豎直面內(nèi)桿連小球做圓周運(yùn)動(dòng)的桿中彈力方向分析*

謝祿橋 張軼炳

(寧夏大學(xué)物理與電子電氣工程學(xué)院 寧夏 銀川 750021)

圓周運(yùn)動(dòng)一節(jié)是選擇性必修2第一章曲線運(yùn)動(dòng)中的重要內(nèi)容，其桿模型下桿中彈力方向分析一直是教學(xué)的難點(diǎn).學(xué)生在學(xué)習(xí)了豎直面內(nèi)繩連小球做圓周運(yùn)動(dòng)的繩中彈力方向后，很容易類推得出桿模型下桿中彈力方向也沿桿的結(jié)論.顯而易見(jiàn)，這種類推過(guò)渡方法極不嚴(yán)謹(jǐn)與準(zhǔn)確.為了更好地利于一線物理教師教學(xué)及物理拔尖生的學(xué)習(xí)，以下將以桿連小球在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)為例，將桿分為輕質(zhì)桿與普通桿，進(jìn)行桿中彈力方向分析的推理論證，希望能帶來(lái)些啟示與參考.

1 問(wèn)題引入——桿施加給小球的彈力的方向是否一定沿桿

如圖1所示，一桿連接小球在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，桿長(zhǎng)為L(zhǎng)，質(zhì)量為m1，小球可視為質(zhì)點(diǎn)，其質(zhì)量為m2.小球現(xiàn)從最高點(diǎn)a處?kù)o止釋放，經(jīng)過(guò)圖中b位置時(shí)，桿與豎直方向的夾角為β.試問(wèn)：

圖1 桿連小球做圓周運(yùn)動(dòng)

(1)若桿為普通桿，則桿施加給小球的彈力方向是否沿桿，并給予證明；

(2)若將桿視為輕質(zhì)桿，桿施加給小球的彈力方向是否沿桿，并給予證明.

1.1 普通桿施加給小球的彈力方向的推理論證

在第(1)問(wèn)中，若桿為普通桿，即桿的質(zhì)量不為零.現(xiàn)將桿與小球視為剛體，設(shè)桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J1，小球的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J2[1]，則

桿與小球作為整體并進(jìn)行受力分析，如圖2所示，則繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中的合力矩為

圖2 整體受力分析示意圖

根據(jù)力矩、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、角加速度間關(guān)系

M=(J1+J2)α

可得桿與小球整體的角加速度為

根據(jù)切向加速度與角加速度的關(guān)系

aτ=Lα

可得桿與小球整體的切向加速度為

(1)

現(xiàn)隔離小球，并假設(shè)桿施加給小球的彈力的方向沿桿收縮方向，如圖3所示，分解重力得小球的切向加速度為

圖3 小球受力分析示意圖

a′τ=gsinβ

(2)

比較式(1)與(2)得

當(dāng)β=0或π時(shí)，sinβ=0

ατ=α′τ

所以假設(shè)成立，即在最高點(diǎn)與最低點(diǎn)時(shí)，桿施加給小球的彈力的方向沿桿.

當(dāng)β≠0或π時(shí)，sinβ≠0

ατ≠α′τ

所以，假設(shè)不成立，即在此過(guò)程中，桿施加給小球的彈力的方向不沿桿，且

即

ατ>α′τ

故小球從最高點(diǎn)向最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，桿給小球彈力不沿桿方向，與小球運(yùn)動(dòng)方向呈銳角，對(duì)小球做正功；當(dāng)小球從最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)過(guò)程中，桿給小球彈力方向與運(yùn)動(dòng)方向呈鈍角，對(duì)小球做負(fù)功.

綜上可得，普通桿連接小球在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，除最高點(diǎn)、最低點(diǎn)外，桿給小球彈力方向不沿桿，桿施加給小球的彈力要做功.即普通桿連接小球在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，桿施加給小球的彈力的方向不一定沿桿.

1.2 輕質(zhì)桿施加給小球的彈力方向的推理論證

在第(2)問(wèn)中若將桿視為輕質(zhì)桿，則桿的質(zhì)量視為0，現(xiàn)對(duì)小球進(jìn)行受力分析，如圖4所示，證明如下：

小球的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

J2=m2L2

桿與小球繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的力矩為

M2=m2gLsinβ

根據(jù)力矩、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、角加速度間關(guān)系

M2=J2α

可得桿與小球整體的角加速度為

由切向加速度與角加速度間關(guān)系

aτ=Lα

可得桿與小球整體的切向加速度為

aτ=gsinβ

(3)

現(xiàn)隔離小球，對(duì)其受力分析如圖5所示，并假設(shè)桿施加給小球的彈力的方向沿桿，分解重力易得小球的切向加速度

圖5 小球受力分析示意圖

a′τ=gsinβ

(4)

由式(3)與(4)可得，無(wú)論β為何值，總有

aτ=a′τ

所以，假設(shè)成立.即在圖1模型中，若將桿視為輕質(zhì)桿，整個(gè)過(guò)程中桿施加給小球的彈力的方向始終沿桿方向[2].

1.3 桿施加給小球的彈力方向的結(jié)論

在圖1所示的模型中，我們將桿分為普通桿與輕質(zhì)桿，并借助整體法、隔離法、假設(shè)法及討論法，對(duì)桿施加給小球彈力的方向是否沿桿進(jìn)行了推理論證，得出了如下結(jié)論：(1)普通桿連小球在豎直面內(nèi)做完整圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，桿施加給小球的彈力的方向除最高、最低點(diǎn)外，一定不沿桿方向；(2)輕質(zhì)桿連小球在豎直面內(nèi)做完整圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，桿施加給小球的彈力的方向一定沿桿方向.

2 問(wèn)題升華——輕質(zhì)桿施加給小球的彈力方向是否一定沿桿

由以上圖1模型及證明可知，普通桿施加給小球的彈力的方向不一定沿桿，那輕質(zhì)桿施加給小球的彈力方向一定沿桿嗎？我們以圖6模型為例進(jìn)行推理論證.

如圖6所示，一輕質(zhì)桿連接兩小球在豎直面內(nèi)做完整圓周運(yùn)動(dòng)，桿中點(diǎn)處小球編號(hào)為1，質(zhì)量為m1，桿最外端小球編號(hào)為2，質(zhì)量為m2；桿長(zhǎng)為L(zhǎng)，桿可繞O點(diǎn)自由轉(zhuǎn)動(dòng)；小球的半徑相對(duì)于桿長(zhǎng)較小，可將小球視為質(zhì)點(diǎn).現(xiàn)將小球從圖中a位置順時(shí)針輕輕擾動(dòng)下，當(dāng)桿與小球經(jīng)過(guò)圖中b位置時(shí)，此時(shí)桿與豎直軸線間夾角為β.試問(wèn)：輕質(zhì)桿施加給小球的彈力方向一定沿桿方向嗎？并給予證明.

圖6 輕質(zhì)桿連兩小球做圓周運(yùn)動(dòng)

2.1 輕質(zhì)桿施加給小球的彈力方向的推理論證

將兩小球視為剛體，設(shè)小球1的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J1，小球2的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J2，則

現(xiàn)將兩小球及輕質(zhì)桿視為一個(gè)整體，如圖7所示，對(duì)O點(diǎn)取力矩，則

圖7 整體受力分析示意圖

整體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

J=J1+J2

根據(jù)力矩、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、角加速度間關(guān)系

M=Jα

可知兩小球及輕質(zhì)桿整體的角加速度為

由切向加速度與角加速度間關(guān)系

aτ=Rα

可得，在b位置時(shí)，小球2的切向加速度為

(5)

小球1的切向加速度為

(6)

現(xiàn)分別隔離m2和m1，并假設(shè)桿施加給小球的彈力方向均沿桿，如圖8所示，分解重力易得兩小球的切向加速度為

a′τ2=a′τ1=gsinβ

(7)

(a)球2受力示意圖 (b)球1受力示意圖

對(duì)比式(5)、(6)、(7)可知，當(dāng)β=0或π時(shí)

aτ1=a′τ1=aτ2=a′τ2=0

故假設(shè)成立，即在最高點(diǎn)、最低點(diǎn)時(shí)，桿施加給兩小球的彈力方向均沿桿方向.

對(duì)小球2分析，當(dāng)β≠0或π時(shí)，由于

即

aτ2>a′τ2

故小球2從最高點(diǎn)向最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，桿給小球2彈力不沿桿方向，與小球2運(yùn)動(dòng)方向呈銳角，對(duì)小球2做正功；當(dāng)小球2從最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)過(guò)程中，桿給小球2彈力方向與運(yùn)動(dòng)方向呈鈍角，對(duì)小球2做負(fù)功.

對(duì)小球1分析，由于

即

aτ1

故小球1從最高點(diǎn)向最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，桿給小球1彈力不沿桿方向，與小球1運(yùn)動(dòng)方向呈鈍角，對(duì)小球1做負(fù)功；當(dāng)小球1從最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)過(guò)程中，桿給小球1彈力方向與運(yùn)動(dòng)方向呈銳角，對(duì)小球1做正功.

綜上可知，在圖6所示的模型中，除最高點(diǎn)、最低點(diǎn)外，輕質(zhì)桿施加給兩小球的彈力方向均不沿桿.即整個(gè)過(guò)程中，輕質(zhì)桿對(duì)兩小球的彈力方向不一定沿桿.

3 結(jié)論與建議

通過(guò)對(duì)桿連小球在豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)的桿中彈力方向分析的推理論證，我們意識(shí)到，在豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題中，輕質(zhì)桿與普通桿對(duì)連接體的彈力方向都不一定沿桿.當(dāng)組成系統(tǒng)的兩個(gè)物體之間有機(jī)械能相互傳遞時(shí)，通過(guò)桿中彈力做功實(shí)現(xiàn)這種機(jī)械能的傳遞，故桿中彈力方向不沿桿；當(dāng)組成系統(tǒng)的這兩個(gè)物體的角速度有最大值或最小值時(shí)，桿的彈力方向才沿桿或?yàn)榱?

因此，物理一線教師在進(jìn)行桿模型在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的教學(xué)時(shí)，應(yīng)根據(jù)具體情況具體分析，合理設(shè)置物理情景，讓學(xué)生理解性地掌握桿中彈力方向的特點(diǎn).如教師在講解繩、桿連接一小球在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)一節(jié)知識(shí)時(shí)，如何能有效地讓學(xué)生從繩模型順利地過(guò)渡到桿模型，并理解輕質(zhì)桿施加給該小球的彈力的方向時(shí)刻沿桿方向，往往成為該堂課教學(xué)成敗的關(guān)鍵.再如教師在講解輕質(zhì)桿連兩小球在豎直面做圓周運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)機(jī)械能守恒時(shí)，如何讓學(xué)生理解“除最高、最低點(diǎn)外，桿施加給兩小球的彈力方向不沿桿，單個(gè)小球機(jī)械能不守恒，但系統(tǒng)的機(jī)械能守恒.”這部分核心知識(shí)也成為該節(jié)課成敗的關(guān)鍵.所以，一線教師在進(jìn)行物理學(xué)科教學(xué)及針對(duì)物理拔尖生的培養(yǎng)時(shí)，應(yīng)進(jìn)行專門(mén)輔導(dǎo)、適度拓展，注意引導(dǎo)學(xué)生理解性掌握，忌機(jī)械灌輸，只重視知識(shí)的熟記；教師應(yīng)立足學(xué)生長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展，重視論證、探究方法的掌握，培養(yǎng)學(xué)生的物理學(xué)科核心素養(yǎng)，多為國(guó)家輸送基礎(chǔ)學(xué)科的優(yōu)秀拔尖人才.