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    數(shù)學(xué)多選題的基本類型及破解策略

    2021-11-24 09:39:02林菊芳
    數(shù)理化解題研究 2021年31期
    關(guān)鍵詞:多選題極差標(biāo)準(zhǔn)差

    林菊芳

    (湖北省黃岡市團(tuán)風(fēng)中學(xué) 438800)

    數(shù)學(xué)多項(xiàng)選擇題是選擇題的一種,它具有備選答案不唯一,存在多個(gè)正確選項(xiàng)的特點(diǎn).試題可以從多角度審視某一核心數(shù)學(xué)概念的全貌,考查更多的數(shù)學(xué)基本知識(shí)點(diǎn)或能力點(diǎn),對(duì)學(xué)生有較好的區(qū)分度.解答此類型數(shù)學(xué)多項(xiàng)選擇題可以用直接法、特值法、反證法、數(shù)形結(jié)合法等逐項(xiàng)判斷.

    一、數(shù)學(xué)多選題的基本類型

    數(shù)學(xué)多項(xiàng)選擇題根據(jù)各選擇支干擾因素的區(qū)分,對(duì)應(yīng)的選項(xiàng)設(shè)計(jì)大致分為以下六種基本類型,即:

    (1)條件疏漏:將一些數(shù)學(xué)問題中容易疏漏的條件所產(chǎn)生的結(jié)果設(shè)計(jì)為選擇支干擾項(xiàng);

    (2)實(shí)際背景忽視:細(xì)心模擬學(xué)生的演算過失和差錯(cuò),得到迷惑性較強(qiáng)的選擇支干擾項(xiàng),對(duì)提高試題的針對(duì)性和鑒別力十分有效;

    (3)概念混淆:針對(duì)學(xué)生容易混淆的數(shù)學(xué)相關(guān)概念、性質(zhì)等設(shè)計(jì)選擇支干擾項(xiàng);

    (4)題意誤解:讀題不慎,審題不細(xì),誤解題意,由此引發(fā)的錯(cuò)誤結(jié)論設(shè)計(jì)為選擇支干擾項(xiàng);

    (5)推理錯(cuò)亂:由不合邏輯的推理而造成的錯(cuò)誤結(jié)果設(shè)計(jì)為選擇支干擾項(xiàng);

    (6)思維定勢:熟悉的內(nèi)容,相似的形式,常會(huì)令人產(chǎn)生類比與聯(lián)想,可能產(chǎn)生負(fù)遷移,由此導(dǎo)致的錯(cuò)誤設(shè)計(jì)為選擇支干擾項(xiàng)等.

    二、數(shù)學(xué)多選題的破解策略

    1.概念辨析類多選題

    例1(2021年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷第9題)(多選題)有一組樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn,由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)y1,y2,…,yn,其中yi=xi+c(i=1,2,…,n),c為非零常數(shù),則( ).

    A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同

    B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同

    C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同

    D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同

    分析利用統(tǒng)計(jì)知識(shí)中的基本知識(shí)、基本公式等,將統(tǒng)計(jì)中的概念、公式等基本知識(shí)交匯與融合在一起,通過平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差的定義直接判斷即可.

    解析對(duì)于選項(xiàng)A,兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的差為c,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)B,兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)的差是c,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)C,由于標(biāo)準(zhǔn)差D(yi)=D(xi+c)=D(xi),則知兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同,故選項(xiàng)C正確;對(duì)于選項(xiàng)D,由于yi=xi+c(i=1,2,…,n),c為非零常數(shù),x的極差為xmax-xmin,y的極差為(xmax+c)-(xmin+c)=xmax-xmin,所以兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同,故選項(xiàng)D正確.故選CD.

    2.運(yùn)算、推理類多選題

    例2(2021年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷第11題)(多選題)已知點(diǎn)P在圓(x-5)2+(y-5)2=16上,點(diǎn)A(4,0),B(0,2),則( ).

    A.點(diǎn)P到直線AB的距離小于10

    B.點(diǎn)P到直線AB的距離大于2

    分析求出過AB的直線方程,再求出圓心到直線AB的距離,得到圓上的點(diǎn)P到直線AB的距離范圍,判斷選項(xiàng)A與B;畫出圖形,由圖可知,當(dāng)過點(diǎn)B的直線與圓相切時(shí),滿足∠PBA最小或最大,求出圓心與點(diǎn)B間的距離,再由勾股定理求得|PB|判斷選項(xiàng)C與D.

    3.位置確定類多選題

    例3(2021年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷第10題)(多選題)如圖1,在正方體中,O為底面的中點(diǎn),P為所在棱的中點(diǎn),M,N為正方體的頂點(diǎn),則滿足MN⊥OP的是( ).

    圖1

    分析對(duì)于選項(xiàng)A,設(shè)正方體棱長為2,設(shè)MN與OP所成角為θ,求出tanθ的值,從而不滿足MN⊥OP;對(duì)于選項(xiàng)B,C,D,作出平面直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體棱長為2,利用向量法進(jìn)行判斷.

    圖2

    4.信息創(chuàng)新類多選題

    例4(2021年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷第12題)設(shè)正整數(shù)n=a0·20+a1·21+…+ak-1·2k-1+ak·2k,其中ai∈{0,1},記ω(n)=a0+a1+…+ak,則( ).

    A.ω(2n)=ω(n) B.ω(2n+3)=ω(n)+1

    C.ω(8n+5)=ω(4n+3) D.ω(2n-1)=n

    分析根據(jù)創(chuàng)新定義,2n=a0·21+a1·22+…+ak-1·2k+ak·2k+1可判斷選項(xiàng)A;取n=2可判斷選項(xiàng)B;把8n+5和4n+3都化成n=a0·20+a1·21+…+ak-1·2k-1+ak·2k,可判斷選項(xiàng)C;2n-1=1·20+1·21+…+1·2n-1可判斷選項(xiàng)D.

    解析由于2n=a0·21+a1·22+…+ak-1·2k+ak·2k+1,則有ω(2n)=ω(n)=a0+a1+…+k,故選項(xiàng)A正確;當(dāng)n=2時(shí),2n+3=7=1·20+1·21+1·22,可得ω(7)=3,又ω(2)=0+1=1,所以ω(7)≠ω(2)+1,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤;w(8n+5)=w(8n+4+1)=w(8n+4)=1,w(4n+3)=w(4n+2+1)=w(4n+2)+1,由A選項(xiàng)知,w(2n)=w(n),所以w(8n+4)=w(4n+2),即w(8n+5)=w(4n+3),故選項(xiàng)C正確;由于2n-1=1·20+1·21+…+1·2n-1,可得ω(2n-1)=n,故選項(xiàng)D正確.故選ACD.

    新高考中數(shù)學(xué)多項(xiàng)選擇題的創(chuàng)新引入與設(shè)置,給數(shù)學(xué)知識(shí)的設(shè)置與考查提供更多的場所,給不同層次的學(xué)生增加了得分機(jī)會(huì),也更精準(zhǔn)地測試和區(qū)分了不同層次學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)能力水平.同樣,數(shù)學(xué)多項(xiàng)選擇題不同基本類型與相應(yīng)的破解策略不斷涌現(xiàn),特別是基本類型與破解策略之間經(jīng)常也是交叉與融合的,沒有太過明顯的類別,實(shí)際破解時(shí)要合理綜合,巧妙應(yīng)用.

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