立,結合韋達定理表示|TA|·|TB|和|TP|·|TQ|,通過系列運算,消元得解.

    因為|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,

    即k1+k2=0.

    評注解法1利用直線的點斜式方程求解,利用弦長公式表達對應線段長度,結合位置關系判斷相關量的正負,避免討論.

    分析2 直線的參數(shù)方程中參數(shù)t能表達長度,本問題中牽涉到4個有關聯(lián)的長度.因此我們可以引入直線參數(shù)方程,理順相關長度與t的關系,再利用整體處理的技巧消元得到兩直線斜率關系.

    由參數(shù)t的幾何意義,得

    因為|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,

    整理,得cos2α=cos2β.又α≠β,所以cosα=-cosβ,即α+β=π.所以tanα+tanβ=0.所以k1+k2=0.

    評注解法2是利用直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義求解,此解法非常簡捷.只要正確掌握t的幾何意義,就能快速準確地用α將|TA|·|TB|表示出來,再利用替換法則,同理可求|TP|·|TQ|.由于引入了三角,明顯比解法1運算量小,但需要把直線參數(shù)方程學通悟透.

    分析3 由題設|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|聯(lián)想到A,B,P,Q四點共圓,進一步利用二次曲線系方程表達圓的條件建立兩直線斜率關系式,整體運算,快速得解.

    (*)

    因為|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,所以A,B,P,Q四點共圓.于是(*)式表示一個圓,因此xy項的系數(shù)為0.

    將(*)式化簡整理可得xy的系數(shù)為-k1-k2,于是-k1-k2=0,所以k1+k2=0.

    評注解法3利用二次曲線系求解,此解法非常簡單.教材中雖沒有明確提出,但在直線與直線、直線與曲線、曲線與曲線的位置關系的習題中都蘊含著這種思想,學生可以拓展知識體系,增加所學知識的廣度和深度.不難發(fā)現(xiàn)三種解法中,解法1最麻煩,解法3最便捷.因此拓展學習很有必要,思維訓練很關鍵,思維簡化了運算,這正是數(shù)學的重要功能:培養(yǎng)人的理性思維.

    三、追根溯源

    (人教A版數(shù)學4-4“坐標系與參數(shù)方程”第38頁例4) 已知AB,CD是中心為點O的橢圓的兩條相交弦,交點為P.兩弦AB,CD與橢圓長軸的夾角分別為∠1,∠2,且∠1=∠2.求證:|PA|·|PB|=|PC|·|PD|.

    分析與課本上的例題4進行對比,本高考題實質上就是互換條件和結論,而且課本上的例題更具有一般性,現(xiàn)利用直線的參數(shù)方程簡證如下:

    評注這是一道具有一般意義的直線與橢圓的分點弦問題,利用直線參數(shù)方程容易證明.如果把橢圓換成雙曲線,就是本次新高考問題條件和結論互換后的一般問題,結論也是正確的!

    四、解后反思

    高考命題專家命制高考試題時都是以教材為藍本,并適度創(chuàng)新,以考查學生的能力和素養(yǎng).課本是數(shù)學知識和數(shù)學思想方法的載體,又是教學的依據(jù),理應成為高考數(shù)學試題的源頭.

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