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    高中數(shù)學(xué)解題中整體思想的應(yīng)用

    2021-11-24 09:38:24楊則平
    數(shù)理化解題研究 2021年31期
    關(guān)鍵詞:題干拋物線思路

    楊則平

    (安徽省桐城市第八中學(xué) 231400)

    高中數(shù)學(xué)涉及很多思想,其中整體思想有著廣泛的應(yīng)用,用于解題能有效降低計(jì)算復(fù)雜度,提高解題效率,有助于學(xué)生更好地樹(shù)立解題的自信.教學(xué)中應(yīng)做好相關(guān)習(xí)題類型的匯總以及展示,使學(xué)生在以后學(xué)習(xí)中遇到類似問(wèn)題能夠迅速破題.

    一、用于解答向量習(xí)題

    解答有關(guān)向量的最值問(wèn)題時(shí)既要注重通解通法,使用向量的幾何與坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行解題,又要避免思維定勢(shì)的干擾,認(rèn)真觀察題干中給出的已知條件,積極聯(lián)系所學(xué)的不等式知識(shí),通過(guò)對(duì)已知條件的整體處理,達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算順利解題的目的.

    例1 已知平面向量a,b滿足:1≤|a|≤2,1≤|a+b|≤3,1≤a·b≤2,則|b|的最大值為( ).

    分析該題較為特殊,采用常規(guī)思路難以有效破題,而使用整體思想進(jìn)行分析,可達(dá)事半功倍的效果.

    因?yàn)?≤|a|≤2,兩邊平方得到1≤|a|2≤4,

    即-4≤-|a|2≤-1.

    又因?yàn)?≤a·b≤2,兩邊同乘以-2,則

    -4≤-2a·b≤-2.

    又因?yàn)?≤|a+b|≤3,兩邊平方,得到

    1≤|a|2+2a·b+|b|2≤9.

    二、用于解答不等式習(xí)題

    高中不等式類型的習(xí)題,有時(shí)很難一眼看出解題思路,需要對(duì)給出的條件進(jìn)行適當(dāng)整理,而后尋找其共同的部分,通過(guò)將其中的一部分看成一個(gè)整體,使用一個(gè)字母替代,參數(shù)之間的關(guān)系便一目了然.當(dāng)然運(yùn)用整體思想解題時(shí)還應(yīng)注重考慮整體部分的取值范圍.

    又因?yàn)閦≤3x,所以xy+2y2≤3x(2y-x).

    三、用于解答數(shù)列習(xí)題

    高中數(shù)列習(xí)題與函數(shù)結(jié)合起來(lái)要求數(shù)列的通項(xiàng)公式,難度較大,解題時(shí)既要注重運(yùn)用整體思想化陌生為熟悉,又要注重靈活運(yùn)用函數(shù)、數(shù)列性質(zhì),尤其應(yīng)注重整體思想的應(yīng)用,并根據(jù)題干情境,聯(lián)系所學(xué)求解數(shù)列通項(xiàng)公式的方法,如倒序相加法,便可順利解題.

    A.an=n+1 B.an=3n+1

    C.an=3n+3 D.an=n2-2n+3

    兩式相加得到2an=2+2+…+2=2(n+1).

    所以an=n+1.故選A.

    四、用于解答圓錐曲線習(xí)題

    高中圓錐曲線習(xí)題解題思路較為簡(jiǎn)單,但實(shí)際動(dòng)筆作答時(shí)若不注重整體思想的應(yīng)用,計(jì)算非常繁瑣,很容易無(wú)功而返.教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生多進(jìn)行觀察與思考,把握相關(guān)方程的規(guī)律,將相關(guān)方程看成一個(gè)整體進(jìn)行處理,以避免過(guò)多的計(jì)算.

    例4 已知拋物線y2=2px上有三點(diǎn)A(2,2),B,C,其中直線AB,AC是圓(x-2)2+y2=1的兩條切線,則直線BC的方程為( ).

    A.x+2y+1=0 B.3x+6y+4=0

    C.2x+6y+3=0 D.x+3y+2=0

    分析將點(diǎn)A(2,2)代入y2=2px中易得y2=2x.

    因?yàn)閳A的方程為(x-2)2+y2=1,則r=1,設(shè)圓心為O,畫(huà)出拋物線和圓的圖象,如圖1所示.

    如采用常規(guī)方法,將直線和拋物線聯(lián)立求出點(diǎn)B,C的坐標(biāo),難度較大,而采用整體法可大大簡(jiǎn)化解題過(guò)程.

    高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,為使學(xué)生掌握利用整體思想解答不同題型的思路與技巧,既要做好對(duì)經(jīng)典例題的深入剖析,使學(xué)生明白考查的知識(shí)點(diǎn),把握何時(shí)應(yīng)用整體思想,怎樣應(yīng)用整體思想,又要組織學(xué)生多進(jìn)行整體思想在解題中的應(yīng)用訓(xùn)練,并鼓勵(lì)學(xué)生做好訓(xùn)練的反思與總結(jié).

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